经济数学4.利用函数的单调性求证不等式
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x
又 f ( x) e 1 ，当
x0
时，f ( x) e 1 0
x
所以函数 f ( x) 在 (0,) 上单调增加， 那么当
x 0 时， f ( x) f (0) ，即 e x 1 x 0 ，
x
因此，当 x 0 时，e 1 x 。
经济数学
2
经济数学
经济数学在线开放课程
利用函数的单调性 求证不等式
授课教师：陈笑缘教授
Βιβλιοθήκη Baidu
经济数学
1
2
例题 思路
经济数学
1
例题
经济数学
例题
x 当 x 0 时，证明不等式 e 1 x 。
分析：
要证明 e 1 x ( x 0) ，只要证明 e 1 x 0 ( x 0) 。
x x
关键看左边函数 f ( x) e x 1 x 在 x 0 的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x) e x 1 的符号可以判断了。
例题
证明不等式： e x 1 x ( x 0)
证明： 设
经济数学
f ( x) e x 1 x ， 且 f (0) 0 。 显然 f ( x ) 在 x 0 时连续，
经济数学在线开放课程
谢谢!
思路
经济数学
利用函数单调性证明不等式的一般步骤
要证明原不等式 ，一般先将不等式右边的项移至左边 然后关键看左边函数 f ( x) 在规定的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x ) 的符号判断单调性，从而得到证明结论。
经济数学
证明：当 x 0 时，sin x x 。
经济数学
又 f ( x) e 1 ，当
x0
时，f ( x) e 1 0
x
所以函数 f ( x) 在 (0,) 上单调增加， 那么当
x 0 时， f ( x) f (0) ，即 e x 1 x 0 ，
x
因此，当 x 0 时，e 1 x 。
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利用函数的单调性 求证不等式
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经济数学
例题
x 当 x 0 时，证明不等式 e 1 x 。
分析：
要证明 e 1 x ( x 0) ，只要证明 e 1 x 0 ( x 0) 。
x x
关键看左边函数 f ( x) e x 1 x 在 x 0 的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x) e x 1 的符号可以判断了。
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证明不等式： e x 1 x ( x 0)
证明： 设
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f ( x) e x 1 x ， 且 f (0) 0 。 显然 f ( x ) 在 x 0 时连续，
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利用函数单调性证明不等式的一般步骤
要证明原不等式 ，一般先将不等式右边的项移至左边 然后关键看左边函数 f ( x) 在规定的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x ) 的符号判断单调性，从而得到证明结论。
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证明：当 x 0 时，sin x x 。
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