因式分解(完全平方公式)

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因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件

ab2 a2 2ab b2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己；我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦；假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，

因式分解中的完全平方公式

思路点拨
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值，最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此，可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其提取出来。这有助于简化多项式，并使其更容易识别出完全平方项。
02
对提取公因式后的多项式进行观察，判断是否可以通过完全平方公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使得每组内部能应用完全平方公式。分组的方式可以根据多项式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式进行因式分解，得到分组内的因式。
将各分组的因式相乘，得到整个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解和掌握完全平方公式。

分解因式公式法---完全平方公式

12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的形状。温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和，然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？是（1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项（2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍（3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号（4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）

完全平方公式因式分解

灵活应用: 灵活应用:
(1)2006 − 6
2 2 2 2
2
(2)13 − 2 ×13 × 3 + 9 (3)11 + 39 + 66 ×13
小结
应用范围: 二次三项式. 应用范围二次三项式注意:(1)正确选取正确选取a,b. 注意正确选取 (2)公式分清公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中 (3)在因式分解中，通常先观察在因式分解中，所给多项式是否有公因式，所给多项式是否有公因式，然后在考虑用公式。然后在考虑用公式。（4）二项式若有负号，要提出符号）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形对于部分题目需要整理变形
注意: 注意
(1)正确选取正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清公式分清. 公式分清
分解因式
(1)3am + 3an + 6amn
2 2
(2) − a
2
− 4b + 4ab
2
2
(3) -8a(2a+b)-b
应用范围: 二次三项式. 应用范围二次三项式注意:(1)正确选取注意正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中，通常先观察在因式分解中，在因式分解中所给多项式是否有公因式，所给多项式是否有公因式，然后在考虑用公式。然后在考虑用公式。（4）二项式若有负号，要提出符号）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形对于部分题目需要整理变形
2 就得到
a + 2ab + b = (a + b) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
a + 2ab+ b = (a+ b) 2 2 2 a − 2ab+ b = (a − b )

完全平方公式因式分解

完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。

完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。

3因式分解---完全平方公式

师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。

2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。

二、重点难点完全平方公式的意义及运用。

1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。

知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。

注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。

4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。

．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。

分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。

解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。

【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。

分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。

14.3.2公式法_因式分解(完全平方公式)

a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点： 1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍
2 2 首 2首尾尾
判别下列各式是不是完全平方式
1x 2 xy y 2 2 2A 2 AB B 2 2 3甲 2 甲乙乙 2 2 4 2
a 2ab b a b
2 2
2
a 2ab b a b
2 2
2
这两个多项式有什么特征?
2 2 2 2 a +2ab+b 与a -2ab+b
这两个多项式是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，这恰是两个数和或差的平方。
我们把 2 2 和 2 2 a +2ab+b a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式。
1. 因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 2 2 【解析】9x －y －4y－4
= 9x2－(y2+4y+4） = 答案： 2. 分解因式：2a2–4a+2 2 【解析】 2a – 4a+2 = 2(a 2 – 2a +1) = 2(a – 1) 2
需要我们掌握： 1：如何用符号表示完全平方公式？
(1) (2) 1 6 a 4 + 2 4 a 2 b 2 + 9 b 4 2 2 解:（1）x － 12xy+36y 2 2 = x －2· x· 6y+ （ 6y ） = （ x － 6y ） 2 （ 2 ） 16a 4 +24a 2 b 2 +9b 4
2. 因式分解.
2 2 x － 12xy+36y

因式分解-完全平方公式

16x2－24x+9=(4x)2－2·4x·3+32
a2 + 2·a ·b +b2 解：(1)16x2 － 24x+9 = (4x)2－2·4x·3+32
=(4x － 3)2.
(1) x2＋14x＋49
解：
原式 x2 2 x 7 72
(x 7) 2
例、把下列多项式分解因式。
⑴、25－10x+x2 解：原式=52－2×5·x+x2
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 ___2_x_y__ y2 2 4a2 9b2 __1_2__a_b_ 3 x2 ___4_x_y_ 4 y2
4 a2 ___a_b___ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
1.计算：（1） (x-1)2 x2 2x1
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如： 4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
用平方差公式因式分解的多项式特征：
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号(一正一负)；
下面的多项式能分解因式吗？
(1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
练一练因式分解：
（1）25x2＋10x＋1 解:原式=（5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2
（2）-a2-10a -25
解:原式=-（a2+2×a×5+52)
例题
(5) 4a2 12ab 9b2
解：原式 (2a) 2 2(2a) (3b) (3b)2

因式分解完全平方公式例题

因式分解完全平方公式例题因式分解是数学中一个重要的概念，完全平方公式是因式分解中的一个常用方法。

在这篇文章中，我们将介绍完全平方公式的基本原理，并用例题加以说明。

完全平方公式是指一个二次三项式的平方能够被因式分解为两个平方的和或差。

这个公式的应用范围广泛，不仅在代数中有用，还在实际问题中有很多应用。

完全平方公式的一般形式是(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，其中a 和b是任意实数。

这个公式可以简单地证明，我们可以用分配律展开(a + b)^2，得到a^2 + ab + ab + b^2，然后合并相同项，即得到a^2 + 2ab + b^2。

使用完全平方公式的基本步骤是，首先将待因式分解的二次三项式写成完全平方的形式，然后根据公式进行因式分解。

下面我们通过一些例题来说明完全平方公式的应用。

例题1：将x^2 + 6x + 9进行因式分解。

解：我们看到这个三项式的第一项是x的平方，第二项是2倍x的系数，第三项是3的平方，符合完全平方公式的形式。

所以我们可以将这个三项式写成(x + 3)^2的形式。

因此，x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。

例题2：将4x^2 - 12x + 9进行因式分解。

解：我们可以先将这个三项式除以4，得到x^2 - 3x + 9/4。

然后我们观察x^2和9/4，可以发现这两个项的平方能够得到x^2和9/4，而-3x这个项正好是2倍x乘以-3/2的结果。

所以我们可以将这个三项式写成(x - 3/2)^2的形式。

因此，4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2。

例题3：将x^2 - 4x + 4进行因式分解。

解：我们可以将这个三项式写成(x - 2)^2的形式。

因此，x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2。

通过以上例题，我们可以看到完全平方公式在因式分解中的应用。

当我们遇到二次三项式时，如果我们能够将其写成完全平方的形式，就可以直接使用完全平方公式进行因式分解。

14.3 因式分解--完全平方公式

因式分解：
2x2 18
解：原式 2x2 9
2x 3x 3
探索完全平方公式
多项式 a2+2ab+b2 你能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
a2 2ab b2 a2 2ab b2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2
分解因式：(1) –x2+4xy–4y2 3ax2+6axy+3ay2
解： –x2+4xy-4y2
(2) 解: 3ax2+6axy+3ay2
= –(x2-4xy+4y2) = –[x2-2·x·2y+(2y)2]
= – (x-2y)2
=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
分解因式: 4 -12(x-y) + 9(x-y)2
4 -12(x-y) + 9(x-y)2 解：原式= 22 - 2·3(x-y)·2+[3(x-y)]2
=[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2
• m2-12mn+36n2 • -a2 +8ax- 16x2 • a2 +2a(b+c) + (b+c)2 • -a3 +2a2 - a

因式分解完全平方公式课件

因式分解
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重要内容，对于培养学生的逻辑思维和数学能力具有重要意义。随着教育改革的深入，因式分解完全平方公式的应用将更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有广泛应用，还在物理学、工程学等领域中有所应用。例如，在解决物理问题时，可以利用因式分解完全平方公式简化复杂的物理表达式；在计算机科学中，因式分解完全平方公式也可以用于算法优化和数据结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均为2，且常数项是首项和末项系数之积的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的基础应用，需要掌握公式结构，理解每一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少练习题2：a^2+2ab+b^2=多少

因式分解(完全平方公式)

因式分解——完全平方式翠英中学蔡妙璇教学目标：1．知识与技能：领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法：经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观：培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．教学重、难点与关键：1．教学重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．教学难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．教学关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法：采用自主探究教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程：一、回顾交流，巩固知识．（设计意图：承前启后，为本节内容的引入作铺垫，让学生进一步了解因式分解和乘法公式的关系．）1、什么是分解因式（把一个多项式化成几个整式的乘积的形式的式子变形）2、你能回答已学过的因式分解法吗（提公因式法和平方差公式法）3、计算下列各式：2a+=)(b2)a-=(b2x+=(y4)2x-=2(y3)二、创设情境，引入新课．（设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中认识因式分解的本质属性——将完全平方式化为乘积的式子变形．）问题：灰太狼总没抓到羊，为了表示惩罚，红太狼要求它站在门外口算出992 +198+ 1的值才可进家门，可怜的灰太狼在门口冻了半天，你能帮助它吗此处运用了什么公式 2222)(b ab a b a +±=±这个公式反过来222)(2b a b ab a ±=+±就像平方差公式一样，逆用完全平方公式可以把一些多项式因式分解，从而应用它可以进行一些简便计算等．三、分析讨论，探究新知．（设计意图：通过教学，引导学生掌握找完全平方式的方法，提出“口诀”．）我们可以利用完全平方公式来分解因式，这种方法称为“完全平方公式法”．1．公式 222)(2b a b ab a ±=+±2．文字两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子叫做完全平方式．3.特点：（教师引导学生说出它的特点）（1）必须是三项式（或可以看成三项式的）（2）有两个是同号的平方项（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.4.师生辨认：下列多项式是不是完全平方式（1）962++x x ；（2）2244y x x ++；（3）229124y xy x +-随堂练习1：找出完全平方式（1）222y xy x +-；（2）ab b a 222++；（3）2244y xy x ++；（4）226b ab a +-；（5）；（6）222y x xy --. 四、范例点击，应用所学（设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的例题与练习，提高学生对因式分解的完全平方公式法的认识，积累经验．）例1 分解因式：92416)1(2++xy x ；2244)2(y xy x -+-．思路：（1）直接用公式；（2）添括号后直接用公式.强调：因式分解过程就是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.随堂练习2:分解因式：12)1(2++a a ；3612)2(2++x x ；144)3(2+-x x ；222)4(y x xy ---．例2 分解因式：22363)1(ay axy ax ++ ；36)(12))(2(2++-+b a b a（1）步骤：一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）；（2）教学思想方法：整体代入思想.随堂练习3:分解因式：242)1(2++x x ；3222)2(a x a ax ++；412++x x22363)3(y xy x -+-；9)(6))(4(2++++y x y x五、课堂延伸，拓展提高（设计意图：进一步让学生巩固运用完全平方公式进行因式分解，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的教学价值．）随堂练习4：选择题（1）如果224y kxy x ++可以分解为2)2(y x -，则k 的值是（）A 、4B 、－4C 、2D 、－2（2）如果92++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（）A 、6B 、6±C 、3D 、3±（3）多项式25)(10)(2++-+b a b a 分解因式的结果是（）A 、2)10(++b aB 、2)25(-+b aC 、2)5(++b aD 、2)5(-+b a随堂练习5：现在你能快速口答出119989992++的值吗六、课堂总结，发展潜能．（设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容．）1、到目前为止我们学习了几种因式分解的方法（1）提公因式法；（2）公式法（平方差公式、完全平方公式）.2、什么是完全平方式（1）必须是三项式（或可以看成三项的）；（2）有两个同号的平方项；（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍.简记口诀：“首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.3、因式分解基本步骤一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）.七、布置作业，专题突破．（设计意图：考查学生运用完全平方公式进行因式分解的应用情况.）暗线本作业：课本P119习题14．3复习巩固第3题．《南方新课堂》P77-78八、教学反思，不断提高．（略）。

因式分解-完全平方式

2
简化表达式
完全平方差公式可以帮助我们简化一些复杂的数学表达式，使其更易于计算。
3
证明等式Βιβλιοθήκη 在数学证明中，我们常常需要使用完全平方差公式来推导出等式的正确形式。
练习题
练习1 练习2
将以下多项式进行因式分解： $x^ 2 + 6x + 9$
计算以下表达式的值： $(3+ 2)^ 2 - (3-2)^ 2$
完全平方公式的应用
解二次方程
通过将二次方程转化为完全平方的形式，我们可以更轻松地找到它的根。
几何形状
对于一些常见的几何形状，我们可以利用完全平方公式来计算其面积和边长。
物理实验
在一些物理实验中，我们可以使用完全平方公式来推导出一些重要的关系。
完全平方差公式的应用
1
因式分解
通过应用完全平方差公式，我们可以将复杂的多项式因式分解为简单的乘积。
因式分解-完全平方式
因式分解是解开一个多项式的秘密的一种方法。了解完全平方数的定义和公式，以及应用完全平方公式和完全平方差公式进行因式分解。
完全平方数的定义
完全平方数是一个整数的平方，例如4、9、16。它们可以用来方便地进行因式分解，并且在数学中经常出现。
完全平方公式
完全平方公式
$(a+ b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2$
推导公式
我们可以通过展开$(a+ b)^ 2$来得到完全平方公式，它在因式分解中起到重要的作用。
完全平方差公式
1
完全平方差公式
$a^ 2 - b^ 2 = (a+ b)(a-b)$
2
使用方法
通过将一个多项式表示为两个平方差的乘积，我们可以更容易地进行因式分解和简化。

公式法因式分解2(完全平方公式)

完全平方式有什么特征？ (1)二次三项式。 (2)两数的平方和，两数积的2倍。
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式是不是一个完全平方式。做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) x2 6x 9 (2) (3) m2n2 4 4mn
x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
已知a+b=7，a2+b2=29，求（a-b）2 值。
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c) a-b-c＜0,a+b+c﹥0 ∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
将4x2＋1再加上一项，使它成为完全平方式，你有几种方法？
完全平方公式：完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
(a－b)2 = a²－2ab＋ b²
两个数的平方和，加上(或减
去)这两数的积
整式乘法
的2倍，等于这
a²＋2ab＋ b²= (a＋b)2 两数和(或差)的平方。
a²－2ab＋ b²= (a－b)2
因式分解
我们把多项式a²＋2ab＋b²和 a²－2ab＋b²叫做完全平方式。
(4)(2x＋y) 2－6 (2x＋y)＋9
注意啦！首先要考虑能不能提取公因式！
灵活地把(2x＋y)看成一个整体，这需要你的智慧哟。
(3)ax2 2a2 x a3 (4) 3x2 6xy 3y2
(5) (a+b)4-10(a+b)2+25
Байду номын сангаас3.用简便方法运算。

用完全平方公式进行因式分解

我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2

因式分解公式大全

因式分解公式大全因式分解是将一个多项式分解成一组可以被其他多项式整除的因式的乘积。

因式分解在高中数学中非常重要，可以帮助我们解方程、简化表达式、找出多项式的性质等。

下面是一些常见的因式分解公式：一、二次三项式分解1.平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$这个公式比较简单，可以用来因式分解一些形如$a^2-b^2$的二次三项式。

2. 完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$这个公式用于将一个二次三项式分解为两个相同的一次三项式的平方和。

3. 完全平方差公式：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$与完全平方公式相似，这个公式用于将一个二次三项式分解为两个相同的一次三项式的平方差。

二、二次三项式与一次三项式分解1.两项互素公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$这个公式用于将一个二次三项式分解为两个一次三项式的乘积。

2. 平方差与平方和公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$和$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$这两个公式是完全平方公式和完全平方差公式在一般情况下的扩展。

三、三次三项式分解1. 和差之积公式：$(a+b)(ax^2 - bx + c) = a(ax^2 - bx + c) + b(ax^2 - bx + c) = a\cdot ax^2 - abx + ac + abx - b^2x + bc =a^2x^2 - b^2x + ac + bc = (ax^2 + (a + b)x + c)(ax^2 - bx + c)$这个公式用于将一个三次三项式分解为一个一次三项式与一个二次三项式的乘积。

2. 根与系数之间的关系：如果一个三次三项式$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$有一个实数根$r$，那么$f(x)$可被$x-r$整除。

3. 三项分解公式：对于一个三次三项式$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，如果存在两个数$p$和$q$使得$p+q = \frac{-b}{a}$和$pq =\frac{c}{a}$，那么$f(x)$可被$(x-p)(x-q)$整除。

因式分解——完全平方公式

因式分解——完全平方公式
完全平方公式（Quadratic Formula），是一类中学数学问题，它用来求解格式为ax2+bx+c=0，a≠0 的二次方程的根（即x）的一种方法。

它的公式是：
x1 = [-b+√(b2-4ac)]/2a；
x2 = [-b-√(b2-4ac)]/2a。

二、完全平方分解
完全平方分解是一种方法对一个数进行因式分解，以求得它最原始的因式。

它让我们将一个数分解到最简单的形式，比如n²或者n²+2n+1、常见的完全平方分解公式如下：
a² +2ab +b² = (a+b)²；
a² -2ab +b² = (a-b)²；
a² +2ma + m²= (a+m)²。

它可以用于分解多项式，因为它可以有效地将多个项分解成一个项并求得它们的乘积；如果需要相减，完全平方分解也可以将一个含有两个负号的多项式分解成两部分，使其易于求和。

完全平方分解的步骤如下：
步骤一：将原式拆分成平方项的和；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数；
步骤三：选出两个数的积，使其和等于已被拆分的平方项；
步骤四：将拆分的平方项的和写成完全平方式；
步骤五：最后，将原式分解为完全平方式形式。

示例：
令x²-4x+4=0。

步骤一：将原式拆分成平方项的和，即x²=4x-4；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数;x可以选择2，4；。