函数定义域求法总结

合集下载

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法方法一：直接根据函数的定义进行求解。

这是最基本的一种方法，即根据函数的定义来求解定义域。

例如，对于一个多项式函数f(x)，定义为f(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们可以直接根据定义域的限制条件来求解。

由于多项式函数的定义域是全体实数，因此该函数的定义域为(-\infty, +\infty)。

方法二：挑选一些特殊的数进行验证。

这是一种常用的方法，即通过挑选一些特殊的数进行验证，看它们是否在函数的定义域内。

例如，对于一个有理函数g(x)，定义为g(x) = \frac{1}{x}，我们可以挑选x的一些特殊值进行验证。

首先，x不能为0，否则分母为零，函数无定义。

另外，由于有理函数对应的分母不能为零，因此定义域为(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)。

方法三：求解不等式得到定义域的范围。

对于一些复杂的函数，可以通过求解不等式来得到定义域的范围。

例如，对于一个开方函数h(x)，定义为h(x) = \sqrt{x^2 - 4x}，我们可以通过求解不等式x^2 - 4x \geq 0来确定定义域的范围。

首先，将不等式化简为(x-2)(x-2) \geq 0，得到x \leq 2或x \geq 2，因此定义域为(-\infty, 2] \cup [2, +\infty)。

方法四：分段定义域的求解。

对于一些函数是在不同区间有不同定义域的情况，可以采用分段定义域的求解方法。

例如，对于一个分段函数j(x)，定义为j(x) = \begin{cases}2, & \text{if } x\leq 0\\\sqrt{x}, & \text{if } x > 0\end{cases}这个函数在x\leq 0时有定义，且在x > 0时也有定义。

因此定义域为(-\infty, 0] \cup (0, +\infty)。

方法五：利用基本函数的定义域性质进行推导。

常见函数解析式定义域值域的求法总结

常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。

定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。

在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。

下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。

一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。

2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。

3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。

4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。

5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。

6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。

7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。

二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。

2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。

例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。

3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。

4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。

5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。

函数定义域值域方法总结打印版1

函数定义域、值域求法总结一、函数的定义域❖ 基本方法：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠1、一般函数定义域求法例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=211)(2、复合函数定义域的求法例2 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7 已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域练习：1 、已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。

[2,25-）2 、已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域3 、若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是（）Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4 、已知函数()11x f x x +=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（）Ａ．AB B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法1、直接法例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1)② ）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ 求函数y =3+x 32-的值域例2 求下列函数的最大值、最小值与值域（二次函数在区间上的值域(最值)）：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,——————开口、对称轴、定义域2、单调性法例3 求函数y=4x －x 31-(x ≤1/3)的值域。

求定义域的方法

求定义域的方法
一、代数法求定义域。

对于一些简单的函数，可以通过代数方法来求其定义域。

例如
对于多项式函数，有理函数，指数函数和对数函数等，可以通过对
函数进行分析，找出函数中自变量的取值范围，从而求出定义域。

二、图像法求定义域。

对于一些复杂的函数，可以通过绘制函数的图像来求其定义域。

通过观察函数的图像，可以直观地看出函数的定义域是什么样的。

这种方法对于一些无法通过代数方法求解的函数来说是非常有效的。

三、条件法求定义域。

对于一些复杂的函数，可以通过条件法来求其定义域。

例如对
于含有根号的函数，需要满足根号中的值大于等于0，才能使得函
数有意义。

因此可以通过这种条件来求解函数的定义域。

四、综合法求定义域。

对于一些特殊的函数，可能需要综合运用代数法、图像法和条件法来求解其定义域。

通过综合运用多种方法，可以更准确地求解函数的定义域。

综上所述，求定义域的方法有代数法、图像法、条件法和综合法。

不同的函数可能需要采用不同的方法来求解其定义域，需要根据具体情况来选择合适的方法。

在实际应用中，求定义域是解决函数定义范围的重要问题之一，对于深入理解函数的性质和特点具有重要意义。

希望以上方法能够帮助到大家，更好地理解和掌握函数的定义域求解问题。

函数定义域的求法整理(整理详细版)

函数定义域的求法整理一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥。

③由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。

例2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④ 由③和④求公共部分，得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

函数定义域的几种求法

函数定义域的几种求法函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。

求函数定义域的几种方法有：1、根据函数的表达式或方程求解法这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。

例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。

2、根据函数的几何图形特征求解法这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。

例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。

3、根据定义求解法例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。

4、根据解析学原理求解法对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。

例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。

根据等式 y - 1 =0 我们可以得到|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。

所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。

函数定义域值域求法(全十一种)

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法定义域是指一个函数中所有可能输入的集合。

具体来说，定义域是指函数中的自变量可以取得的所有值。

在数学中，求定义域是解决一个函数的自变量的取值范围的问题。

下面是八种常见的方法来求定义域。

方法1：显式定义对于一些函数，定义域可以通过其显式定义来确定。

例如，对于函数f(x)=1/x，定义域可以通过注意到除数不能为零来确定，即x不能为0。

因此，定义域就是除去0之后的实数集合：R\{0}。

方法2：关系定义有些函数的定义域可以通过直接观察定义函数的关系来确定。

例如，对于函数f(x)=√(2x-1)，注意到根号内的表达式必须大于等于零，即2x-1≥0。

解这个不等式可以得到定义域为x≥1/2方法3：对数函数对于对数函数，定义域必须满足底数必须大于零且不等于1，并且实数必须大于零。

例如，对于函数f(x) = log₂(x + 3)，定义域为x + 3 > 0，即x > -3方法4：分式函数对于分式函数，定义域必须使分母不等于零。

例如，对于函数f(x)=1/(x-2)，定义域为x≠2方法5：根式函数对于根式函数，定义域必须使根号内的表达式大于等于零。

例如，对于函数f(x)=∛(x-4)，根号内的表达式必须大于等于零，即x-4≥0，解不等式可得x≥4、因此，定义域为x≥4方法6：三角函数对于三角函数，定义域是实数的所有值，因为三角函数在整个数轴上都有定义。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，定义域为所有实数：(-∞, ∞)。

方法7：反三角函数对于反三角函数，定义域必须使其定义范围内的表达式满足相应的条件。

例如，对于函数f(x) = arcsin(x)，由于反正弦函数的定义域是[-1, 1]，因此定义域必须满足-1 ≤ x ≤ 1方法8：参数化定义对于一些函数，可以通过将函数参数化来求取定义域。

例如，对于函数f(x)=√(x²-1)，我们可以通过取x²-1≥0来求取定义域。

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。

下面将介绍其中的八种方法。

方法一：根据函数公式求取定义域。

对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。

例如对于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。

方法二：分析函数的基本性质。

有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。

例如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此定义域为实数集。

方法三：考虑函数中的根。

对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的情况。

例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所以定义域为{x，x≥3}。

方法四：考虑函数的分段定义。

对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。

例如对于函数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实数集。

方法五：考虑函数的限制条件。

有时函数在定义域上有一些限制条件。

例如对于对数函数f(x) =ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。

方法六：考虑函数的参数限制。

对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。

例如对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定义域为实数集。

方法七：考虑函数的复合性质。

对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。

例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。

例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的定义域与f(x)的定义域保持一致。

方法八：考虑函数的图像。

对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。

例如对于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义域为实数集。

求定义域的方法总结

求定义域的方法总结
8种求定义域的方法
可根据不同函数的八种类型，分为以下八种方法来求函数的定义域:
①整式的定义域为R。

整式可以分为单项式还有多项式，单项式比如y＝4x，多项式比如y＝4x+1。

这时候无论是单项式还是多项式，定义域均为｛x｜x∈R｝，就是x可以等于所有实数。

②分式的定义域是分母不等于0。

例如y＝1/（x-1），这时候的定义域只需要求让分母不等于即可，即x-1≠0，定义域为｛x｜x≠1｝。

③偶数次方根定义域是被开方数≥0。

例如根号下x-3，这时候定义域就是让x-3≥0，求出来定义域为｛x｜x≥3｝。

④奇数次方根定义域是R。

例如三次根号下x-3，定义域就是｛x｜x∈R｝。

⑤指数函数定义域为R。

比如y＝3^x，定义域为｛x｜x∈R｝。

⑥对数函数定义域为真数＞0。

比如log以3为底（x-1）的对数，让x-1＞0，即定义域为｛x｜x＞1｝。

⑦幂函数定义域是底数≠0。

比如y＝（x-1）^2，让x-1≠0，即定义域为｛x｜x≠1｝。

⑧三角函数中正弦余弦定义域为R，正切函数定义域为x≠π/2+kπ。

这时候求定义域画个图就可以看出来了，只要记住三角函数图像，即可求出定义域。

这八种类型是常见函数类型，求定义域时首先要分辨清楚它们属于哪个类型的函数，然后根据基本的定义域来求复杂函数定义域。

函数定义域值域求法总结

函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。

在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。

本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。

一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。

例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。

2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。

一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。

例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。

3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。

例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。

5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。

因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。

二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。

例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。

函数的定义域常见求法

函数的定义域常见求法一、函数的定义域的定义函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、指数函数xy a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2x x k k z ππ≠+∈.7、复合函数的定义域的求法（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.8、求函数()()y f x g x =+的定义域一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的定义域.9、求实际问题中函数的定义域不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】方法一直接法使用情景函数的结构比较简单.解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.【例1】求函数2253y x x =+-的定义域.【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数21x y x +=+. 方法二求交法使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()()f x g x h x =+型.解题步骤一般先分别求函数()g x 和()h x 的定义域A 和B ,再求AB ,A B 就是函数()f x 的定义域.【例2】求函数225y x =-3log cos x 的定义域.【解析】由题得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-∴⎩⎨⎧>≥-zk k x k x x x 2222550cos 0252ππππ∴}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或所以函数的定义域为}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或【点评】（1）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先求()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos 0x >时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求552222x k x k k zππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩的解集时，只需给参数k 赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网【例3】求函数 02)23(3|3|)lg(-+-+-=x x x x y 的定义域.【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.【例4】求函数log (1)(01)xa y a a a =->≠且的定义域.【解析】由题得 0101=xxa a a ->∴>1a >当时，x>0;当0<a<1时，x<0.1{a ∴>当时，函数的定义域为x|x>0}, 1{a <当0<时，函数的定义域为x|x<0}.【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a 的取值范围，一般要分类讨论.【反馈检测2】求函数2ln1)23xy a x x =---+（的定义域.方法三抽象复合法使用情景涉及到抽象复合函数.解题步骤利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.【例5】求下列函数的定义域：（1）已知函数f （x)的定义域为[2,2]-，求函数2(1)y f x =-的定义域；（2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域；（3）已知函数f （x)的定义域为[1,2]-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.【反馈检测3】已知函数(tan 2)y f x =的定义域为[0,]8π，求函数()f x 的定义域.【反馈检测4】若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求函数)(log 2x f 的定义域.方法四实际法使用情景数学问题是实际问题.解题步骤先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域.【例6】用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与关于x 的函数解析式，并求出它的定义域. 【解析】如图，【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即2x 02x 02x π⎧⎪⎨⎪⎩＞L －－＞，不能遗漏.【反馈检测5】一个圆柱形容器的底部直径是dcm ,高是hcm .现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.参考答案【反馈检测1答案】{|12}x x x >-≤-或【反馈检测1详细解析】由题得(2)(1)012201011x x x x x x x x ++≥≥-≤-⎧⎧+≥∴∴⎨⎨+≠+≠-⎩⎩或所以12{|12}x x x x x >-≤-∴>-≤-或函数的定义域为或.【反馈检测2答案】当1a >时，函数的定义域为{|01}x x <<；当01a <<时，函数的定义域为{|30}x x -<<.【反馈检测3答案】[0,1]【反馈检测3详细解析】由题得0020tan 2184x x x ππ≤≤∴≤≤∴≤≤，所以函数的定义域为[0,1].【反馈检测4答案】{}42|≤≤x x【反馈检测4详细解析】依题意知：2log 212≤≤x 解之得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x【反馈检测5答案】函数解析式为24vtx dπ=,函数的定义域为{t |0≤t ≤2hd 4v π}，值域为{x |0≤x ≤h }. 【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为t 秒后,容器中溶液的高度为xcm .故t 秒后溶液的体积为＝底面积×高＝π⎪⎭⎫⎝⎛2d 2x ＝vt 解之得：x ＝24vt d π又因为0≤x ≤h 即0≤24vt d π≤h ⇒ 0≤t ≤2hd 4v π，故函数的定义域为{t |0≤t ≤2hd 4vπ}，值域为{x |0≤x ≤h }.。

函数定义域求法总结

函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

（1）分母不为（2）偶次根式的被开方数。

（3）对数中的真数。

（4）指数、对数的底数（5）y=tanx 中；y=cotx 中等等。

( 6 )0x 中。

二、抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为；函数f x ()-2的定义域为；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x+的定义域为。

4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

函数定义域的求法整理整理详细版

函数定义域的求法整理(整理详细版) 函数定义域的求法是数学中一个重要的主题。

函数的定义域是函数中自变量的取值范围，它是函数能够正确运算的基础。

下面是求函数定义域的一些常见方法和步骤：一、理解基本的求定义域的方法1.常见初等函数的定义域：对于一些常见的初等函数，如二次函数、反比例函数、正比例函数等，我们需要了解它们的定义域是如何求解的。

例如，对于二次函数 f(x) = x^2，它的定义域是实数集。

2.抽象函数的定义域：对于较为抽象的函数，我们需要根据函数的解析式和性质来确定其定义域。

例如，对于函数 f(x) = 1/x，它的定义域是除了0以外的所有实数。

二、求定义域的步骤1.确定函数的类型：首先需要确定所给函数的类型，如一次函数、二次函数、对数函数等，这将有助于我们确定定义域的求解方法。

2.观察解析式：解析式是求函数定义域的关键。

我们需要观察解析式中有哪些部分，如常数、幂函数、指数函数、三角函数等。

3.根据解析式和性质确定定义域：根据所给函数的解析式和性质来确定定义域。

例如，对于幂函数 f(x) = x^a，当 a > 0 时，它的定义域是所有正实数；当 a < 0 时，它的定义域是所有负实数。

4.注意特殊情况：在确定函数的定义域时，需要注意一些特殊情况。

例如，对于含有开方的函数，它的定义域可能是大于等于0的实数或者复数。

5.特殊符号：有时候解析式中会出现特殊符号，如对数符号、平方根符号等，这些符号会对定义域产生影响。

需要了解这些符号的定义域。

6.根据实际应用确定定义域：在某些情况下，函数的定义域可能需要根据实际应用来确定。

例如，对于三角函数的定义域，通常取一切实数；但是对于某些特定的函数，如正弦函数和余弦函数的变种，它们的定义域可能只取一段区间。

7.训练方法和思维：除了掌握求定义域的基本步骤，还需要通过大量的训练来提高解题的速度和准确性，并逐渐形成科学合理的思维方式。

通过对各种题型进行分类整理，深入分析问题中的知识点和求解方法。

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。

求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。

以下是常见的求解函数定义域的8种方法：方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。

如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。

例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。

所以定义域是R- {1}。

方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。

如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。

例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。

方法三：检查函数表达式中的对数。

对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。

对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。

例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。

所以定义域是(0, +∞)。

方法四：检查函数表达式中的三角函数。

注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。

所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。

例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。

方法五：检查函数表达式中的指数。

有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。

例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。

方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。

例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。

所以定义域是[-1, 1]。

方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。

例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。

函数定义域与值域求法总结

函数定义域与值域求法总结一：函数定义域的求法 1.求函数定义域的一般原则是：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0x y =要求0≠x .（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2.抽象函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域为A ，求())(x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围.（2）已知())(x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知())(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的范围，此范围就是)(x f 的定义域.例1.求出下列函数的定义域（1）32+=x y ；（2）21)(+=x x f ；（3）xx f -=21)(；（4）x x y -+-=11；（5）11)(2-+=x x x f ；（6）02)13(13-+-=x xx y .例2.抽象函数求定义域（1）设)(x f y =的定义域是[0,2]，求)3(+x f 的定义域；（2）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)(x f 的定义域；（3）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)2(-x f 的定义域.巩固练习：1.求下列函数的定义域： (1)=)(x f 21+x ； (2)=)(x f 23+x ； (3)=)(x f xx -++311.2.若函数)(x f 的定义域为[]2,1-，则函数)23(x f -的定义域为________．二：函数值域的求法考查角度1 配方法求值域（此种方法适用于求二次函数或可化为二次函数的函数的值域）【例1】当1≤x ≤2时，求函数y ＝﹣x 2﹣x +1值域．【练1.1】已知二次函数245y x x =-+，分别求下列条件下函数的值域：（1）[1x ∈-，0]；（2）(1,3)x ∈；（3）(4x ∈，5]．【练1.2】已知函数2()41f x x x =-+，求函数[()]y f f x =的值域．【练1.3】求函数222()21f x a x a x =-+在[1-，2]的值域．【考查角度2 分离常数法求值域】【例2】（1）求函数2331x y x -=-+的值域．（2）已知函数1()2x f x x +=+，求()f x 的值域．【练2.1】（1）求下列函数的值域：)1(132≥++=x x x y .（2）求函数321xy x -=-的值域．【练2.2】（1）求下列函数的值域：2132x y x -=+．（2）求函数225941x x y x ++=-的值域．【练2.3】（1）求函数22223x xy x x -=-+的值域．（2）求函数2221()3x f x x -=+的值域．考查角度3 换元法求值域【例3】求2y x =【练3.1】求下列函数的值域．（1）22y x =-（2）5y x =+（3）y x =+．【练3.2】求下列函数的值域．（1）22221(2)x x y x x -+=>（2）2854y x x =-+【练3.3】求函数()f x 的值域．考查角度4 判别式法求值域【例4】利用判别式求函数231xy x x =-+的值域．【练4.1】已知3x >，求函数22173x y x -=-的值域．【练4.2】求函数的值域：22221x x y x x -+=++．考查角度5 列分段函数求值域【例4】求函数的值域：|1||4|y x x =-++．【练5.1】求函数的值域：|1||21|y x x =+--【练5.2】已知函数224,(03)()6,(20)x x x f x x x x ⎧-=⎨+-⎩()()0230<≤-<≤x x ，求()f x 的值域．【练5.3】求函数24||3(33)y x x x =---<<的值域．【趁热打铁】1. 按要求求下列函数的值域：（1）1y =（观察法）；（2）y =（配方法）；（3）2y x =-+；（4）211x y x -+=-（分离常数法）．（5）28(45)y x x =÷-+（判别式法）．2. 求值域：（1）22566x x y x x -+=+-；（2）2224723x x y x x +-=++；（3）()f x x = （4）()f x =3. 求下列函数的值域：（1）2()231f x x x =--；（2）222()x xf x x x+=-；（3）()f x x =+ （4）()2f x x =（5）221()1x f x x -=+；（6）()5f x x =-+．4. 求下列函数的值域：（1）y x =（2）y x =+（3）4241y x x =++ （4）6y =．5. 求下列函数的值域．（1）31y x =+，[1x ∈，2]；（2）245y x x =--，[1x ∈-，1]；（3）11x y x +=-；（4）2211x y x -=+；（5）2y x =+．6. 求函数|3||5|y x x =+--的值域．7.求下列函数值域(1){}3,2,1,12∈+=x x y ； (2)1-=x y ； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2； (5)y ＝x ＋x ；（6）12++=x x y .三：函数解析式的求法1.待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数解析式.2.配凑法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，可从))((x g f 的解析式中配凑出)(x g ，即用)(x g 来表示，再将解析式两边的)(x g 用x 代替即可.3.换元法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，也可令t =)(x g ，再求出)(t f 的解析式，然后用x 代替)(t f 解析式中所有的t 即可.4.方程组法：常见的含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 时，将原式中的x 用x -（或x 1）代替，从而得到另一个同时含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出)(x f .例4.(1)已知，求； 3311()f x x x x+=+()f x（2）已知是一次函数，且满足，求；（3）已知满足，求)(x f .巩固练习：1.已知)(x f 是一次函数，且34))((+=x x f f ，求)(x f ．2.已知()x x x f21+=+，求)(x f ．3.设函数f (x )满足f (x )＋2f (x1)＝x (x ≠0)，求f (x ).课后练习1.函数f (x )＝x-21的定义域为M ，g (x )＝2+x 的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－2,2) C ．(－2,2)D ．(－∞，2) 2.设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋)1(xf ＝( ) A ．1－x 1＋x B ．1x C ．1 D ．0()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x ()f x 12()()3f x f x x +=3.若函数y ＝21-x 的定义域是A ，函数y ＝62+x 的值域是B ，则A ∩B ＝________. 4.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a a b a b 则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 5.求函数的值域（1）113+-=x x y ；（2）112-++=x x y .6.求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－x -1；(2)y ＝35--x x .7.求下列函数的解析式（1）已知二次函数564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f ；（2）若函数)0(1)1(22≠+=-x x x x x f ，求)(x f ；(3)设函数f (x )满足x x f x f 3)(2)(=-+，求)(x f ．8.已知函数f (x )＝2211xx -+， (1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：)1(x f ＝)(x f -．。

函数定义域值域求法(全十一种)

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。

③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。

故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。

例 2求函数 y sin x1的定义域。

16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。

（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。

例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。

解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。

（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。

其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。

例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。

即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。

函数定义域求法总结

函数定义域求法总结一、具体函数的定义域的问题 1、求下列函数的定义域。

（1）0y=（2）256x x x =-+。

二、抽象函数的定义域问题（一）已知函数()f x 的定义域，求函数[]()f g x 的定义域。

2、已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。

（二）已知函数[]()f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域。

3、已知函数(21)f x +的定义域为[1，2]，求函数()f x 的定义域。

（三）已知函数[]()f g x 的定义域，求函数[]()f h x 的定义域。

求函数解析的方法一、配凑法4、已知22113(1)x f x x x++=+，求()f x 的解析式。

二、换元法5、已知(12f x +=+()f x 的解析式。

三、特殊值法6、已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+都成立，且(0)1f =，求()f x 。

四、待定系数法7、已知()f x 是二次函数，全2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。

五、转化法8、设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0,f x f x ++=当11x -<≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。

六、消去法9、已知函数()f x 21()x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f x ，并证明()f x >。

求函数值域的方法一、配方法10、求二次函数256(32)y x x x =-+-≤≤的值域。

二、图象法 11、求244([2,3])3y x x =-+∈-的值域。

三、分离常数法12、求定义域在区间[-1，1]上的函数(0)a bxy a b a bx+=>>-的值域。

四、换元法13、求函数y x =五、叛别式法14、求22221x x y x x -+=++函数的值域。