微积分下册主要知识点

4.1不定积分 *基本积分表

*基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法

一、第一换元积分法(凑微分法)

C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.

二、常用凑微分公式

三、第二换元法

C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,

注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有

a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c)

,22a x - 可令 .sec t a x =

x u x u x

u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x

x f x d x f dx x x f x

d x f xdx x f x d x f xdx x f x

d x f xdx x f x

d x f xdx x f da

a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x

x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x

x x x x

x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )

(arcsin )(arcsin 11

)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11

)

(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)

(ln )(ln 1

)(ln .3)

0()()(1

)(.2)

0()()(1

)(.12

2221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ

法

分

积元换

一第换元公式积分类型

当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t

x 1

=.

四、积分表续 4.3分部积分法 分部积分公式： ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)

⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)

分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数).

.

arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mx

x mx

x x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n

5.1定积分的概念 5.2定积分的性质

两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰

b

a

dx x f (b) 当b a >时,

⎰⎰

-

=a

b

b

a

dx x f dx x f )()(.

性质1 .)()()]()([⎰⎰

⎰±

=±b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f

性质2 ,)()(⎰

⎰=b

a

b

a dx x f k dx x kf (k 为常数).

性质3

⎰⎰

⎰

+

=

b

c

c

a

b

a dx x f dx x f dx x f )()()(.

性质4 .1a b dx dx b

a

b

a

-==⋅⎰

⎰

性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰

≤

b

a

b

a

dx x g dx x f ).(b a <

推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰

b

a

dx x f ).(b a <

推论2

).(|)(|)(b a dx

x f dx x f b

a

b

a

<≤

⎰⎰

性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则

).()()(a b M dx x f a b m b

a

-≤≤

-⎰

性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使

).(),)(()(b a a b f dx x f b

a

≤≤-=⎰

ξξ

5.3微积分的基本公式

一、引例

二、积分上限的函数及其导数：⎰

=

Φx

a

dt t f x )()(

定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数

⎰

=

Φx

a

dt t f x )()(

就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.

三、牛顿—莱布尼兹公式

定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则

)()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

. (3.6)

公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.

5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法

定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件： （1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ； （2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有

⎰⎰

'=

β

α

ϕϕdt t t f dx x f b

a

)()]([)(. (4.1)

公式(4.1)称为定积分的换元公式.

定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：

（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；

（2） 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法

⎰b

a

udv

⎰-=b

a b a

vdu uv ][ 或

⎰

'b

a

dx v u ⎰

'-=b

a b a dx u v uv ][

5.5广义积分

一、无穷限的广义积分

)()(|)()(a F F x F dx x f a a

-+∞==∞

++∞

⎰

)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰

F b F x F dx x f b b

)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞

∞

-⎰F F x F dx x f

二、无界函数的广义积分

⎰

⎰++→=b

a b

a dx x f dx x f ε

ε)(lim )(0

.)(lim

)(0⎰

⎰

-+→=ε

εb a

b

a dx x f dx x f

5.6定积分的几何应用

一、微元法