三向应力状态图解法的研究_王军

三向应力状态图解法的研究_王军

第22卷第3期 2019年6月

吉林化工学院学报

JOURNAL OF JILIN INSTITUTE OF CHEM ICAL TECHNOLOGY Vol. 22No. 3Jun. 2019

文章编号:1007-2853(2019) 03-0071-03

三向应力状态图解法的研究

王军, 马庆捷

(吉林化工学院机电工程系, 吉林吉林132022)

摘要:证明了三向应力状态斜截面上应力分量与三向应力圆阴影部分相对应, 研究了

用图解法画出三向应力状态斜截面上应力分量的方法.

关键词:三向应力状态; 应力圆; 斜截面; 应力分量; 图解法中图分类号:T B 301

文献标识码:A

应力状态包括单向应力状态, 二向和三向应力状态, 对于单向和二向应力状态的应力

分析解析法和图解法在工程力学中都有较详细的论述. 但三向应力状态的应力分析只有解

析法定性的论述, 没有图解法的分析. 而解析法又非常繁杂. 本文研究了用图解法画出三

向应力状态斜截面上应力分量的方法, 使工程力学应力分析的方法都可以应用图解法来分析, 使讲授工程力学的教师和工程技术人员解决实际问题有了既简便又准确的方法.

中三个圆周中的任意两个, 其交点的坐标即为所求斜截面上的应力. 但比较繁杂. 如

约定 1> 2>

22

3, 且l 0, 则(1) 式中有l ( 1

- 2) ( 1- 3)

0, 所以第一式所确定的圆周的半径大于和它同心的圆周BC 的半径.

1 任意斜截面上的应力计算

在三向应力状态下, 当三个主应力已知时, 其任意斜截面上的应力 n 如图1(b) 所示, 可以通n 、过理论计算得知[1]. 在以 n 为横坐标, n 为纵坐标的坐标系中, 由下列三个圆周的交点的坐标值来表达.

2+ 3

n -2 2) ( 1- 3) 3+ 1

2

- 3) ( 2- 1)

n - 1+ 2 n -2 1) ( 3- 2)

22

图1 三向应力示意图

BC 的圆为: 2- 3

2

2

2+ 3

n -2

2

+ n =

2

+

2n

=

2- 3

2 3- 1

2 1- 2

2

2

+l 2( 1-

说明(1) 式中的第一式所确定的应力圆周在圆周BC 之外; 用同样的方法可以说明(1) 式中的第二式所表达的应力圆周在AB 之内, 因为m 2( 2

+ 2n =

2

+m 2( 2

- 3) ( 2- 1) 0. (1) 式中的第三式所表示的应力圆周在AC 之外, 因为n 2( 3- 1) ( 3- 2) 0. 这样(1) 式应力的解交点D, 亦即斜面上的应力在图1(a) 中的阴影线的部分之内

2

+

2n

2

=+n ( 3-(1)

2

(1) 式中的l 、m 、n 为斜截面的三个方向角余弦. 当 2、 m 、n 已知后, 可以作出(1) 式1、3和l 、

2 图解法求任意斜截面上的应力

虽然对于三向应力状态任意斜截面上的应力

收稿日期:2019-03-18

作者简介:王军(1961-) 男, 河北保定人, 吉林化工学院副教授, 主要从事机械力学及实验应力分析方面的研究.

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吉林化工学院学报2019年

n 可以通过公式(1) 中的三个圆的交点求出, 但n 、

是在求解的过程中, 计算繁杂, 而应用图解法来找到D 点坐标却相对简单, 如图2, 其作法如下.

1) 在、直解坐标中, 在轴由原点取线段OA = 1, OC = 2。OB = 3图2(b) .

2) 以AB 、BC 、CA 为直径画出莫尔圆. 3) 由A 点作与轴成角(按逆时针方向) , 并引直线与圆K 13交于点E o 由B 点作与轴成角(按顺时针方向) , 并引直线与圆K 13交于F 点

.

-2 1-

( 2+ 3) ( 1- 3) sin 2 2

2

整理后, 得:r 12=( 1- 3) ( 1- 2) cos +

(3)

2

2

2( 2- 3) 4

2( 1- 2) 4

如令 DO 1O 3= , 则由 DO 1O 3可得:

2

2

2

类似可得:r 2=( 1- 3)( 2- 3) cos +

(4)

DO 3=O 1D +O 1O 3-2O 1D O 1O 3c os

(5)

由 DOO 1得:OD 2=2DO 1OO 1cos

O 1O 3=2( 1- 3) =a OO 1=( 2+ 3) =b

2将(7) 代入(5)(6) 并消去cos , 得

DO 21+

OO 21+

(6)

式中DO 1=r 1, DO 3=r 2为简化计算, 引入 (7)

(

a)

2

OD 2=[r 21+ab) (a +b) -br 2]即a

2222

OD 2= 2) +1cos + 2(1-cos -cos 2

s 2 3co

(8) (9)

把方向余弦的关系式l 2+m 2+n 2=1代入

22222(8) 有:OD 2=l 2 21+m 2+n 3=p n 式(9) 表示线段OD 的长度, 表示斜面上的总 (b)

应力. D 点的横坐标为:

22

r 21+a -r 2

OD 1=b +

2a

用应力表达并引入l 2+m 2+n 2=1有:

[2]

图2 图解法求 n 、 n 示意图