不等式的证明方法经典例题

不等式的证明方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意ab b a 22

2

≥+的变式应用。常用2

222b a b a +≥

+ (其中+

∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证：

a

c c b b a c b a ++

+++≥++1

11212121 二、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：

31222≥

++c b a

3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4

4

4

c b a abc c b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证:

)(22

2

2

2

2

2

c b a a c

c b

b a

++≥++

++

+

5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9

)1

1)(11(≥++y x 。

6、已知.9

111111,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+

=+∈+

b a b a R b a 求证： 三、分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7、已知a 、b 、c 为正数，求证：

)3(3)2(

23

abc c b a ab b a -++≤-+

8、),0(∞+∈c b a 、、且1=++c b a ，求证3≤

++c b a 。

四、换元法

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9、

1

1

)1)(1(22≤--+b a ab 。

10、

122=+y x ，求证：22≤+≤-y x

11、已知a>b>c,求证：

.4

11c

a c

b b a -≥-+- 12、已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：2

1

≤x 2－xy ＋y 2≤3．

13、已知x 2－2xy ＋y 2≤2，求证：| x ＋y |≤10． 14、解不等式15+-

-x x ＞

2

1 15、－1≤21x -－x ≤2．

五、增量代换法

在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．

16、已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2

＋(b ＋2)2

≥2

25． 六、利用“1”的代换型

17、.

91

11 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证：且已知

七、反证法

反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。

18、若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2．证明：反证法

19、已知a 、b 、∈c （0，1），求证：b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-，不能均大于41

。

20、已知a,b,c ∈（0，1），求证：（1－a ）b, （1－b ）c, （1－c ）a 不能同时大于

4

1

。 21、a 、b 、R c ∈，0>++c b a ，0>++ca bc ab ，0>⋅⋅c b a ，求证：a 、b 、c 均为正数。 八、放缩法

放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩

22、已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋

b

a d a ++＜2．

23、

*

N n ∈，求证：

1

213

12

11)11(2-<+

++

+

<-+n n

n 。

24、A 、B 、C 为ABC ∆的内角，x 、y 、z 为任意实数，求证：

A yz z y x cos 2222≥++C xy

B xz cos 2cos 2++。

证

九、构造函数法

构造函数法证明不等式24 设0≤a 、b 、c ≤2，求证：4a ＋b 2＋c 2＋abc ≥2ab ＋2bc ＋2ca ．

25、 设a 、b ∈R +，且a ＋b =1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥

2

25． 26、设a ＞0，b ＞0，a ＋b = 1，求证：12+a ＋12+b ≤22． 1．实数绝对值的定义:

|a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x|a x<-a 或x>a 。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)|g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f 2(x)

4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。