概率论与数理统计浙大四版第三章习题

因此所求概率为
1 P( A1)P( A2 )P( A3 )
1
p3
1
(e
1 3
)3
1 e1.
例4 在10件产品中有2件一等品、7件二等品和一 件次品, 从10件产品中不放回地抽取3件,用 X 表 示其中的一等品数, Y 表示其中的二等品数. 求 :
(1) ( X ,Y ) 的联合分布律; (2) X ,Y 的边缘分布律; (3) X 和 Y 是否独立; (4) 在 X 0 的条件下, Y 的条件分布律.
22 . 29
例2 设离散型随机变量 X 的分布函数为
0, x 1,
a,
1 x 1,
F
(
x
)
2 3
a,
1 x 2,
a b, x 2.
且 P{ X 2} 1 ,试确定常数a,b,并求 X 的分布律. 2
[思路] 首先利用分布函数的性质求出常数 a, b, 再用已确定的分布函数来求分布律.
[思路] 以 Ai (i 1,2,3) 分别表示三个电子元件“在 使用的最初 200 小时内损坏”的事件, 于是 a P{ A1 A2 A3 } 1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1)P( A2 )P( A3 ),
由三个电子元件服从同一分布, 令 p P( Ai ) (i 1,2,3), 由指数分布求出 p ,便可得解.
第二章第三章 随机变量及其分布 习题课
一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算
二维随机变量的分布、边缘分布 有关概率的计算和随机变量的独立性
2.难点
一维连续型随机变量的概率密度函数的求法 条件概率分布 二维随机变量函数的分布
解 用 Xi (i 1,2,3) 表示第 i 个元件的使用寿命, 由题设知Xi (i 1,2,3) 的概率密度为
f
(
x)
1
600
x
e 600
,
x
0,
0,
x 0.
从而
P{Xi 200}
f (x)d x
200
1
x
1
e 600 d x e 3 ,
200 600
i 1,2,3.
又 P{Xi 200} P( Ai ) p,
解 由题设知 X 只能取 0, 1, 2, Y 只能取 0, 1, 2, 3. 当 i j 2 或 i j 3 时,有
P{X i,Y j} 0. 当 2 i j 3 时,由古典概率知 P{ X i,Y j} 2 7 1 10 ,
i j 3 i j 3 (i 0,1,2, j 0,1,2,3).
有
1
i
1 3 5 7 37 pi a 2a 4a 8a 8a ,
故 a 37 , 8
因此 X 的分布律为
X 2 0 2
5
Baidu Nhomakorabea
8 12 10 7
P
37 37 37 37
从而
P{ X 2 X 0} P{ X 2, X 0} P{ X 0}
P{ X 0} P{ X 2}
P{ X 0} P{ X 2} P{ X 5}
P{ξ2 1}P{ξ3 1} 0.16, P{η1 0} P{η2 0} 1 0.16 0.84.
P{ X 0} 因此 Y 的条件分布律为
Y jX 0
2
3
3
5
P
8
8
例5 设 ξ1, ξ2 , ξ3 , ξ4独立同分布,且
P{ξi 0} 0.6, P{ξi 1} 0.4, i 1,2,3,4.
求 : (1) 行列式 ξ ξ1 ξ2 的概率分布; ξ3 ξ4
(2)
方程组
ξ1 x1 ξ3 x1
因此的 ( X ,Y ) 的分布律为
Y
X
0
1
2
3
0
0
0
21 35
120 120
1
0
14
42
0
120 120
2
1
7
0
121 120
0
(2) X ,Y 的边缘分布律为
Y
X
0
00
10
1 2 120
1 P• j 120
1
2
3
Pi•
0
21
35 56
120 120 120
14
42
0
56
120 120
120
7
ξ2 x2 ξ4 x2
0 0
只有零解的概率.
[思 路 ] 要求行列式 ξ 的分布律,先要将 ξ 的所有可
能值找到,然后利用独立性将取这些值的概率计算
出来 , 而第二问就是求系数行列式 ξ 0 的概率.
解 (1) 记 η1 ξ1ξ4 , η2 ξ2ξ3, 则 ξ ξ1ξ4 ξ2ξ3 η1 η2 , 由于 ξ1, ξ2 , ξ3 , ξ4相互独立,故η1,η2也相互独立, 且η1,η2都只能取 0, 1 两个值, 而 P{η1 1} P{η2 1} P{ξ2 1, ξ3 1}
二、典型例题
例1 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 2,0, 2, 5,相应的概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 ,试求概率
a 2a 4a 8a P{ X 2 X 0}. [思路] 首先根据概率分布的性质求出常数 a 的 值, 然后确定概率分布的具体形式,最后再计算 条件概率.
解 利用概率分布律的性质 pi 1, i
F
(
x
)
6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
12 11 32
例3 设某仪器上装有三只独立工作的同型号电子 元件,其寿命(单位 : 小时)都服从同一指数分布,其
中参数 1 600,试求在仪器使用的最初200小时
内,至少有一只元件损坏的概率a.
0
120
0
8
120
21
63
35
1
120 120 120
(3) 因为 P{ X 0,Y 0} 0, P{ X 0}P{Y 0} 56 1 0,
120 120 所以 X 与 Y 不相互独立. (4) 在 X 0 的条件下,Y 的条件概率为 P{Y j X 0} P{ X 0,Y j}, j 0,1,2,3.
解 利用分布函数 F ( x) 的性质 :
P{ X xi } F ( xi ) F ( xi 0),
F () 1, 知 1 P{ X 2}
2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
且 a b 1.
由此解得 a 1 , b 5 . 66
因此有
0,
1 ,