线段和最小值问题

《求线段和最小值问题初探》导学案 班级 姓名

学习目标：

1.灵活掌握定理“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”.

2.体会转化思想在数学中的应用，即化复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体问题.

一、课本中的两点基本知识：

1、如图，一位小牧童，从A 地出发，赶着牛群到B 地，请问他应该选择怎样的路径，才能使牛群所走的路程最短？ 为什么？

2、小牧童，从A 地出发，赶着牛群到河岸边L 饮水，然后再到B 地，请问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？请画出来，并说一说。

二、合作学习、展现精彩

变式1、利用等边三角形的对称性求线段和的最小值：

（2010•滨州中考）如图等边ΔABC 中，

边长=1，E 是边BC 的中点，

BD 是AC 边上的高，在BD 上确定一点， 使其到E 、C 的距离和最小， 这个最小值是 .

A B

L .

.

A B E

.

D

B

C

A

变式2、利用正方形的对称性求线段和的最小值：如图，正方形ABCD的边长为8，

点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，

CF＝1，P是对角线AC上的一个动点，

则PE＋PF的最小值是 .

变式3、利用圆的对称性求线段和的最小值：（2000年•荆门中考）

如图，A是半圆上一个三等分点，

B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，

⊙O的半径为1，

则AP+BP的最小值是。

变式4、利用坐标轴的对称性求线段和的最小值：某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建

一座泵水站，分别向河的同一侧的张村Q和李

村P送水，工程人员设计图纸时，以河道上的

大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为X轴

建立坐标系，Q（2，3），P（12，7），

泵水站建在距离大桥O多远的地方可使输

水管道最短？泵水站坐标是

三、小结：

这一类型题的共同特征是：利用和

的知识，将“不在同一直线上的线段和”转化

为，从而做到化复杂为简单，化抽象为具体。

当堂检测：

变式7、利用抛物线的对称性求线段和的最小值：

（2008巩义市期末考试）Array如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于两点

A（-1，0），B（3，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）设1中抛物线交y轴于C点，

在抛物线的对称轴上是否存在点Q，

使得△QAC的周长最短，若存在，

求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

变式5、利用菱形的对称性求线段和的最小值：（2001•海南中考）如图所示，

在边长为6的菱形ABCD中，

∠DAB=60°，E为AB的中点，

F是AC上一动点，

则EF+BF的最小值是。

变式6、利用梯形的对称性求线段和的最小值：（2005年•河南）如图，在梯形ABCD中，

AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，

直线MN为梯形ABCD的对称轴，

P为MN上一点，

那么PC＋PD的最小值为。

四、1、（2011•深圳中考）如图1，抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的顶质疑再探、勇攀高峰

点为C （l ，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由；

变式8、求三条线段和的最小值：

如图，∠MON=30°，A 为OM 上一点，OA=1， D 为ON 上一点，OD=3，C 为AM 上任意一点， B 为OD 上任意一点， 那么折线ABCD 的长AB+BC+CD

的最小值是多少？

A

O

N

M

D

. .