圆锥曲线存在性问题(教师版)

圆锥曲线存在性问题
确定的
1．设F 1，F 2分别是双曲线
的左、右焦点，若在双曲线右支上存
在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．350x y ±=
C ．430x y ±=
D ．540x y ±=
2. 已知F 1、F 2分别是双曲线﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得（
+
）•
＝0（其中O 为坐标原点），且|
|＝
|
|，
则双曲线离心率为 ．
3. 设F 是双曲线C ：
﹣
＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其
虚轴的一个端点，则C 的离心率为 ．
4. 已知F 1，F 2分别是椭圆
+
＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为
坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA |＝|MO |，则椭圆的离心率为 ．
5．设F 1，F 2分别是双曲线﹣
＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，O 为坐标原点，若按
双曲线右支上存在一点P ，使•
＝0，且|
|＝|
|，则双曲线的离心率为
（ ） A ．1±
B ．1+
C ．2
D ．
6．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x＝﹣a上有一点P，使|PF1|＝|F1F2|，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．2
7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（）
A．B．或2 C． 2 D．
8．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，则曲线C的离心率等于．
9．设F1，F2是双曲线的左右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线离心率为（）
A．B．C．D．
10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF
|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）
1
A．B．C．D．3
范围
角问题
1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）
A．B．C．D．
2．设椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2．若椭圆上存在点Q，使∠F1QF2＝120°，椭圆离心率e的取值范围为．
3．设A、B是椭圆
22
:1
3
x y
C
m
+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足120
AMB
∠=︒，
则m 的取值范围是
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．
[4,)+∞
4．已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线l 1，l 2交于点O 且相互垂直，l 1与C 交于点A 1，
B 1，l 2与
C 交于点A 2，B 2，若使得|A 1B 1|＝|A 2B 2|成立的直线l 1，l 2有且只有一对，则双曲
线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，2] B ．（1，
]
C ．[
]
D ．（
）
5．已知双曲线C ：
﹣
＝1（b ＞a ＞0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使•＝0，则双曲线离心率的取值范围是 ．
边问题
1.设双曲线C ：
（b ＞a ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．若在双曲线的右支上
存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ ） A ．（1，2] B ．
C ．
D ．（1，2）
2.椭圆
的右焦点F ，直线
与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点
P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知椭圆
＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆
上存在一点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
4．已知点F 1，F 2分别是双曲线
的左、右焦点，过点F 1且垂直于
x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范
围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知点F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，过点2F 与双曲线
的一条渐近线平行的直线交于另一条渐近线交于M 点，若12F MF 为锐角，则该双曲线离心率的取值范围是 ．
6．长轴在x 轴上的椭圆C 上存在有四点能构成正方形，并使得椭圆的焦点均在正方形内，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．
辅助圆
1．已知直线y ＝a 交抛物线x 2＝4y 于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C 使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为 ．
2．已知椭圆C 1：
+
＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2＝b 2，若在椭圆C 1上不存在点P ，
使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，
）
B ．（0，
）
C ．[
，1）
D ．[
，1）
3. 已知以抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，
以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点(2,)D t -，则实数t 的取值范围为 ．
判别式
1．A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使，则
椭圆离心率的范围是 ．
交点个数
1．已知恰有两条不同的直线与曲线2
x y e -=和2
2x py =都相切，则实数p 的取值范围
是 ．
圆锥曲线存在性问题
确定的
1.设F 1，F 2分别是双曲线
的左、右焦点，若在双曲线右支上存在
点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．350x y ±=
C ． 430x y ±=
D ．540x y ±=
【解答】显然选C 2.已知F 1、F 2分别是双曲线﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得（
+
）•
＝0（其中O 为坐标原点），且|
|＝
|
|，
则双曲线离心率为 ．
【分析】根据向量关系求出F 1M ⊥MF 2，结合双曲线的定义以及直角三角形的边角关系建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：设C 是MF 2的中点， ∵（+）•＝0
∴2
•
＝0
即OC ⊥MF 2， 即OM ＝OF 2 ∵OC ∥F 1M ， ∴F 1M ⊥MF 2， ∵||＝||， ∴||﹣||＝
|
|﹣||＝2a
则||＝＝（+1）a ， ||＝|
|＝（
+1）a ，
∵||2
+|
|2
＝4c 2
，
∴4（+1）2a 2
＝4c 2
， 即（
+1）2a 2
＝c 2
，
即（+1）a＝c，
则离心率e＝＝+1，
故答案为：+1
3.设F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．
【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m＝﹣c，n＝2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF的中点为M（0，b），
即有m＝﹣c，n＝2b，
将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，
﹣＝1，
可得e2＝＝5，
解得e＝．
故答案为：．
4.已知F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|＝|MO|，则椭圆的离心率为．
【分析】过M作MN⊥x轴，交x轴于N，不妨设M在第一象限，从而得到M（），由MF1⊥MF2，利用即可求出椭圆的离心率．
【解答】解：如图，椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|＝|MO|，
不妨设M在第一象限，过M作MN⊥x轴，交x轴于N，
∴N是OA的中点，则M点横坐标为，M点纵坐标为，
即M（），又F1（﹣c，0），F2（c，0），
∴＝，
∴4c2＝a2+3b2＝a2+3a2﹣3c2，即4a2＝7c2，得2a＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝．
故答案为：．
5．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，O为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P，使•＝0，且||＝||，则双曲线的离心率为（）
A．1±B．1+C．2 D．【分析】由题意可得PF2⊥x轴，且|PF2|＝2c，令x＝c代入双曲线的方程，可得＝2c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得PF2⊥x轴，且|PF2|＝2c，
由x＝c代入双曲线的方程可得y＝±b＝±，
即有＝2c，即c2﹣a2﹣2ac＝0，
由e＝，可得e2﹣2e﹣1＝0，
解得e＝1+（负的舍去）．
故选：B．
6．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x＝﹣a上有一点P，使|PF1|＝|F1F2|，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．2 【分析】设椭圆的左顶点为A，根据题意得Rt△APF1中，|PF1|＝2c，∠AF1P＝60°，利用三角函数定义得|AF1|＝|PF1|＝c，从而算出a＝2c，由此即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的左顶点为A（﹣a，0）
∵直线x＝﹣a上有一点P，使|PF1|＝|F1F2|，且，
∴Rt△APF1中，|PF1|＝2c，∠AF1P＝60°
由此可得|AF1|＝|PF1|＝c，
∵|AF1|＝a﹣c，∴a﹣c＝c，得a＝2c，
因此，可得离心率e＝＝
故选：A．
7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（）
A．B．或2 C． 2 D．【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分
别利用定义表示出a和c，则离心率可得．
【解答】解：依题意设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，
若曲线为椭圆则2a＝|PF1|+|PF2|＝6t，c＝t
则e＝＝，
若曲线为双曲线则，2a＝4t﹣2t＝2t，a＝t，c＝t
∴e＝＝
故选：A．
8．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，则曲线C的离心率等于．
【分析】依题意，|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，可得|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，再对圆锥曲线C是椭圆还是双曲线分类讨论，利用定义即可求得其离心率．
【解答】解：∵|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，
∴|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，
①若圆锥曲线C是椭圆，则2a＝4c，
∴e＝＝；
②若圆锥曲线C是双曲线，
则e＝＝＝＝．
故答案为：或．
9．设F1，F2是双曲线的左右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线离心率为（）
A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|＝1，|AF1|＝3，双曲线中2a＝|AF1|﹣|AF2|＝2，
，由此可以求出双曲线的离心率．
【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．
若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，
设|AF2|＝t，|AF1|＝3t，（t＞0）
双曲线中2a＝|AF1|﹣|AF2|＝2t，t，
∴离心率，
故选：B．
10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF
|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）
1
A．B．C．D．3 【分析】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，结合条件可得a＝b，从而c＝＝b，即可求出双曲线的离心率．解法二：根据已知条件和定义，就可以求得|PF1|，|PF2|，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，即可得出．
【解答】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x
由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，
∵|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，
∴2ex＝3b，（ex）2﹣a2＝ab
∴b2﹣a2＝ab，即9b2﹣4a2﹣9ab＝0，
∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0
∴a＝b，
∴c＝＝b，
∴e＝＝．
范围
角问题
1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）
A．B．C．D．【分析】设P为椭圆上一个动点，则当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可根据题意得：在Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，所以P0O≤OF2，代入数据化简，可得a2≤4c2，即≥，最后结合椭圆离心率e＝∈（0，1），可得到该椭圆离心率e的取值范围．
【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，
张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：
∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，
∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，
所以P0O≤OF2，即b c，其中c＝
∴a2﹣c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥
∵椭圆离心率e＝，且a＞c＞0
∴
故选：C．
2.设椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2．若椭圆上存在点Q，使∠F1QF2＝120°，椭圆离心率e的取值范围为．
【分析】因为Q为椭圆的上下顶点时∠F1QF2最大，不妨让Q是椭圆的上顶点，则∠F1QF2≥120°，所以60°≤∠F1QO＜90°，所以根据正弦函数的单调性即有
，所以便得到．
【解答】解：如图，当Q是椭圆的上下顶点时∠F1QF2最大；
∴120°≤∠F1QF2＜180°；
∴60°≤∠F1QO＜90°；
∴sin60°≤sin∠F1QF2＜sin90°；
∵|F1Q|＝a，|F1O|＝c；
∴；
∴椭圆离心率e的取值范围为．
故答案为：[，1）．
3．设A 、B 是椭圆22
:13x y C m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．
[4,)+∞ 【解答】显然选A
4．已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线l 1，l 2交于点O 且相互垂直，l 1与C 交于点A 1，B 1，l 2与C 交于点A 2，B 2，若使得|A 1B 1|＝|A 2B 2|成立的直线l 1，l 2有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．（1，2]
B ．（1，]
C ．[]
D ．（）
【分析】先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．
【解答】解：不妨设双曲线的方程是﹣＝1（a ＞0，b ＞0），
由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性知A 1，A 2，B 1，B 2关于x 轴对称，如图，
又满足条件的直线只有一对，
当直线与x 轴夹角为45°时，双曲线的渐近线与x 轴夹角大于45°，
双曲线与直线才能有交点A 1，A 2，B 1，B 2，
且满足条件的直线只有一对，
可得＞tan45°＝1，即有e＝＝＞，
则双曲线的离心率的范围是（，+∞）．
故选：D．
5．已知双曲线C：﹣＝1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l 过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使•＝0，则双曲线离心率的取值范围是．【分析】设焦点为F（c，0），设直线AB：y＝k（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k，即可得到离心率的范围．
【解答】解：直线的斜率不存在时，A（c，），B（c，﹣），由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2＝0，可得e＝；
焦点为F（c，0），直线AB：y＝k（x﹣c），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则联立直线方程和双曲线的方程，可得
（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2＝0，
则△＝4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0，
x1+x2＝，x1x2＝，
则y1y2＝k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））＝k2•，
由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2＝0，
即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）＝0，
即有k2＝，
∴＞，
∵b＞a，∴＞e＞，
故答案为≤e＜．
边问题
1.设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上
存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2] B．C．D．（1，2）【分析】先利用双曲线的定义，得焦半径|PF2|＝a，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，再由已知b＞a求得双曲线的离心率范围，两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围
【解答】解：∵P在双曲线的右支上，
∴|PF1|﹣|PF2|＝2|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝a≥c﹣a
∴e＝≤2
又∵b＞a，∴c2﹣a2＞a2，
∴e＝＞
∴e∈
故选：B．
2.椭圆的右焦点F，直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|F A|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P 点与A点的距离相等
而|F A|＝
|PF|∈[a﹣c，a+c]
于是∈[a﹣c，a+c]
即ac﹣c2≤b2≤ac+c2
∴
又e∈（0，1）
故e∈．
故选：D．
3．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，
再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．
【解答】解：在△PF1F2中，
由正弦定理得：
则由已知得：，
即：a|PF1|＝c|PF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0
则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）
解得：
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，
整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：，
故答案为：．
4．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF
是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范
2
围是（）
A．B．C．D．
【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1＝＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e的范围．
【解答】解：在双曲线中，
令x＝﹣c得，y＝±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．
由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1＝＜tan＝1，
∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．
又e＞1，∴1＜e＜1+，
故选：D．
5.长轴在x 轴上的椭圆C 上存在有四点能构成正方形，并使得椭圆的焦点均在正方形内，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．
【解答】
辅助圆
1.已知直线y ＝a 交抛物线x 2＝4y 于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C 使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为 ．
【解答】显然为4a ≥
2.已知椭圆C 1：+＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2＝b 2，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ）
A ．（0，）
B ．（0，）
C ．[，1）
D ．[，1）
【解答】显然为C ．
3. 已知以抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，
以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点(2,)D t -，则实数t 的取值范围为 ．
【解答】显然为22⎡⎣
判别式
1．A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使，则椭圆离心率的范围是．
【分析】利用两个向量的数量积公式得到（﹣a cos t，﹣b sin t）•（a﹣a cos t，﹣b sin t）＝0，e2＝，得到＜e2＜1，
从而求得离心率的范围．
【解答】解：设椭圆的方程为，设A（a，0），点P（a cos t，b sin t）．
由题意得，＝0，∴（﹣a cos t，﹣b sin t）•（a﹣a cos t，﹣b sin t）＝0，
∴（﹣a cos t）•（a﹣a cos t）+b2sin2t＝0，化简可得c2cos2t﹣a2cos t+a2﹣c2＝0，
∴e2cos2t﹣cos t+1﹣e2＝0，∴e2＝．
又∵0＜e＜1，0＜1+cos t＜2，∴＜e2＜1，∴＜e＜1，
故答案为＜＜1．。