10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积

定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理.

一 微元法

在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ=

⎰,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b

a b f x dx Φ=⎰,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者

说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。

在任意小区间[x,x+∆x]⊂[a,b]上恰当选取Φ的微小量∆Φ的近似可求量∆'Φ（指用来近似代替∆Φ的有确定意义而且可以计算的量。例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）∆'Φ是以f(x)为长，∆x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，∆'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，∆x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。若能把∆'Φ近似表示为∆x 的线性形式∆'Φ≈f(x)∆x,其中f(x)为某一连续函数，而且当∆x→0时∆'Φ-f(x)∆x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b

a f x dx ⎰计算出来，就是该问题所

求的结果。

上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点：

1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的

2)微元法的关键是正确给出∆Φ的近似可求量∆'Φ。严格来说，∆Φ的近似可求量∆'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+∆t]⊂[α,β]上微小增量∆s 的近似可求为对应的线段的长度∆'s=（[x(t+∆t)-x(t)]²+[y(t+∆t)-y(t)]²）^0.5,一般说来∆Φ的近似可求量∆'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果∆S 的近似可求量∆'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b

a S f x dx π=⎰。所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。

3)当我们将∆'Φ用线性形式f(x)∆x 代替时要严格检查∆'Φ-f(x)∆x 是否为∆x 的高阶无穷小，以

保证其对应的积分和的极限是相等的。在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证

i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。

对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为∆A≈|y|∆x,并有dA=|y|dx, ∆V≈A(x) ∆x,并有dV=A(x)dx, ∆s≈(1+y'²)^0.5∆x,并有ds=(1+y'²)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'²)^0.5∆x 近似表示为(1+y'²)^0.5∆x≈∆x,将导致b

a s dx

b a ==-⎰的明显错误，事实上，此

时0lim 10x ∆→=≠，除非y=f(x)为常数。 二 旋转曲面的面积

设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。

通过x 轴上的点x 和x+∆x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当∆x 很小时，此狭带的面积∆S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积∆'S ，

即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'∆=++∆=+∆，其中∆y=f(x+∆x)-f(x)，

由于0lim 0,lim x x y ∆→∆→∆==f'(x)得连续性可以保证

[2()2(()f x y x f x x o x ππ+∆-=∆，所以得到

2(S f x x π'∆≈

，2(dS f x π=

，2(b

a S f x π=⎰

如果光滑曲线C 由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，且y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x

轴旋转一周所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰

例1 计算圆x²+y²=R²在[x 1,x 2]⊂[-R,R]上的弧绕x 轴旋转所得球带的面积。

解

应用公式2(b

a S f x π=⎰得到

2

21121222()x x x x S R dx R x x πππ===-⎰⎰，特别当x 1=-R,x 2=R 时得到球的表面积S=4πR²。

例2 计算由内摆线x=acos ³t,y=asin ³t 绕x 轴所得旋转曲面的面积。

解

322422

200124sin 12sin cos 5S a a t tdt a ππ

πππ===⎰⎰