第八讲---动力系统模型

8.2 常见的动力系统模型
连续时间微分动力系统 系统的状态变量由 n 个时间的可 微分函数
x(0) [ x1 (0), x2 (0), , xn (0)]T 初始状态 x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]T
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )
x x*
F(x ) 0
8.2 常见的动力系统模型
连续时间动力系统应用举例 蓝鲸和长须鲸的竞争生存模型 蓝鲸和长须鲸生活在相同的海域，两个总群间共享海洋资源，存在 竞争关系。蓝鲸和长须鲸种群的年繁殖率分别是 5%和8%。海域对 两种鲸鱼的环境最大承载能力分别是 150000 和400000头。两类鲸 鱼之间种群竞争的程度是未知的。由于人类的过渡捕捞，该海域的 蓝鲸和长须鲸数量已经减小到5000头和70000头。
8.1 什么是动力系统？
复杂系统内，常常包含了多个相互影响的变换事物或因素。
普遍联系原理 【原理内容】事物是普遍联系的，整个世界是一个普遍联系的有机整体。 【方法论】我们必须坚持联系的观点看问题。对事物的联系进行具体地分析， 反对形而上学孤立的看问题。 联系的客观性原理 【原理内容】联系是事物本事固有的，不以人的意志为转移的。（自在事物 和人为事物的联系都是客观的） 【方法论】联系的客观性要求我们，要从事物固有的联系中把握事物，切忌 主观随意性。 联系的多样性原理 【原理内容】事物的联系是多种多样的，（是具体的，有条件的）。 【方法论】联系的多样性要求我们注意分析和把握事物存在和发展的各种条 件，做到一切以时间、地点和条件为转移。 整体和部分相互关系原理 【原理内容】整体和部分既相互区别，又相互联系、密不可分。
数学建模实验(数学建模基础之续)
第八讲: 动力系统模型 (Dynamic Models)
---水鹏朗 雷达信号处理国防科技重点实验室
8.1 什么是动力系统？
所有的事物都随着时间发生这变化！
人不能两次走进同一条河流！
变化无处不在、变化无时不在，发现各种事 物的变换规律是科学研究的重要任务之一。
不变是相对的，而变是绝对的！。 “海枯石烂”
古希腊哲学家赫拉克利 特（公元前5世纪）
“沧海桑田”
周星驰：“曾经有一段真执的感情放在我面前我没有珍惜它，失 去后后悔莫极，人生最大的痛苦莫过于如此，如果上天在给我一 个机会，我会对那个女孩说三个字，我爱你，如果在这段感情后 雷达信号处理国防科技重点实验室 面加个期限，我希望是一万年。 ”
8.1 什么是动力系统？
X (t ) Z (t ) ; Y (t ) Z (t ) Z (t ) X (t ) ; Y (t ) X (T )
我国社会发展的最求目标是建立国民幸福感最大化的 “和谐社会”，国家政策调控的关键是“社会财富的分 配制度” 国家调控政策 X (t 1) X (t ) Y (t ) H Y (t 1) F (t ) Z (t 1) Z ( t ) 雷达信号处理国防科技重点实验室
雷达信号处理国防科技重点实验室
x x1 (t ) x (t ) 2 φ(t; x ), φ(0) x x 0 0 0 xn (t ) xn
0 1 0 2
动力系统的平衡点：
dx(t ) dt
描述，状态变量函数随时间的演 化满足微分方程组
t 时刻状态 dx(t ) F(x(t )) 系统演化方程 dt
dx1 (t ) dt f1 ( x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )); dx2 (t ) f ( x (t ), x (t ), , x (t )); 2 1 2 n dt dxn (t ) f n ( x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )); dt
则x*是系统的平衡点，满足 dx * F ( x )0 x x* dt
对于动力系统的一个平衡点x , 在状态空间S内，集合 (x* ) x0 S : lim (t; x0 ) x*
t


称作平衡点 x 的收敛域。 雷达信号处理国防科技重点实验室
8.2 常见的动力系统模型
Logistic map
x(n 1) rx(n)(1 x(n)), n 1, 2, x(0) (0,1)
( n)
x(n 1) x(n) [r (1 x(n)) 1]x(n), n 1, 2, x(0) (0,1)
生物总群第 n 年的繁 殖率 : 繁殖率随着总 群数目接近于最大承 载能力而下降，并且 繁殖率是随着时间变 化的，并且依赖于参 数r.
蓝鲸灭绝，长须鲸总群达到环境的最大承载上限 雷达信号处理国防科技重点实验室
8.2 常见的动力系统模型
y 0.05/
7
蓝鲸 灭绝 400000
当 0.05 / 400000或者 1.25 10 时， 第四个平衡点将位于状态变量的变化 分为S之外，意味着系统仅有三个平衡 点。因此，当两个种群竞争损失因子 太大时(恶性竞争)时，系统随着时间演 化必然收敛到另外三个平衡点。意味 着：恶性竞争条件下，两个鲸鱼总群 不能共生，至少有一个总群灭绝。
状态变量的变化范围
S {( x, y) : x 0, y 0}
当总群数量接近 于环境承载最大 值时，种群繁殖 会受到明显抑制。
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8.2 常见的动力系统模型
动力系统的平衡点 平衡点方程组
第四个平衡点依赖于竞争损失因子
dx x dt 0.05 x 1 150000 xy 0 y dy 0.08 y 1 xy 0 400000 dt
长须 鲸灭 绝 x 150000
都灭 绝
总群 共生
假定
1.25 10
0.08/
7
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8.2 常见的动力系统模型
轨线计算与各平衡点的收敛域
dx(t) F(x(t)); x(0) x0 dt
x((n 1)t ) x(nt ) F(x(nt )); t x(0) x0
1.2 1012 1.5 105 x 1.5 1013 2 1 11 5 y 7.5 10 4 10 1.5 1013 2 1
(0, 0); (150000, 0) (0, 400000)
生态系统崩溃，蓝鲸 和长须鲸都灭绝 长须鲸灭绝，蓝鲸种群达 到环境的最大承载上限
民族性格： 感性体会多于理性认知，是我国近代科学发展落后的 主要原因之一。
题都城南庄 唐. 崔护 去年今日此门中 人面桃花相映红 人面不知何处去 桃花依旧笑春风
实际系统随时间演化中， 包含了“变”和“不变” 两种成分。需要发现不变 的成分，描述变的成分的 演化规律，建立“变”与 “不变”之间的相互关联。 雷达信号处理国防科技重点实验室
35294 382353
=10-7；t 0.01
生态系统的自我调节能力是非常强的；在 没有人工干预的情况下，蓝鲸和长须鲸总 群在大多数情况下，可以通过调节最终达 到共生的平衡状态
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8.2 常见的动力系统模型
离散时间动力系统应用举例 假定在一个封闭的环境中，某生物种群的环境最大承载能力是 1， 初始状态下生物种群的相对数量是 x(0) (0,1) 。建立模型并探究生物 总群数量随着年度的变化规律。
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8.2 常见的动力系统模型
离散时间动力系统应用举例
x(n)(1 x(n)) x(n) x 2 (n)
2 Logistic map 1 1 x ( n) 2 x(n 1) rx(n)(1 x(n)), n 1, 2, 4 max x(n)(1 x(n)) 1 / 4 x ( n )[0,1] x(0) (0,1)
x ( n)
参数 r在（ 0,4]从小到达取值，初始状态 x(0)在 (0,1)上随机取值 雷达信号处理国防科技重点实验室 时，轨线的不同演化过程。
{x n : n 0,1, 2,}称作从初始点x0 出发的轨线(path) 如果
n
lim x n x*
x((n 1)t ) x(nt ) tF(x(nt )); x(0) x0 xn1 xn tF(x(nt )); n 1, 2, t 迭代步长
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8.1 什么是动力系统？
动力系统就是研究在一个实际系统中各种因素 (状态、变 量）随时间演化的演化规律的数学学科。
社会发展中的动力学系统
状态
X(t)-国民生产总值（GDP) Y(t)-社会财富分配的基尼 系数，在(0,1)区间上取值 Z(t)-国民的幸福感度量 t----时间变量 因素间相互关系
平衡点
x 0.05 x 1 / 0.05 y 0 150000 y 0.08 y 1 / 0.08 x 0 400000
x 1 / 0.05 y 0 150000 y 1 / 0.08 x 0 400000
两个种群的 竞争损失； 假定竞争损 失因子对连 个种群是相 同的；参数 是竞争损 失因子，未 知。
dx(t ) x(t ) dt 0.05 x(t ) 1 150000 x(t ) y (t ) dy(t ) 0.08 y (t ) 1 y(t ) x(t ) y (t ) dt 400000
连续时间动力系统的解与稳态分析 微分动力系统的解有 n 维状态空间 中的很多条曲线构成，通过一个初 始点的解可以理解为一条轨线(path)