自动控制原理及其应用

2
+ 0.2] + k (0.2 − 1.2e −5 )
−5
D( z ) = z 2 + 3z + 1 − 5e −5
由于 D(1)>0 D(-1)<0，而 n=2 为偶数，所以系统不稳定。 (2)要使系统稳定，则 第一个条件： D (1) = k (1 − e ) > 0 由于 k (1 − e ) > 0 ，只要 k > 0 第二个条件： D (−1) = 2 + 2e
第 4 章习题 4.1 已知系统特征方程如下，试用劳斯判据判别系统稳定性，并指出位于右半 S 平面和虚轴上的特征根的 数目。 （1） D( s) = s + s + 4 s + 4 s + 2 s + 1 = 0
5 4 3 2
（2） D( s) = s + 3s + 5s + 9 s + 8s + 6s + 4 = 0
4.10 已知系统的状态方程为
1 − 2
& x 1 = x2 & x 2 = − 2 x1 − x 2
试用李雅普若夫稳定判据判断系统的稳定性。 *答案： V ( x) = x1 +
1 2 x2 2 2 & & & V ( x) = 2 x1 x 1 + x2 x2 = 2 x1 x2 + x2 ( −2 x1 − x2 ) = − x2
s3 s2
∴ 0 < k < 12 稳定，当 k=12 时临界稳定（当比例增益变大，系统稳定性变差）
4.5 已知反馈系统的开环传递函数为
即 k<12
G ( s) =
答案：当 0 < T < 3,
K (2s + 1)( s + 1) s 2 (Ts + 1)
K > 0, T > 0
试确定闭环系统稳定时， T , K 应满足的条件。
=
k[(0.8 + 0.2e −5 ) z − 1.2e −5 + 0.2] ( z − 1)( z − e −5 ) + k[(0.8 + 0.2e −5 ) z − 1.2e −5 + 0.2]
−5 −5 −5 −5 −5
则 D ( z ) = ( z − 1)( z − e ) + k[(0.8 + 0.2e ) z − 1.2e = z + [ k (0.8 + 0.2e ) − 1 − e ]z + e 当 k=5 时，
s (0.1s + 1)(0.5s + 1) + k = 0
s (0.05s 2 + 0.6s + 1) + k = 0 0.05s 3 + 0.6 s 2 + s + k = 0
1
0.05 1 0.6 k 0 . 05 − 0 . 6 k s1 − 0.6 s0 k 稳定条件： k > 0 0.05k − 0.6 >0 − 0.6
−5 −5 −5
− k (0.6 + 1.4e −5 ) > 0
⇔ k (0.6 + 1.4e −5 ) < 2 + 2e −5 ⇔ k < 3 .3 第三个条件： a 0 < a 2
即使 e
+ k (0.2 − 1.2e −5 ) < 1 − e −5 = 0.9932 ⇔ k < 5.17 综合上三个条件，可得要使系统稳定，则 0 < k〈3.3
2
半负定
所以平衡状态是大范围内渐近稳定的。 4.11 已知系统状态方程为 ⎡2 1 − 3⎤ ⎡1 0⎤ ⎡u ⎤ ⎥ ⎢ 2 &= ⎢0 − 1 0 ⎥ x + ⎢0 2⎥ ⎢ 1 ⎥ x ⎢ ⎥ u ⎢ 0 1 − 1 ⎥ ⎢1 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ 2 当 Q=I 时，P=？若选 Q 为正半定矩阵，Q=？对应 P=？并判断系统稳定性。 4.12 设线性定常离散系统状态方程为
⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ x ( k + 1) = ⎢ 0 0 1 ⎥ x ( k ) ⎢0 k 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦
试求使系统渐进稳定的 K 值范围。 *答案： 0 < K < 2 时系统渐进稳定。
K>0
4.13 非线性系统线性部分的极坐标图，非线性部分的负倒幅特性如图题 4.13 所示。试判断系统是否稳 定，是否存在自激振荡。 图题 4.13 I
当 ω n = 90 s ，阻尼比 ζ = 0.2 时，试确定 K v 为何值时系统是稳定的。 *答案： 0 < K v < 36 时系统稳定。 4.4 已知反馈系统的开环传递函数为：
G ( s) =
k s (0.1s + 1)(0.5s + 1)
确定系统稳定时的 k 值范围。 解：闭环特征方程为：
ϖ =∞
a •
m
∞← X /a 1 N 0 ( X / a) v=Ι
0 Re
Im ϖ = ∞ 0 Re a • G ( jϖ ) v =Ⅱ ∞ ↑ X /a Im
G ( jϖ )
−1 N 0 ( X / a)
Ⅱ
(a )
∞← X /a −1 N 0 ( X / a) a b
Im
(b )
ϖ =∞
0 Re v=Ι ∞
4.22 已知非线性控制系统结构如图题 4.22 所示。为使系统不产生自振，试利用描述函数法确定继电特 性参数 a, b 的值。
r
e −
b 0 a
u
3 s (0 . 8s + 1)(s + 1)
c
6
图题 4.22
8 *答案： a > b 3π
4.23 如图题 4.23 所示非线性系统，已知非线性环节的描述函数为 N ( A) =
6 5 4 3 2
（3） D ( s )
= s 5 + 3s 4 + 12 s 3 + 20 s 2 + 35s + 25 = 0
6 5 4 3 2
（4） D ( s ) = s + s − 2 s − 3s − 7 s − 4s − 4 = 0 答案： （1）有两个根在右半平面，不稳定 （2）有 4 个根在虚轴上，临界稳定 (3) 虚轴上有两个根，临界稳定 （4）有 2 个根在虚轴上，有 2 个根在右半平面，不稳定 4.2 已知反馈系统的开环传递函数为 s+2 G( s) = 2 3 s ( s + 2s 2 + 9 s + 10) 试用劳斯判据判别系统稳定性。若系统不稳定，指出位于右半 S 平面和虚轴上的特征根的数目。 解：闭环特征方程为：
s 5 + 2s 4 + 9s 3 + 10s 2 + s + 2 = 0 s5 1 9 1
s4 s3 s2 s1 s0
2 10 2 4 0 0 10 2 − 4/5 0 −2
第一列数的符号变化一次，所以有一特征根在右半平面。 4.3 已知反馈控制系统的开环传递函数为
G ( s) =
−1
2 ωn Kv 2 2 s ( s + 2ζω n s + ω n )
Re =
− 10 ω 2 +1 − 10 Im = 2 (ω + 1)ω π πa 1 A2 − a 2 − j − =− N ( A) 4b 4b
由
π ⎧ − 10 A2 − a 2 =− 2 ⎪ ⎪ω + 1 4b ⎨ − 10 πa =− ⎪ 2 ⎪ 4b ⎩ (ω + 1)ω 解得： ω = 4.97 A = 0 .5
M -a 0 a -M
4 s(s +1)(s + 2)
图题 4.20 答案： ω =
2, A =
2 3
4.21 如图题 4.21 所示非线性系统，试用描述函数法分析系统自激振荡的稳定性，并确定自激振荡的振幅 和频率。
10 s ( s + 1)
图题 4.21 解： G (jω ) =
10 jω (jω + 1)
k >0 当 T ≥ 3,
k> T −3 6
4.6 已知反馈控制系统的传递函数为
G ( s) =
试确定闭环系统临界稳定时 K h 的值。 解：开环特征方程为：
10 s ( s − 1)
H (s) = 1 + K h s
G ( s) ( s) =
10(1 + k n s ) 10 (1 + k n s ) = s ( s − 1) s ( s − 1)
− T
−
T
τ
⋅τ ) z − e
−
−
T
τ
⋅ (T + τ ) + τ ]
− T
( z − 1)( z − e ) + k[(T − τ + e 当 τ = 1, T = 0.5 时，
τ
T
τ
⋅τ ) z − e
τ
(T + τ ) + τ ]
闭环传递函数为：
3
k[(0.5 − 1 + e ) z − e
4.7 已知闭环离散系统的特征方程为 D(z) = z + 0.2z + z + 0.36z + 0.8 = 0 试判断系统的稳定性。 答案：临界稳定 4.8 如图题 4.8 所示离散系统，采样周期 T=1s，Gh（s）为零阶保持器，而
4 3 2
G (s) =
Κ s ( 0 . 2 s + 1)