大学 高等数学 竞赛训练 极限
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大学生数学竞赛训练一（极限）
一、计算()()()
234
00
sin ln 138
lim sin 1
x
x x x x t t dt x x e →+-+--⎰
解：因为()()3
3333
11sin 66
6
x x x x x x x x x οο⎛⎫-=--+=+ ⎪⎝⎭ 原式()()3432
00054
sin ln 1sin ln 1382lim
lim 1566
x
x x x x x t t dt x x x x x →→+-++-+==⎰ 又因为()()()332332
332
sin ln 126232x x x x x x x x x x x x x οο⎛⎫⎛⎫+-+
=-+-++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()4
44
116
6
x x x ο=
+ 所以()()()
234
00sin ln 11
38
lim 5sin 1
x
x x x x t t dt x x e →+-+=--⎰。
二、计算()ln lim x
x x e
x
→+∞
⎫+⎪
⎪⎝⎭
解：因为
10lim
lim
x t x t
t +
→+∞
→
=
= 0lim t +→=⎝⎭
()()32432011134lim 12t t t t t t
t t t t +→⎛⎫
+++++ ⎪=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭
()ln lim 1x x x e x
→+∞⎛
⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()
lim ln x x x e x →+∞⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝
⎭
()()
lim ln ln x x x x e e →+∞⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝
⎭
()lim ln 10x x xe -→+∞⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭
所以()ln 1lim 12
x x x e x →+∞⎫+⎪=-⎪⎝⎭
。 三、计算()
()221
011221!2x n
n n x x t dt n ∞
+→--+∑⎰
解：设()()
()210
1
1221!
n
n n
n S t t n ∞
+==
-+∑，则 (
)()(
)21
01121!n n
n S t n +∞
==-
+ ()()()()
122
113
3
3
x e x x x x x x
x οοο=++-++=-
+-，所以 ()()221
00
4113
x n
n n x x x t dt
x ∞
+→
→--+=-∑⎰
2
20
0031122lim 8
323
x x x x x x →→→-⋅====--。 四、计算220
3
02
2sin lim lim 2arctan 1arctan t
x
x x t y dy
x t t π+
→+∞
→⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰
解：因为22ln arctan 22lim arctan 1lim 1x x
x t
x x x e
t ππ→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
22
22
422
1
11
2arctan ln arctan 12lim ln arctan lim lim 11x x x x x x t x t t t x t x x
ππ→+∞→+∞→+∞+==-
422
24222lim x t x t t t x ππ
→+∞-==-
+
22220
sin t t x
y dy dy y dx y dy ==⎰⎰⎰
，所以
22
2
20
3
23
00
2
2
2sin lim lim lim 2arctan 1arctan 1arctan t
x x
t x t t y dy
y dy
x t e t t ππ+
+
→+∞
→→-=⎡⎤⎡⎤⎛⎫
--⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎰
⎰⎰
20
7
002
2
lim
72
t t y dy t t π
π
π
+
+→→===---⎰ 五、设数列{}n x 定义如下
()()110,1,11,2,n n n x x x x n +∈=-
=
证明：极限lim 1n n nx →∞
=。
证明：方法一、 考虑函数()()
[]10,1f x x x x =-∈，因为()12f x x '=-，当1
2
x =
时，()0f x '=。 由此可得1
2x =时，()f x 在[]0,1上的最大值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是递增的。所以
()211110143
x x x <=-≤
< ()32211111
011133344
x x x ⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…… …… ()12211111
0111111n n n x x x n n n n n ---⎛⎫⎛⎫<=-≤
-<-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ()1111111011111
n n n x x x n n n n n --⎛⎫⎛⎫<=-≤
-<-= ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭ …… …… 由于011
n n
nx n <<
<+，()()()()()1111110n n n n n n n n x nx n x x nx x n x ++-=+--=-+>，所以数列{}n nx 是单调有界的，由单调有界准则可得lim n n nx →∞
存在。显然，0lim 1n n nx →∞
<≤。 现证明lim 1n n nx →∞
=，用反证法证明，设lim n n nx A →∞
=，且01A <<，
取()1
14
A ε=
-，因为lim ,lim 0n n n n nx A x →∞→∞==，所以存在整数0N >，当n N >时有