动量守恒定律的应用-四种模型

例2.如图所示，一根质量不计、长为1m，能承受最大拉力为14N的绳子，一端固定在天花板上，另一端系一质量为1kg的小球，整个装置处于静止状态，一颗质量为10g、水平速度为500m/s的子弹水平击穿小球后刚好将将绳子拉断，求子弹此时的速度为多少？（g取10m/s2）

练2、一颗质量为m，速度为v0的子弹竖直向上射穿质量为M的木块后继续上升，子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T，那么当子弹射出木块后，木块上升的最大高度为多少？

例3．如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为m A＝2 kg、m B＝1 kg、m C＝2 kg.开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 发生碰撞．求A与C碰撞后瞬间A的速度大小．

练3．质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块冲来，设小球不能越过滑块，求：小球到达最高点时的速度和小球达到的最大高度。

例4.如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短，求从A开始压缩弹簧直至与弹黄分离的过程中，

(1)整个系统损失的机械能；

(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能．

练4．如图所示，光滑水平面上有A 、B 、C 三个物块，其质量分别为m A ＝2.0 kg ，m B ＝m C ＝1.0 kg ，现用一轻弹簧将A 、B 两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A 、B 两物块靠近，此过程外力做功108 J(弹簧仍处于弹性限度围)，然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C 恰好以4 m/s 的速度迎面与B 发生碰撞并瞬时粘连．求：

(1)弹簧刚好恢复原长时(B 与C 碰撞前)，A 和B 物块速度的大小；

(2)当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能．

1．静止在光滑水平地面上的平板小车C ，质量为m C =3kg ，物体A 、B 的质量为m A =m B =1kg ，分别以v A =4m/s 和v B =2m/s 的速度大小，从小车的两端相向地滑到车上．若它们在车上滑动时始终没有相碰，A 、B 两物体与车的动摩擦因数均为μ=0.2．求： （1）小车的最终的速度； （2）小车至少多长（物体A 、B 的大小可以忽略）．

2．如图，水平轨道AB 与半径为R=1.0 m 的竖直半圆形光滑轨道BC 相切于B 点．可视为质点的a 、b 两个小滑块质量m a =2m b =2 kg ，原来静止于水平轨道A 处，AB 长为L=3.2m ，两滑块在足够大的力作用下突然分开，

已知a 、b 两滑块分别沿AB 轨道向左右运动，v a = 4.5m/s ，b 滑块与水平面间动摩擦因数5.0=μ，g 取10m/s 2．则

(1)小滑块b 经过圆形轨道的B 点时对轨道的压力．

(2)通过计算说明小滑块b 能否到达圆形轨道的最高点C ．

附加题：如图，两块相同平板P 1、P 2置于光滑水平面上，质量均为

m .P 2的右端固定一轻质弹簧，左端A 与弹簧的自由端B 相距L .物体

P 置于P 1的最右端，质量为2m 且可看作质点．P 1与P 以共同速度

v 0向右运动，与静止的P 2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P 1与P 2粘连在一起．P 压缩弹簧后被弹回并停在A 点(弹簧始终在弹性限度)．P 与P 2之间的动摩擦因数为μ.求：

(1)P 1、P 2刚碰完时的共同速度v 1和P 的最终速度v 2；

(2)此过程中弹簧的最大压缩量x 和相应的弹性势能E p .

O C B

a b

A B v A v B C

例题参考答案

例3：因碰撞时间极短，A 与C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A 的速度为v A ，C 的速度为v C ，以向右为正方向，由动量定恒定律得 m A v 0＝m A v A ＋m C v C

A 与

B 在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为v AB ，由动量守恒定律得 m A v A ＋m B v 0＝(m A ＋m B )v AB A 与B 达到共同速度后恰好不再与

C 碰撞，应满足 v AB ＝v C

联立①②③式，代入数据得 v A ＝2 m/s.

例4：P 1与P 2发生完全非弹性碰撞时，P 1、P 2组成的系统遵守动量守恒定律；P 与(P 1＋P 2)通过摩擦力和弹簧弹力相互作用的过程，系统遵守动量守恒定律和能量守恒定律．注意隐含条件P 1、P 2、P 的最终速度即三者最后的共同速度；弹簧压缩量最大时，P 1、P 2、P 三者速度相同．

(1)P 1与P 2碰撞时，根据动量守恒定律，得mv 0＝2mv 1 解得v 1＝v 02

，方向向右 P 停在A 点时，P 1、P 2、P 三者速度相等均为v 2，根据动量守恒定律，得2mv 1＋2mv 0＝4mv 2 解得v 2＝34

v 0，方向向右． (2)弹簧压缩到最大时，P 1、P 2、P 三者的速度为v 2，设由于摩擦力做功产生的热量为Q ，根据能量守恒定律，得

从P 1与P 2碰撞后到弹簧压缩到最大 12×2mv 21＋12×2mv 20＝12

×4mv 22＋Q ＋E p 从P 1与P 2碰撞后到P 停在A 点 12×2mv 21＋12×2mv 20＝12

×4mv 22＋2Q 联立以上两式解得E p ＝116mv 20，Q ＝116

mv 20 根据功能关系有Q ＝μ·2mg (L ＋x ) 解得x ＝v 20

32μg

－L .

练4：(2)A 、B 碰撞时动量守恒、能量也守恒，而B 、C 相碰粘接在一块时，动量守恒．系统产生的能则为机械能的损失．当A 、B 、C 速度相等时，弹性势能最大．

(ⅰ)从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得 mv 0＝2mv 1

此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v 2，损失的机械能为ΔE .对B 、C 组成的系统，

由动量守恒定律和能量守恒定律得 mv 1＝2mv 2 12mv 21＝ΔE ＋12(2m )v 22 联立解得ΔE ＝116

mv 20. (ⅱ)由②式可知v 2

压缩至最短，其弹性势能为E p .由动量守恒定律和能量守恒定律得mv 0＝3mv 3 12mv 20－ΔE ＝12

(3m )v 23＋E p 联立④⑤⑥式得E p ＝1348

mv 20.

课后作业：

1．如图所示，光滑水平面上有A 、B 、C 三个物块，其质量分别为m A ＝2.0 kg ，m B ＝m C ＝1.0 kg ，现用一轻