非参数统计_第四章 单样本非参数检验_new

������ ������ 概率为������ ������ = ������������ ������ (1 − ������)������−������ .二项分布检验就是通过样本观察值来判断
总体是否服从制定p值二项分布的方法，具体过程如下：
二项分布检验
（1）建立零假设和备选假设 ������0 ：样本来自的总体服从指定p值的二项分布； ������1 ：样本来自的总体不服从指定p值的二项分布。 （2）构造统计量 当样本数量������ ≤ 20时，令θ为n-k和k的较大者，根据样本数量n，显著性水平 α和p值，通过查二项分布临界值表，确定θ临界值的上界。 当������ > 20时，可以构造统计量 ������ =
在管理实践中，很多管理学的问题都可以抽象为单样本检验问题，
因此单样本非参数检验也随着管理科学研究的深入得到广泛应用。
卡方检验
一、卡方检验
（一）、分类数据的 拟合优度检验
2
对总体分布的形式建立假设并进行检验。这一类检验问题统称为
分布的拟合检验，它们是一类非参数检验问题。
我们从一个在生物学中很有名的例子开始。 例 在19世纪，孟德尔按颜色与形状把豌豆分为四类：黄圆、绿圆、 黄皱和绿皱。孟德尔根据遗传学原理判断这四类的比例应为9:3:3:1。 为做验证，孟德尔在一次豌豆实验中收获了n=556个豌豆，其中这四 类豌豆的个数分别为315，108，101，32。该数据是否与孟德尔提出 的比例吻合？
为α时，否定域为Θ = ������| ������ > ������1−������ 。
2
（4）计算统计量和做出统计决策 当������ ≤ 20时，若θ超过临界值的上界，拒绝零假设；否则，接受零假设。
当������ > 20时，计算出统计量Z的值。如果统计量的值落在否定域中，拒绝零
假设；否则，接受零假设。
当观测值落入第i个区间内，就把它看作属于第 i类，因此，这r个区间就相
当于r个类。在������0 为真时，记 ������������ = ������ ������������−1 ≤ ������ ≤ ������������ = ������0 ������������ − ������0 ������������−1 ，������ = 1,2, … , ������，
H 0 : Ai 所占的比例为 pi ( i 1,2,...,r )
这样，离散分布的拟合检验与前述分类数据的检验问题就完全一样了。
卡方检验
2.总体X为连续分布
设总体X为连续随机变量，分布函数为������0 (������)，这种情况略为复杂。一般
采用下面的方法：选r-1个实数������1 < ������2 … < ������������−1 ，将实数族分为r个区间 −∞, ������1 ， ������1 , ������2 ， … ， ������������−1 , ∞
其中������0 = −∞，������������ = +∞，以������������ 表示样本的观测值������1 , ������2 , … , ������������ 落入区间
������������−1 , ������������ 内的个数（������ = 1,2, … , ������）加下来的做法就与总体只取有限个值的 情况一样了。
2 由于 np10 312.75, np20 np30 104.25, np40 34.75 ，故可求得 0.47。若
取显著性水平 0.05 ，则 02.95 ( 3 ) 7.81 0.47 ，故没有理由拒绝 H 0 ，即认为孟 德尔的结论是可接受的。 该检验的近似p值也是可以计算的，为 p P 2 0.47 0.9254 ，其中 表
2
示服从 2 3 的随机变量。从p值还可以清楚地看出，这批数据与孟德尔的理论 吻合得很好。
卡方检验
二、分布的 拟合优度检验
2
设 x1 , x2 ,...,xn 是来自总体F(x)的样本，有时需要检验的原假设是，
H 0 : F x F0 x ，
其中F0 x 称为理论分布，它可以是一个完全已知的分布，也可
表4-3 不同颜色该款服装销售概率 颜色 1 2 3 4 5
概率
0.4
0.1
0.2
0.2
0.1
分析销售状况是否同预期相同。
卡方检验举例2
解： （1）提出假设 H 0 : 商场不同颜色服装销售量分布同预期分布相同 H1 : 商场不同颜色服装销售量分布同预期分布不同 （2）计算检验统计量
( f i npi ) 2 2 .5 np i 1 i
为从总体抽出的样本，且以 ni 记
这n个样本中属于 Ai 的个数。由于当 H 0 成立时，在n个样本中属于 Ai 类的 “理论个数”或“期望个数”为 npi0 ，而我们实际观测到的值为 ni ，故当 H 0
ni 与 npi0 应相差不大。于是K·皮尔逊提出用统计量 成立时，
( ni npi 0 )2 npi 0 i 1
二项分布检验举例1
例4.3 公司对某工作岗位进行招聘，现有20名应聘者，其性别分布如下表 （1表示男性，2表示女性）
表4-4 应聘人员性别分布数据 编号 性别 1 1 11 2 2 12 3 1 13 4 2 14 5 1 15 6 1 16 7 1 17 8 1 18 9 2 19 10 2 20
������
������ ± 0.5 − ������������ ������������(1 − ������)
式中，当������ < 2时取加号，否则取减号。
二项分布检验
（3）设定显著水平和确定否定域 当������ ≤ 20时，可以根据二项分布临界值表确定θ临界值的上界。 当������ > 20时，零假设成立时，统计量Z近似服从N(0,1)正态分布，在显著水平
表4-5 编号 业绩 1 1 2 1 3 1 新员工业绩分布数据 4 1 5 1 6 1 7 1 8 2 9 1 10 1 11 1
编号
业绩
12
1
13
1
14
2
15
1
16
1
17
1
18
1
19
2
20
1
21
1
22
1
编号
业绩
23
1
24
1
25
1
2 r
来衡量“理论个数”与实际个数间的差异。
卡方检验
在上式中，分子 ( ni npi 0 )2 是实际观测数与期望观测数的偏差的平方，而
( ni npi 0 )2 成 np i0
可以看成是( ni npi 0 ) 的规范化，所以统计量提供了实际观测数与期
2
望观测数接近程度的一个度量，当 H 0 为真时，它的值应该比较小，所以， 其拒绝域为 2 c，其中c为待定的临界值。 为了控制上述检验的第一类错误，我们必须知道此检验统计量在原假 设成立下的分布，为此，K· 皮尔逊证明了如下定理： 定理: 在前述各项假定下，在H 0 成立时，对检验统计量有：
| 15 （3）给定显著性水平 0.05, 否定域为H
（4）接受零假设，即男女应聘者比例没有显著差异。
二项分布检验举例2
例4.4 公司预计新招聘员工中业绩好的比例为0.6，为验证上述推断，公司从新 聘员工中随机抽取32人进行业绩考核，业绩好的有28个（用1表示），业绩 不好的有4个（用2表示），如下表
非参数统计 （nonparametric statistics）
第中，往往需要根据一组样本的信息来对某个 总体分布或抽样过程是否随机进行判断，利用一个样本对总体进行
推断的非参数检验称为单样本非参数检验。单样本非参数检验主要
有检验样本是否来自特定理论分布总体的卡方检验、二项分布检验 和K-S检验，以及判断抽样是否随机的游程检验。
L 2 2( r 1 )
卡方检验
根据上述定理，对于例题中的假设，我们可以采取如下的显著性水平 近似为 的显著性检验：
( ni npi 0 )2 检验统计量为 ，拒绝域为 W 2 12 ( r 1 ). npi 0 i 1
2 r
这就是K·皮尔逊提出的最早的一个检验方法，通常称之为皮尔逊 拟合优度检验。
卡方检验
这一例子是属于分类数据的检验问题，它的一般情形为：根据某项指 标，总体被分成 r 类: A1 ,..., Ar ，此时我们最关心的是关于各类元素在总体 中所占的比率的假设：
H 0：Ai所占的比率是 p i 0，i 1,...,r
r
其中 pi0 已知，满足 p
i 1
i0
1 。记 x1 ,...,xn
2
卡方检验
对于例题中的数据，我们可以做出如下的拟合优度检验。注意到，此时
r 4, n 556 , n1 315, n2 108, n3 101, n4 32 ,
待检验的假设为：
H 0 : p10
9 3 3 1 , p20 , p30 , p40 . 16 16 16 16
以是一个仅依赖于有限个实参数且分布形式已知的分布函数。这个
分布检验问题就是检验观测数据是否与理论分布相符合。在样本容 量较大时，这类问题可以用 拟合优度检验来解决。
2
卡方检验
这类问题分为以下两种情况来讨论。 1.总体X为离散分布 设总体X为取有限或可列个值 a1 , a2 , 的离散随机变量，我们把相邻的某些 ai 合并为一类，使得 a1 , a2 , 被分为有限个类 A1 , A2 ,..., Ar ，并使样本观测值 x1 , x2 ,...,xn 落入每一个 Ai内的个数 ni 不小于5。记 P X Ai pi i 1,2,...,r ，那么，假设 H 0 ： “总体分布 F x F0 x ”就转化为如下假设