04--复保角变换与权函数法

得相应的应力场与位移场。复势的方法致力于满足边界条件的复势应力函数 z ，
z。
23
权函数方法·简述
利用前面的复变函数方法，对于每一种载荷情 况，需要分别利用相应的边界条件确定对应的 Kolosov－Muakhelishvili函数 和 或 Westergaard函数 Z ，而这常常是困难的。而 且，对于有限边界的裂纹问题以及含体积力的 问题，上述方法大都难以实现。 事实上，如果我们知道了一种载荷情况下的解 （包括应力、应变场、位移和SIF），则可以 采用权函数方法求解相同构形但载荷情况不同 的应力强度因子和位移场。 权函数方法最早是由Bueckner（1970）提出 的，后来Rice等人发展了这种方法，吴学仁和 Carlsson（1991）用此方法得到了大量的结果 。
r
0
(
)
d -
0
| | 1
(4) 2 1 π ir1 2 m m 2 0 () d - 1 2 m m 2 0 () || 1
(5) 21 πir0-( )d0()0( )
0()
R(m)
0()2R(12m2m) R1(mm2)
| | 1
最终解
wk.baidu.com
()R( m)R1
| | 1
zS zS
用保角变换方法求复应力函数——带椭圆孔 平板的拉伸问题
z xiy 变换 z ( )
映象到 平面，称为象平面。
( ) 是解析的 S () 0
( ) 可以是奇异的，复势1(z) ， 1(z)
由变换 z ( )
1(
z)
( (
) )
1(z) (()) ()
1(
z
)
( (
下图所示）。求复应力函数 z ， z 。
xyN1N2
yx2ixy e2i N2N1
22
无限大平板斜裂纹的复应力函数 解
I：x0 xy时，
z 1 4x y z ， z 1 2x y z
II：
z ＝ 1 2y z 2 a 2， z 1 2y a 2 z 2 a 2
展开
v(2)(x,a)v(2)(x,a)v(2)
a
KI(2)(a)＝ KI(2)(a） ddIK (2a )
a
a
y(1)v(2)(x,a)dx y(2)v(1)(x,a)dx
0
0
0
d
2
0
a
0
y (1) va (2)d x8G 1KI(1)(a)KI(2)(a)0
已知量
K v ( 2 ) ( 2 ) I，
04--复保角变换与权函数法
/ ( )在 内不为零， 上，( )本身可以是奇异的，
它对应 Z平面上的角点 5.
(1950,Darwin)
Z()Akn1(eik)k
k 待定
6.
Z()H ln1(1 1 )2
7.
Z() ai( m 2(2m ))
二.柯西积分公式与广泛柯西积分公式—F(t)F(z)
K
r I
，
vr
未知量
K
(1) I
K
(1) I
，
(1 ) y
K I ， y
KI
8G 1K1Ir
a
y
0
vr dx a
称为权函数法
例：
y＝0 1x2/a2
yr＝
KIr a
4Grv (1)a2x2
K I 8 G 1 1 aa 0 01 a x 2 21 4 G a 2a x 2d x 2 0a
a0
a1 z
a2 z2
B iC p(1 )
4
B iC p(1 ) iq
2
() R 0() | | 1 () R 0()
0 ( ) 和 0 ( ) 在单位圆边界
满足的条件
0() 11 2m m 20 ()0()f0R( 11 2m m 2) R 0()1 2m m 20 ()0()f0R( 11 2m m 2)R
数：
k
E 2k*
dC* da
E 2k*
u* a
从而可以计算其它任何面
求出了k 1 和k 2 ，则可以求出 任意载荷组合下的应力强
度因子。KRaP
力载荷t 和 f 下的应力强
： 度因子 Kth tdAfhfdA
h
t
和h f 分别是面力 t 和体力 f 对应
力的权函数
权函数方法·例子
h2
x1,0,a
a a2 x2
如果裂纹面上承受任意的 分布载荷p x1 作用，裂纹右
端应力强度因子为：
K Ⅰ 2 a apx1h 2 x1,0,adx1
在裂纹上下表面的 x1 d 范围内承受均布压力p 作
用的SIF为：
KⅠ2
a
psin1
d a
Thanks End
带椭圆孔无限平板的拉伸问题
p q
b
a q p
椭圆孔，长、短半轴 a R ( 1 m ) ,b R ( 1 m ) ,R 0 ,0 m 1
xp , y p , x y q当 z
映象 z()R ( m ),R0,0m 1
当 m 1 2a4R 直线裂纹
满足边界条件 (t)t(t) 1(t)const
象平面 () (( ))() () co n st (ei)
共轭等式 () (( ))()()const
(),()在圆孔周边
边界条件
() 1 2 m()() 0 1m2
()12mm2 ()() 0
令 1(z) z 0(z) 1(z) z 0(z)
0 (z)
a0
a1 z
a2 z2
0 (z)
( )
(Tx iT y )dS
象平面
x
y
4
Re
( (
) )
y
x
2 i
xy
2
(
(
) )
(
(
)
)
( (
)
)
2 (u iv) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) i
( )
(Tx iT y )dS
权函数法
应力强度因子与裂纹几何和载荷配置有关。权函数法给出了解偶研究 这两类影响的途径。针对任一裂纹几何，均可求出适用于该几何的权函数， 该裂纹几何在任意载荷下的应力强度因子（乃至位移场）都可由该载荷经 权函数加权积分获得。
Mode－I
Betti’s theorem
Ati(1)ui(2)dA Ati(2)ui(1)dA
ti ijnj
y(1)()KI(1)(a)/ 2
v(2 )()2 G 1K I(2 )(a )( )/2
（0 ）
a 0y ( 1 ) ( x ) v ( 2 ) ( x ,a ) d 0 x K I ( 2 1 ) ( a )2 G 1 K I ( 2 ) ( a )(2 ) d a 0y ( 2 ) ( x ) v ( 1 ) ( x ) dx
两侧各作运算
1 2πi
r
d
-
在单位圆上 在单位圆外
利用内，外域柯西积分公式
(1) 2 1 π ir 0 ( ) d - 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) || 1
(2) 21 πir 11 2m m 20 ()d-0 ||1
(3)
1 2πi
r
0
(
)
d -
0
1
2πi
) )
xy4R ez
yx 2 ix y 2 z z z
2 G u i v H z zz z
象平面
x
y
4
Re
( (
)
)
y
x
2 i
xy
2
(
(
) )
(
(
)
)
( (
)
)
2 (u iv) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) i
Rice（1972）已证明，由
不同的基本解（ k
*
和C
*
）
得出的权函数是相同的，
即权函数是唯一的（对于
所求的同一组载荷情况）
。
考虑一含中心穿透裂纹的 无限大板。基本解取为在
无穷远处承受均匀拉应力
（垂直于裂纹面的） 作用
的解，SIF和裂纹张开位移 分别为：
KⅠ a
u2 *
x1,0
2
E
a2x2
得权函数为：
权函数方法
假设知道第1组载荷下的解
对于一个特定的裂纹构形
，即k 1 ， ， C 1 1 C12 C21 均为已知
，只要知道该构形的任意
，则有：
一个解k
*
和
C
（*
K* k*P*
或，
u* C*P* ），则可以得到一个权函
k2
E 2
dC12 a k1 ada
E dC12 E u2
2k1 a da 2k1 a a
III：
z ＝ 2 ix yz 2 a 2 ， z 2 ix y 2 z 2 a 2 z 2 a 2
叠加得：
z＝ 1 2 y ix y z2 a 2 1 4 x y 2 ix yz z 1 2 y ix ya 2 z2 a 2 ix y z2 a 2 1 2 x y z
zS zS
3.含极点的广泛内域柯西公式
F (z)在 S 内 za处为 ，有n阶极点， 除此以外，在 S 内解析
n
F (z) A s(z a ) sF 0(z)g (z)F 0(z) s 1
则
21 i CF(tt) zg(t)d t F(z)g(z)
z S z S
4.外域广泛柯西积分公式
F (z) 在 S 内解析，z处，F(z)0，则在 处展成级数有
F (z) a 0 a 1 z a 2 z2 a n zn a 1 /z a 2 /z 2
h (z)主 , 部
在 S 解析
则
21 i CtF (tz)d t h([zF )(z)h(z)]
L ——闭曲线，方向逆时针
S ——内有限域， S ——无限域 1.内域柯西公式
F (z) 在 S 内解析，在 S L上连续
21 iCtF(tz)d t 0 F(z)
zS zS
2.外域柯西公式
F (z)在 S－内解析，(包括•z )
•z 时，•F(z)0
则
21 iCtF (tz)d t 0 F(z)
()R2R(12m2m) R1(2mm2 )
受拉伸的，含裂纹长为2a的无限平板 m1, Ra/2
(
)
a 2
(
)
1
(
)
a 2
4 2
( 2 ( 2 1)
1)
p(1) , 1p(1)iq
4
2
由映照函数,可得在z平面应力位移分量。
无限大平板斜裂纹的复应力函 数解
无限板，裂纹长为2a，远端处应力场为N1，N2。N1与裂纹的角度为α（如