21-6一维无限深势阱
量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
2008.5
Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
2008.5
(8)
2008.5
Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
Quantum Mechanics
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
2008.5
Quantum Mechanics
一维无限深势阱
6.ξ一维无限深势阱考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：0,,x x a U x a⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图这种势叫一维无限深势阱因x U 不含 t ，属于定态问题。
体系所满足的定态薛定谔方程是：()2222d E x a dx ψψμ-=<① ()22022d U E x a dx ψψψμ-+=≥② ②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：2221222222020sin cos ,d E dxE d x a dx A x B x x aψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。
根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：,sin cos 0sin cos 0sin 0cos 0x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。
（物理问题对ψ的要求）所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回1222E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：2222,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。
高二物理竞赛课件一维无限深势阱
满足归一化条件,另外
z
和
1 me
z
z
还要满足边界条件.
有限深势阱能带
有限
无限
有效质量
En k
E n,0
2k 2 2m 0
2
m
2 0
nn
un0 k p un0 2 En0 En0
E n,0
2k 2
2
1
m
0
m 022k2
nn
un0
k
p
un0
En0 En0
2
E n,0
2k 2 2me
2 2
z
1
me z z
nz
zV
z nz
z
Enz
nz
z,
波函数形式为
B expz,z lz 2
nz
Acoskz, lz A sinkz, lz
B exp z
2
2
,
z z z
lz
lz lz 2
2 2
其中 k
2meI Enz 2
,
2meII V0 Enz 2
,
nz z
一维无限深势阱
一维无限深势阱
E nz
2 2 2me ,hLz2
nz2 ,nz
1,2,3,
有限深真实势阱,仅存在着几个束缚态，
E nz nz2, 系数变小,能级降低.这是由于
势垒降低,电子产生贯穿（Δx↑→ Δ p↓
→ p↓）.当 lz 0,Enz (发散)电子 态接近于势垒中的布洛赫态.
.
1
me1m0 Nhomakorabeam 022k2
nn
un0 k p un0 En0 En0
2.6一维无限深势阱
O
a
x
第二章 波函数和薛定谔方程
2/33
Quantum mechanics
2
§2.6 一维无限深势阱
d 2 E 0, (a x a) U 0 , (| x | a) 2 2 dx U ( x) 2 2 d 0, (| x | a) ( E U ) 0, ( x a , x a ) 0 2 dx 2 2 (U 0 E ) 1/ 2 2 E 1/ 2 令： （ 2 ) , [ ] 2
第二章 波函数和薛定谔方程
4/33
Quantum mechanics
§2.6 一维无限深势阱
A sin( x ),(| x | a) 1 x x Be ,( x a), Ce ,( x a) 当x=±a处波函数连续可得: ctg( a ) ,( x a) ctg( a ) ,( x a)
Quantum mechanics
§2.9 例题
例1,设一维无限深方势阱宽度为a,求处于基态的 粒子的动量分布(P39). U(x) 0,(0 x a) 解：U ( x) ,( x 0),( x a)
2 d 2 ( x) E ( x) 0, (0 x a) 2 2 dx ( x) 0, (0 x, x a)
d ctg( x ),(| x | a) dx ,( x a), ,( x a) 0, ctg a , / 2, tg a ,
a A sin a Be ,( x a) A sin x,(| x | a) 0, 0, x a x A sin a Ce ,( x a) Be ,( x a), Ce ,( x a)
量子力学一维势阱
III
(x)
2
2
(U
E )
III
(x)
0
xa
方程可 简化为：
d2
dx
2
I
2 I
0
d2
dx
2
II
2 II
0
d2
dx
2
III
2 III
0
U(x)
I
II
-a 0
III a
U(x)
I
II
-a 0
III
a
1 单值，成立； 2 有限：
当x - ∞ ， ψ 有限条件要求
C2=0。
d2
(x)
2
2
[U ( x)
E ]
(x)
0
β2
势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表达， 其上旳波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d2
dx 2
I
(x)
2
2
(U
E )
I
(x)
0
x a
d2 dx 2
II
(x)
2
2
E
II
(x)
0
a xa
d2
dx 2
(r , t) (r , t)
称波函数具有偶宇称；
(r , t) (r , t)
称波函数具有奇宇称；
（3）假如在空间反射下，
(r , t) (r , t)
则波函数没有拟定旳宇称
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 旳状态
（1）n = 1, 基态，
0
n
1
n
sin
一维无限深势阱
n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−
高二物理竞赛课件：一维无限深势阱
Hˆ
'
1 6
r022V
(r)
1 6
r02
4e2
(r)
2 3
e2r02
(r)
则基态能量的一级修正为
E (1) 1
Hˆ '11
100 | Hˆ '|100
2 3
r02e
2
|1s (r) |2 (r) d r
2 3
r02e2
|1s (0)
|2
2r02e2
3a3
﹟
11
考虑到类氢原子核不是点电荷，而是半径为 R
电磁学知识可知
Ze2
V
r Ze2 R2
, ,
rR rR
由此带来的微扰项为
Hˆ ' V (r)
Ze2 r
0, Ze
2
r
Ze2 R
,
算出的能级修正为
rR rR
E (1)
4Z 4e2 a3
R e2Zr / a r
0
r2 R
d r
4Z 4e2 a3
R 0
r
r2 R
d r
2Z 4e2R2 3a3
a0
a
aa
A a m
2
a 0 sin a x sin a xdx
(0 x a)
A a 2 sin mx 2 sin 2 xdx
20 a
a aa
A 2
a 0
(0)* m
(0) 2
dx
A 2 m2
3
由此可以得出
E1
E1(0)
H11'
H 21 2
E1(0)
E
(0) 2
A 2
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。
其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。
在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。
这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。
2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。
解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。
3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。
对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。
这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。
4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。
这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。
个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。
对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。
2.6 一微无限深势阱
由归一化条件
a
0
( x, t ) dx ( x) dx
0
2
a
2
可得 A 2 a
a
0
n A sin x dx 1 a
2
0 x 0, x a n ( x) n 1,2, n 2 a sin a x 0 x a
2mE k 2
a a
m n m n m n 1 sin x sin x cos x cos x a a 2 a a
可得 若
a 2
a
0
m n dx 0
mn
2
a 1 n 2n 2 A sin xdx A 1 cos x dx 0 0 2 a a 1 A2 a 2
x
所以,系数A必须为零,则Байду номын сангаас由于
e x
x
当
Be e
x
x0
0
所以,系数B必须为零,则
d ( x) E ( x) 阱内 2 2m dx
2
令
k 2mE
2
2
2
d ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
其通解为 ( x) Asin kx
a
| ( x) | dx 1
2
1 , a
（与n无关）
最后，波函数是：
1 n n (x) sin ( x a ). 2a a
A和 为待定常数
根据波函数的连续、单值的条件有
(0) 0 0
sin ka 0
0
一维无限深势阱薛定谔方程求解
一维无限深势阱薛定谔方程求解一维无限深势阱是量子力学中最经典的问题之一，其求解对于理解基本的量子力学原理以及波函数的性质具有重要的意义。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的行为的基本方程，通过求解薛定谔方程，我们可以获得系统的波函数及其相应的能级。
让我们来考虑一个无限深势阱，这个系统可以简单地用一个势能函数来描述。
在这个系统中，粒子只能在一个有限的空间区域内运动，而且势能在这个区域内是常数为零的。
首先，我们需要写出薛定谔方程。
对于一维情况，薛定谔方程可以写成：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，ψ(x)是系统的波函数，V(x)是势能函数，E是波函数对应的能量。
对于无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。
因此，V(x)在阱外的值可以视为一个很大的正数。
接下来，我们需要考虑边界条件。
在无限深势阱中，粒子是被约束在一个有限空间内的。
因此，在边界处，粒子的波函数必须为零。
对于一个无限深势阱，边界条件可以写为ψ(0)=ψ(a)=0，其中，a是阱的宽度。
现在，让我们尝试求解薛定谔方程。
由于系统的势能在阱内为零，薛定谔方程可以简化为：-d²ψ(x)/dx² = k²ψ(x)，其中，k=√(2mE/ħ²)。
这是一个常微分方程，我们可以通过分离变量和积分来求解。
假设ψ(x)可以分解为两个函数的乘积：ψ(x) = X(x)Y(y)。
将这个假设代入方程中，并整理得：1/X(x) * d²X(x)/dx² = -1/Y(y) * dY(y)/dy = -k²。
我们可以分别对X(x)和Y(y)进行求解，然后将两个解再组合起来得到系统的波函数。
针对常微分方程1/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²，我们可以得到其解为X(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)，其中，A和B是常数。
21-6一维无限深势阱
x
n 1,2,3,
将上式对x求导一次，并令它等于零
d n ( x ) dx
2
x 0
4 m a2
sin na x cos na x 0
0 x a , sin na x 0 cos na x 0
因为在阱内，即 只有
于是
n a
x (2 N 1) 2
a
0
A2 Sin 2 xdx
a A 1 A 2
三、求解结果
2
a
波函数： ( x) 0.( x 0, x a)
( x)
能级：
2 nx sin , (0 x a) a a
k 2 2m E
ka n
2
n2h2 En , (n 1,2, ) 2 8m a
量子论观点：
Ψ (x)
当 n 很大时， 量子概率分 布就接近经 典分布 0
2 2 n Ψ( x) sin ( x) a a
2
Ψ (x)
2
n =4 n =3 n =2
a n =1
0
a
例题1、 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值 的位置。 解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 n ( n) a sin 2 2 n a
它的通解为：
( x) A sin(kx )
由波函数的标准条件得： 在x=0处：
A sin 0 0
A sin(ka ) 0 ka n , (n 1, 2,)
在x=a处：
由波函数的归一化条件得：
1
2
A sin xdx
2 2
一维无限深势阱
一维无限深势阱无限深阱假设粒子不能离开势阱，也就是有一个势为无穷大的壁。
势可以写成()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-∞=2022a x a x a x V（注：也可以选用坐标形如第二个图，这样的解简单，且容易推广到三维，但是对称性不如第一个图明显。
）注意，这个势是有奇异性的，我们分别有势阱内和势阱外的方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=≤=+外）（阱外，粒子不能到阱（阱内）2020222a x a x E m dx d ψψψ 考虑势阱内，定义： 22mE k ≡ 定态方程为：0222=+ψψk dxd 此方程的通解为：kx B kx A cos sin +=ψ或：()δψ+=kx A sin连续性条件：02=±=ax ψ（单值、有限自动满足） 于是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+)2(cos )2(sin )2(cos )2(sin a k B a k A a k B a k A （注意：由于势在边界上有奇异性（无限深 ）， ψ不连续，有跃变。
）这是关于 A 、B 的齐次方程，有非零解的条件是系数行列式为零，即：02cos 2sin 2cos 2sin =-a k a k a kak因此， 02cos 2sin 2=a k a k 即：0sin =ka故：() 3,2,1==n n ka π（注意：n 不能取 0 ，否则就出现了不振动的“波”。
）an k k n π== 22222ma n E n π= n maE 222π ≈∆ 可见势阱中能级是分立的，（与用德布罗意驻波直接计算一样）。
需要注意的是，n ma E 222π ≈∆，即能级越高越稀疏，但大量子数情况下02~→∆nE E n n ，即n n E E <<∆，所以在经典情况下（大量子数）感受不到能级的间隔，便认为能量是连续的，与对应原理相符。
下面求波函数，我们有：n 为奇数（偶宇称）：002sin =⇒=A a k A n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=∴202cos a x a x x k B n n ψ n 为偶数（奇宇称）：002cos =⇒=B a k B n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=∴202sin a x a x x k A n n ψ其实上述结果可以直接看出来，因为态应该取确定的宇称，因此只能是sin 或者cos ，不可能是它们的组合。
一维无限深势阱
(at x a) (at x a)
Acos ka 0,
B sin
ka
0.
有两种情形的解：
（1） B 0, coska 0, 所以，
(n 1 )
k 2 , a
(n 0,1,2, )
E
2 2 2a 2
n
12
2
,
(
x)
A cos
n
12
x
a
.
(偶宇称)
(2) A 0,sin ka 0 所以，
0
显然E必须>0，所以记
(a x a)
2E
k
那么方程变成： d 2
dx 2
k 2 (x)
0.
它的一般解是：
(x) Acos kx Bsin kx.
(a x a)
这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限
大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以
现在
Acos ka Bsin ka 0, Acos ka Bsin ka 0,
n
k , a
(n 1,2,3, )
E
2 2 2a 2
n2,
( x) B sin nx .
a
（奇宇称）
二者合起来可写为：
n
kn 2a ,
(n 1,2,3, )
En
2 2 8a 2
n2,
n n (x) An sin 2a (x a).
波函数的归一化是：
所以，
a | (x) |2dx 1 a
R
B2 A2
(k 2
(k 2 k32 )2 sh 2k3a k32 )2 sh 2k3a 4k 2k32
,
《一维无限深势阱》课件
解题方法与工具
薛定谔方程、波函数公式和 边界条件的应用。
应用前景
在多个领域有很多实际应用。
计算激发态的概率
利用特定能级的波函数计算激发态的概率；以及其他相关问题的解答。
应用
材料科学领域
解决纳米材料中的物理、化学和 力学问题
量子信息领域
利用量子特性加速数据处理；破 译密码和设计新型电池。
纳米技术领域
研究光电、信息、能源等相关的 量子力学现象。
总结
一维无限深势阱的特殊 性质
简单而重要的模型，可用于 探究更复杂的问题。
基本概念
势能与波函数
势能定义粒子所在位置的势场， 波函数描述粒子位置的可能性 幅度。
薛定谔方程
描述粒子的术语，包括势能、 动量被发现 在特定位置的可能性。
波函数的物理意义
波函数描述粒子的位置、动量 和能量等物理量的概率分布。
解法
1
波函数公式
《一维无限深势阱》PPT 课件
欢迎来到我们的演示文稿。我们将一起探讨令人兴奋的量子力学现象，发现 一维无限深势阱的概念、解法和应用。让我们开始！
简介
什么是一维无限深势阱？
描述了一维粒子在具有无限 深势阱的区域内的性质。
为什么要研究它？
简单而重要的模型可用于探 索更复杂的问题。
研究它有什么应用？
了解电子和纳米材料中的量 子现象，以及量子信息学和 计算机领域中的应用。
每个薛定谔方程的解都对应一个特定能量的粒子状态并对应一个单独的波函数。
能级图谱
制作不同能级下对应的波函数图像，形成能级图谱。
典型问题
1
求解基态能量和波函数
应用波函数公式，从特定势能中解出基本能级的能量和波函数。
量子力学 一维无限深势阱
５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。
一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。
波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。
2.6一维无限深势阱
A sin a B cosa 0, A sin a B cosa 0,
由此得到
B cosa 0,
A sin a 0,
A,B不能同时为零，所以
（1）A=0， （2）B=0，
（2.6.7）
cosa 0,
sin a 0,
（2.6.8） （2.6.9）
n 所以 a , n 1,2,3 2
把在无限远处为零的波函数所描写 的状态称为束缚态。 一般来说，束缚态的能级是分立的。
能量最低的状态，称为基态。
§2.6一维无限深势阱
一．一维无限深势阱 考虑粒子在一维空间中运动，它的势能在一定 区域内（-a<x<a）为零，而在此区域以外，势 能为无限大，即
U x 0, x a, U x , x a.
（2.6.1）
这种势阱称为一维无限深势阱。 在阱内( x a, )体系所满足的定态薛定谔方程为
和有限性的要求，只有当 0 时。（2.6.3）式才 能成立，所以有
0
令
，
x a
1 2
（2.6.4）
2m E 2
（2.6.5）
则（2.6.2）式简化为
d 2 ( x) 2 ( x) 0 2 dx
，
x a,
其通解为 ( x) A sin x B cosx ， x a, （ 2.6.6 ） 因为 ( a) 0 ，代入（2.6.6），有
n ( x, t ) n x e
i
i En t
En t n x a e A sin 2a
e e 由 sin 2i
i
得，
n ( x, t ) C1e
一维无限深势阱
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25
对奇宇称态则不同，只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
即
V0a2
2h2
2m
，或
V0
2h2
2ma2
时
才可能出现最低的奇宇称能级。
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26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知，束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
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❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0
得
B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
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⑥定态波函数
n
n
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16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时， ' ' 0，
取极小值 向上弯曲
0时， ' ' 0，
取极大值 向下弯曲（见右图）
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一、一维无限深势阱
若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范
围内运动，其势函数称为势阱。
势函数 ：
U
(x)
0
0 xa x 0, x a
oa
x
二、方程的求解
当x<0时：
(x) 0
当0≤x≤a时：
d 2 ( x) dx2
2m 2
E ( x)
0
当x>0时： (x) 0
最大值位置
x
1 6
a
,
3 6
a,
5 6
a,
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
相邻两个最大值之间的距离
x
a n
Hale Waihona Puke 如果阱宽a不变，当n 时
x0
这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成 为均匀，与经典理论的结论趋于一致。
2、粒子的最小能量不等于零
最小能量
E1
n22 2ma2
也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。
3、粒子在势阱内出现概率密度分布
经典观点：
不受外力的粒子在0到 a 范围内出现概率处处相等。
量子论观点：
Ψ(x) 2 2 sin 2 (n x)
aa
Ψ (x)
2
Ψ (x)
当 n 很大时，
令
k 2 2mE 2
则
d 2 ( x) k 2( x) 0 dx2
它的通解为：
(x) Asin(kx )
由波函数的标准条件得：
在x=0处： Asin 0 0
在x=a处： A sin(ka ) 0 ka n , (n 1, 2,L )
由波函数的归一化条件得：
1 A2 sin 2 xdx a A2Sin2 xdx
cos
n
a
x
0
x0
因为在阱内，即
0 xa,
sin
n a
x0
只有
cos
n a
x
0
于是
n a
x
(2N
1)
2
N 0,1,2, , n 1
由此解得最大值得位置为
x
(2
N
1)
a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x
1 2
a
n 2, N 0,1,
最大值位置
x
1 4
a
,
3 4
a
n 3, N 0,1,2,
n =4
量子概率分 布就接近经
n =3
典分布
n =2
0
a n =1 0
a
例题1、 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值 的位置。
解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为
n(n) 2
2 a
sin2
n a
x
n 1,2,3,
将上式对x求导一次，并令它等于零
d n ( x) 2
dx
4m
a2
sin
n
a
x
0
A2 a 1 A 2
2 a
三、求解结果
波函数： (x) 0.(x 0, x a)
(x) 2 sin nx , (0 x a)
能级：
a
a
k 2 2mE 2 ka n
n2h2 En 8ma 2 , (n 1,2, )
四、讨论 1、粒子能量不能取连续值
能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所 具有的性质。