第5章生产函数

（3）当 1 1时，因为
1 2

所以， F ( K , L) F ( K , L) 为规模报 酬递减的生产函数。 当 1 时，因为 1 F ( K , L) 2 F ( K , L) F ( K , L) 所以，为规模报酬递减的生产函数。
问题与应用

问题与应用

4、下图表示生产150千克猪肉 所需的谷物和蛋白质的数量的各 种组合。A曲线表明的是没有添 加金霉素的情况，而B曲线表明 的是添加了金霉素的情况。问：
（1）如果金霉素可以免费获得， 猪肉的生产商应当添加金霉素吗？ （2）添加金霉素会影响边际技 术替代率吗？如果会，将是怎样 的影响？

谷 物 数 量
A B
O
蛋白质数量
5.2.3.生产阶段的划分
据总产量、平均产量和边际产量 之间的关系，把生产划分为三个 阶段：Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。 生产阶段Ⅰ：平均产量从0达到 最大。 生产阶段Ⅱ：边际产量从正值减 小到0，总产量达到最大。
生产阶段Ⅲ：边际产量为负，随 投入的增加总产量减少。 对生产者而言，为了达到技术上 的效率，应该把生产推进到生产 阶段Ⅱ。
5.4.2.规模报酬 （returns to scale）
常数规模报酬（constant returns to scale） 递增规模报酬（increasing returns to scale） 递 减 规 模 报 酬 （ decreasing returns to scale）

常数规模报酬

该假设最初由19世纪的经济学家托 马斯· 马尔萨斯提出。他担忧人口的 快速增长将导致较低的劳动生产率。 他对人类未来令人沮丧的（gloomy） 预言使经济学被称为“沉闷的科学” （dismal science）。

在数学上，边际生产力递减假设 就是说生产函数的二阶偏导数小 于零。
常见生产函数之 边际产量的增减性。
几种常见的生产函数（3）

其二，该函数便于数学和统计处 理。 对科布-道格拉斯生产函数两边 取自然对数，就可以得到关于 、 和 ln A 的线性方程：
ln q ln A ln K ln L
给定投入和产出数据K、L和q， 我们就可以运用最小二乘法估 计 、 和 ln A 。 对上式求关于时间的导数，那么 就有 . . q A K L
K
A B
E D
q3
C
q2 q1
L
o
K 6 4 2
150
100 50 0 20 40 60 L
5.3.2.边际技术替代率

边 际 技 术 替 代 率 （ marginal rate of technical substitution, MRTS） 是 指 在 维持产出水平不变的条件下，增 加1单位某种要素投入所能减少 的另一种要素投入量，等于要素 的边际产量之比。
总产量
平均产量
边际产量
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5
1 0.5 0.33 0.25 0.2 0.167 0.143 0.125
0 8 20 36 48 55
0 8 10 12 12 11
0 8 12 16 12 7
1
1 1
6
7 8
60
60 56
10
8.6 7
5
0 -4
资本
60
Ⅰ
50 TP
5. 生产理论



5.1. 生产函数 5.2.具有一种变动投入要素的生产 5.3.具有两种变动投入要素的生产 函数 5.4.边际报酬递减规律与规模报酬 问题与应用
5.1. 生产函数



5.1.1.技术效率与经济效率 经济学研究的是经济问题，但涉及技术 问题。 技术效率是指在既定的投入下产出最大， 或生产既定的产出所耗费的投入最小。 经济效率是指生产既定的产出所耗费的 成本最小，或在既定的成本下获得的利 润最大。

q
A
K
L
5.2.具有一种变动 投入要素的生产

本节所讨论的问题假定只有一种 要素的投入是变动的，其余要素 都是固定的。这个假定意味着我 们所进行的是一种短期分析。假 定所讨论的生产函数为：
q f ( K , L)

5.2.1总产量、平均产量 与边际产量



总产量（total product,TP）是指某一 给定时期内生产要素所能生产的全部产 量。 TPL q f ( K , L)
Ⅱ
40
Ⅲ
30 20 10 0 1 2
3 4
AP
7
5
6
MP 8
劳动
5.2.2总产量、平均产量与边际 产量之间的关系
1.总产量与边际产量之间的关系： 当边际产量大于零时，总产量上 升； 当边际产量等于零时，总产量达 到最大； 当边际产量小于零时，总产量下 降。
2、平均产量与边际产量的关系： 当边际产量大于平均产量时，平 均产量上升； 当边际产量等于平均产量时，平 均产量最大； 当边际产量小于平均产量时，平 均产量下降。

等产量曲线上任一点的边际技术 替代率等于该点切线斜率的负值。
MRTS LK K dK MPL L dL MPK
K A ΔK B
ΔL
q
0
L
递减的边际技术替代率（why?）
边际技术替代率递减：等产量线 斜率为负且凸向原点。 仅从边际生产力递减假设是推导 不出递减的MRTS的。为什么？
一种要素的平均产量（average product,AP）是指总产量除以该要素的 投入量。 TP L
AP L L
5.2.1总产量、平均产量 与边际产量

一种要素的边际产量 （marginal product,MP）是 该要素的增加所引起的总产量的 增加量。
dTPL MPL dL
土地（亩） 劳动（人） 土 地 - 劳 动比

如果多种投入生产多种产品（称为联产 品），那么生产函数可以表示为：

(q1, q2 , , qn ) f (a1, a2 , , an )
几种常见的生产函数（1）

线性生产函数： q aK bL 固定比例生产函数，也叫里昂惕夫生产 函数（Leontief function）：

K R 8 6 300 200 100 2 4 6 8 L
4
2 0
递减规模报酬
对于生产函数 Y F ( K , L) ， 如果 F ( K , L) F ( K , L) ，则该 生产函数为递减规模报酬的生产 函数。 递减规模报酬的生产函数的等产 量曲线为

K R 8 6 200 4 2 300

5.1.3.生产函数

生产函数（production function）：表示在给定技术条 件下，一定量投入所能生产的最 大量（意味着生产在技术上是有 效率的，这样经济学便可以把注 意力集中在经济效率上）的产出。
生产函数的一般形式

如果用多种投入生产一种产品，那么生 产函数可以表示为：
q f (a1, a2 , , an )
问题与应用

2、假定一家飞机厂的老板使你 确信他的企业是规模报酬不变的， 劳动和资本是仅有的投入品。他 称人均产量是仅人均资本量的 函数。他说的对吗？
问题与应用

3、已知生产函数为 10KL Q KL
试求：（1）劳动的平均产量和 边际产量函数；

（2）考虑该生产函数的边际技 术替代率函数的增减性； （3）考虑该生产函数劳动的边际 产量函数的增减性。

5.2.3.生产阶段的划分

因此，在作平均产量和边际产量 的几何图形时，往往画成：
AP, MP
MP 0
AP
L
5.3.具有两种变动投入 要素的生产函数
5.3.1.等产量曲线 等产量曲线 （ isoquant）： 是一条表示生产某一数量产 品的所有可能的投入品组合 的曲线。


资本-劳动比率（capital-labor ratio）：一条射线代表了资本 劳动比率比率不变条件下的所有 投入的组合。

对于生产函数 Y F ( K , L) ，如 果 F ( K , L) F (K , L) ，则该生产 函数为常数规模报酬的生产函数。 不变规模报酬生产函数的等产量 曲线为
K R
8 6 4 2 100 2 4 6 8 L 200 300
0
递增规模报酬
对于生产函数 Y F ( K , L) ， 如果 F ( K , L) F (K , L) ，则该生 产函数为递增规模报酬的生产函 数。 递增规模报酬的生产函数的等产 量曲线为
5.1.2固定投入与变动投入， 长期与短期

在经济学中，“长期”与“短期” 的区分并不存在一个绝对的时间 尺度，它随所分析问题的性质不 同而不同。
所谓“短期”是指这样的时期， 在该时期内，一种或多种投入是 固定的，产量的变化是可变投入 变化的结果。 所谓“长期”是指这样的时期， 在该时期内，所有的投入都是可 变的。

5.3.3生产的经济区域
“脊”线（ridge line）：将等 产量曲线上斜率为正与为负的点 的轨迹。 两条脊线之间的区域被称为生产 的经济区域（economic region of production）。

5.4.边际报酬递减规律 与规模报酬
5.4.1.边际报酬递减规律 （the law of diminishing marginal return），边际生产力递减规律 如果其他条件不变，而随着某一 投入的不断增加，那么其边际产 量最终会越来越小。