二次函数零点的分布专题训练

二次函数零点的分布专题训练

一、单选题

1．若方程2(1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．43k <

B ．43

k >C ．4

3k <，且1k ≠ D ．4

3

k >

，且1k ≠ 2．已知函数()2x

e f x x

=（其中无理数 2.718e =⋅⋅⋅），关于x 的方程

λ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）

A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．()2,+∞

C ．2,2e e ⎛⎫

++∞ ⎪⎝⎭D ．224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭

3．已知函数()10,0 lg ,0

x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，函数()()()()2

4g x f x f x t t R =-+∈，若函数

()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（）

A ．[)3,4

B ．[)lg5,4

C ．[){}3,4lg5⋃

D ．(]3,4-

4．设ln ,0()2020,0

e x

x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，2

()()(21)()2g x f x m f x =---，若函数()g x 恰有4

个不同的零点，则实数m 的取值范围为（） A ．0m <

B ．1m <

C ．2m >

D ．1m

5．函数()()

2

3x

f x x e =-，关于x 的方程()()2

10f

x mf x -+=恰有四个不同实数根，

则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2

B ．()2,+∞

C ．3360,6e e

⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

D ．336,6e e ⎛⎫

++∞ ⎪⎝⎭

6．已知()e x

f x x =，又2()()()1()

g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ）

A ．21,e e ⎛⎫

++∞ ⎪⎝⎭ B ．212,e e ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

C ．21,2e e ⎛⎫

+-- ⎪⎝⎭ D ．21,e e ⎛⎫

+-∞- ⎪⎝

⎭

7．已知函数1

2,0()21,0

x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，关于x 的方程2

3())0()

(f f x a x a -+=∈R

有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．13(3,

)4

B ．(2,3)

C ．4(,4)3

D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭

8．已知函数1222,0,()log ,0,

x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2

()2()30f x af x a -+=有六个

不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（） A ．163,

5⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．163,

5⎛⎤

⎥⎝⎦

C ．(3,4)

D ．(]3,4

二、填空题

9

．2

1()4

f x x b =+-+（,a b 是正实数）只有一个零点，则ab 的最大值为_____． 10．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是____________．

11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，则m 的取值范围为________．

12．已知函数()cos f x x x =+，若方程()()2

30f x af x -+=有四个不等实根，则实数a

的取值范围为__________.

13．函数()f x 满足21,0(),0x x x f x e e x x

⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，若方程22

[()]2()20f x mf x m -+-=有

四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_______________．

三、解答题

14．若函数235y x x a -=+的两个零点分别为12,x x ，且有1220,13x x -<<<<，试求出a 的取值范围．

15．关于x 的方程4(3)20x x

m m +-⋅+=有两个不等的实数根，求实数m 的取值范围.

16．已知函数2

1

()2

f x x mx m =-+在区间(0,4)上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．

17．试讨论当实数k 取不同值时，关于x 的方程()

2

21

21x x k --+=的解的个数．

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

由题意可得()1041210k k -≠⎧

⎨∆=-->⎩

，从而可求出实数k 的取值范围.

【详解】

解：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得

()1041210

k k -≠⎧⎨

∆=-->⎩，解得4

3k <，且1k ≠. 故选:C. 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易错点是忽略了1k ≠这一条件. 2．C 【解析】 【分析】

利用导数研究()f x 的单调性和极值，由此画出()f x 的图像.令()t g x ==

λ=有四个不等的实根转化为210t t λ-+=在0,,,22e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

上各有一实根来求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得λ的取值范围. 【详解】

依题意可知函数()2x e f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.且()()'

3

2x e x f x x

-=.所以()f x 在()(),0,2,-∞+∞上递增，在()0,2上递减，且()2

24

e f =，由此画出()f x 的图像

如下图所示.

令()t g x ==

()t x g =的单调性与()f x 相同，且()22

e g =

.