初中几何中的折叠问题.ppt
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边形、正六边形、圆等； 图形
与折叠有关的计算常用性质
1. 折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； ①线段相等：C′D＝________，BC＝________； ②角度相等：∠1＝________，∠3＝________； ③全等关系：△BC′D≌________． 2. 折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分)； 3. 折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等)．
第2题图
折法2 如图，点P在AD上，将△ABP沿BP折叠至△EBP，点A落在CD边的点E处， 你能发现什么新的结论？
拓展类型 那么下面的3种折法还有什么新的结论吗？
图②
(点P为AD中点)
图①
图③
针对训练 1. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5， AB＝8，则S△ABF∶S△FCE＝________．
(1)找出原图形的关键点(各顶点)，作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点； (2)根据原图形依次连接各对称点即可
图形的对称
图形
轴对称图形
判断方法
(1)找对称轴； (2)图形沿________折叠；
(3)对称轴两边图形__________
等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五 常见的轴对称
几何图形中的折叠问题
(1)定义：折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠前后的图形全等． (2)性质：折叠前后的两部分图形全等且关于折痕成________图形，对应边、角、线 段、周长、面积相等；折叠前后，对应点的连线被________垂直平分．
轴对称
图形
轴对称
性质
作图 方法
(1)成轴对称的两个图形________； (2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴； (3)对应点连线被对称轴________
图①
图②
针对训练 1. 如图，将长16 cm，宽8 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF 的长为________．
第7题图
2．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF， 若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．
3. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点 D恰好落在BC边上的G点处，若矩形ABCD面积为4 3 ，且∠AFG＝60°，GE＝2BG， 则折痕EF的长为________．
针对训练
1如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将
△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )
A. 120° B. 108° C. 72°
D. 36°
以矩形折叠为例，列举以下几种类型： 折法1 如图，点P为矩形ABCD边AD上一点，当点P与点D重合时，沿BP将 △ABP折叠至△EBP，BE交CD于点H，你能发现什么新的结论？
第8题图
折法4 如图矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，沿EF将四边形ABFE 折叠至四边形A′B′FE后，B′落在DC上，你能发现什么新的结论？
拓展类型 那么下面的折法还有什么新的结论吗？
针对训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，点F，G分别是AB、CD上的两点，连接 FG，将矩形ABCD沿FG折叠，使点B恰好落在AD边上的中点E处，连接BE，则折痕 FG的长为________．
第3题图
2. 如图，矩形ABCD中，E在BC上，BE＝2CE，将矩形沿DE折叠，点C恰好落 在对角线BD上的点F处，若AB＝3，则BF的长为________．
第4题图
3. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连 接CF，则CF的长度是________．
第5题图
4. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1.将矩形ABCD沿CP折叠， 点B落在点B′处．B′P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF＝________．
第6题图
折法3 如图矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，沿EF将四边形 ABFE折叠至四边形A′B′FE后，B′落在AD上，你能发现什么新的结论？
第9题图
2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点 C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝ ________．
3. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周 长为________．
针对训练 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中 阴影部分的面积是__ __．
第1பைடு நூலகம்图
2. 如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形 OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_______________．
与折叠有关的计算常用性质
1. 折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； ①线段相等：C′D＝________，BC＝________； ②角度相等：∠1＝________，∠3＝________； ③全等关系：△BC′D≌________． 2. 折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分)； 3. 折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等)．
第2题图
折法2 如图，点P在AD上，将△ABP沿BP折叠至△EBP，点A落在CD边的点E处， 你能发现什么新的结论？
拓展类型 那么下面的3种折法还有什么新的结论吗？
图②
(点P为AD中点)
图①
图③
针对训练 1. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5， AB＝8，则S△ABF∶S△FCE＝________．
(1)找出原图形的关键点(各顶点)，作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点； (2)根据原图形依次连接各对称点即可
图形的对称
图形
轴对称图形
判断方法
(1)找对称轴； (2)图形沿________折叠；
(3)对称轴两边图形__________
等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五 常见的轴对称
几何图形中的折叠问题
(1)定义：折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠前后的图形全等． (2)性质：折叠前后的两部分图形全等且关于折痕成________图形，对应边、角、线 段、周长、面积相等；折叠前后，对应点的连线被________垂直平分．
轴对称
图形
轴对称
性质
作图 方法
(1)成轴对称的两个图形________； (2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴； (3)对应点连线被对称轴________
图①
图②
针对训练 1. 如图，将长16 cm，宽8 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF 的长为________．
第7题图
2．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF， 若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．
3. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点 D恰好落在BC边上的G点处，若矩形ABCD面积为4 3 ，且∠AFG＝60°，GE＝2BG， 则折痕EF的长为________．
针对训练
1如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将
△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )
A. 120° B. 108° C. 72°
D. 36°
以矩形折叠为例，列举以下几种类型： 折法1 如图，点P为矩形ABCD边AD上一点，当点P与点D重合时，沿BP将 △ABP折叠至△EBP，BE交CD于点H，你能发现什么新的结论？
第8题图
折法4 如图矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，沿EF将四边形ABFE 折叠至四边形A′B′FE后，B′落在DC上，你能发现什么新的结论？
拓展类型 那么下面的折法还有什么新的结论吗？
针对训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，点F，G分别是AB、CD上的两点，连接 FG，将矩形ABCD沿FG折叠，使点B恰好落在AD边上的中点E处，连接BE，则折痕 FG的长为________．
第3题图
2. 如图，矩形ABCD中，E在BC上，BE＝2CE，将矩形沿DE折叠，点C恰好落 在对角线BD上的点F处，若AB＝3，则BF的长为________．
第4题图
3. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连 接CF，则CF的长度是________．
第5题图
4. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1.将矩形ABCD沿CP折叠， 点B落在点B′处．B′P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF＝________．
第6题图
折法3 如图矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，沿EF将四边形 ABFE折叠至四边形A′B′FE后，B′落在AD上，你能发现什么新的结论？
第9题图
2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点 C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝ ________．
3. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周 长为________．
针对训练 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中 阴影部分的面积是__ __．
第1பைடு நூலகம்图
2. 如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形 OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_______________．