人教版数学九年级上册《第二十二章二次函数》过关自测卷

人教版数学九年级上册《第二十二章二次函数》过关自测卷
（100分,45分钟）
一、选择题（每题4分，共32分）
1.抛物线y=ax2+bx－3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）
A.－2
B.2
C.15
D.－15
2.图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m.如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
图1 图2
A.y=－2x2
B.y=2x2
C.y=－x2
D.y=x2
3.〈恩施州〉把抛物线y=x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）
A.y= (x+1)2－3
B.y= (x－1)2－3
C.y= (x+1)2+1
D.y= (x－1)2+1
4.〈常州〉二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 －3 －4 －3 0 5 12
给出了结论：
（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为－3；
（2）当－＜x＜2时，y＜0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则
其中正确结论的个数是（）
A.3
B.2
C.1
D.0
5.〈舟山〉若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），则
抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）
A.直线x=1
B.直线x=－2
C.直线x=－1
D.直线x=－4
6.设一元二次方程（x－1）（x－2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，
则α，β满足（）
A.1＜α＜β＜2
B.1＜α＜2＜β
C.α＜1＜β＜2
D.α＜1且β＞2
7.〈内江〉若抛物线y=x2－2x+c与y轴的交点为（0，－3），则下列说法不正确的
是（）
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是直线x=1
C.当x=1时，y的最大值为－4
D.抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）
8.〈南宁〉已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列说法错误的
是（）
A.图象关于直线x=1对称
B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4
C.－1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
图3
二、填空题（每题4分，共32分）
9.已知抛物线y=－x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是______.
10.已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的
另一个交点坐标是__________.
11.已知函数y=(k－3)x2+2x+1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是________.
12.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关
系式：h=－5(t－1)2+6，则小球距离地面的最大高度是________.
13.二次函数y=ax2+bx的图象如图4，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m
的最大值为__________.
图4 图5
14.如图5，已知函数y=－与y=ax2+bx（a>0，b>0）的图象交于点P，点P的纵坐
标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解为_______.
15.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________ cm2.
16.如图6，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点
A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为__________.
图6
三、解答题（每题12分，共36分）
17.〈牡丹江〉如图7，已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，0），C（0，－3）.（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标.
图7
18.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2－(k+2)x+k2+1.（1）k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？
（2）若此抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点(点A在点B左侧)，且x1+x2=3，求k的值.
19.〈广州〉已知抛物线y1=ax2+bx+c过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限.
（1）使用a、c表示b;
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C,求当x≥1时y1的取值范围.
参考答案及点拨
一、1. C 2. C 3. B
4. B 点拨：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数
据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
5. C
6. D 点拨：令m=0，则函数y=（x－1）（x－2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），画出函数图象(如答图1)，利用数形结合即可求出α，β的取值范围.∵m
＞0，∴α＜1，β＞2.故选D.
答图1
7. C 8. D
二、9. 点拨：∵拋物线y=－x2+2的二次项系数a=－＜0，∴该抛物线开口向下；又∵常数项c=2，∴该抛物线与y轴交于点（0，2）；而对称轴就是y轴，∴当1≤
x≤5时，y=－x2+2中y随x的增大而减小，∴当1≤x≤5时，
y最大值=－+2=.
10. (－2，0)
11. k≤4 点拨：分为两种情况：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1=0，
=b2－4ac=22－4(k－3)×1=－4k＋16≥0，k≤4；②当k－3=0时，y=2x＋1，与x 轴有交点.故k≤4.
12. 6米
13. 3 点拨：方法一：图象法，由ax2+bx+m=0得ax2+bx=－m，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，得函数y=ax2+bx与函数y=－m的图象有交点，所以－m≥－3,m≤3;
方法二：因为一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,所以b2－4am≥0,由y=ax2+bx 的图象可得顶点纵坐标， =－3，b2=12a,所以12a－4am≥0,解得m≤3.
14. x=－3
15. 12.5 点拨：设一段铁丝的长度为x cm，则另一段长度为（20－x) cm，S=x2+
（20－x）（20－x）=（x－10）2+12.5,
∴当x=10 时，S最小为12.5 cm2.
16. 点拨：（1）平移后抛物线的表达式与原来的抛物线的表达式中的a相同，可以通过待定系数法求抛物线的表达式；（2）不规则图形的面积要通过割补、拼接转化
为规则图形的面积，这是解本题的关键.
三、17. 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，0），C（0，－3），∴解
得
∴二次函数的解析式为y=x2+2x－3；
（2）∵当y=0时，x2+2x－3=0，解得：x1=－3，x2=1,∴A（1，0），B（－3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB·|n|=10，解得：n=±5，
当n=5时，m2+2m－3=5，解得：m=－4或2，∴P点坐标为（－4，5）或（2，5）；当n=－5时，m2+2m－3=－5，方程无解，故P点坐标为（－4，5）或（2，5）. 18. 解：（1）∵抛物线y=x2－(k+2)x+k2+1与x轴有两个交点，
若令y=0,即x2－(k+2)x+k2+1=0,
则有=－(k+2)2－4×1×(k2+1)>0, k2+4k+4－k2－4>0,4k>0,∴k>0，
即k>0时，此抛物线与x轴有两个交点.
（2）∵抛物线y=x2－(k+2)x+k2+1与x轴交于A(x1,0)、B（x2,0）两点,
∴x1,2=，∵点A在点B左侧，即x1<x2，又∵k>0，
∴x1=，x2=>0，∴.
∵x1+=3，∴x1+x2=3，即+ =3，即k=1.
19.解：（1）把点A（1,0）的坐标代入函数解析式即可得到b=－a－c.
（2）若a＜0，则抛物线开口向下，抛物线必过第三象限，所以a＜0不成立.
当a>0时，抛物线开口向上，B在第四象限.理由如下：由题意，ax2+bx+c=0可变形为ax2－(a+c)x+c=0，
解得x1=1,x2=,a≠c，
所以抛物线与x轴有两个交点.又因为抛物线不经过第三象限,所以a>0，且顶点在第四象限;
（3）由（2）知抛物线与x轴两个交点为A（1，0）与（，0）.
∵直线y2=2x+m与该抛物线交于点B、点C (,b+8)，∴点C就是抛物线与x轴的一个交点，即b+8=0，b=－8，此时－a－c=－8，y1=ax2－8x+c，抛物线顶点B的坐标
为（，）.
把B、C两点坐标代入直线解析式y2=2x+m，得ac+2c=24.
又a+c=8，解得a=c=4（与a≠c矛盾，舍去）或a=2，c=6.
∴y1=2x2－8x+6，B（2，－2）.
画出上述二次函数的图象(如答图2)，观察图象知，当x≥1时，y1的最小值为顶点纵坐标－2，且无最大值.
∴当x≥1时，y1的取值范围是y1≥－2.
答图2
点拨：二次函数的问题通常都是求解析式、求对称轴、求顶点坐标、求最值以及与其他知识的综合等，本题基本上综合了上述各种问题，解题的方法就是牢牢抓住二次函数的对称轴的求法，顶点坐标的求法，以及最值的求法.。