常见曲线的参数方程 ppt课件

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. .
例1 求双纽线 r22a2co2s所围面积

由对称性
S
r()d
acosd
2a2
y
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4
0
2a x
.
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. .
.
9. 阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
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0
r22a2co2s
co 2 s0 (0,) (3,5) (7,2)
y
4 4 4 .4
直角系方程
(x 2y2)2 2 a 2(x 2y2)
P
F(a,0)
0
r
F(a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
3 5 7
202曲0/1线0/2在8 极点自己相交，与此对应的角度为 =
, 4
, 4
, 4
常见曲线的参数方程
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主 目 录（1–10 ）
1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线 3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线 9 阿基米德螺线 10 双曲螺线
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精品资料
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的 曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
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2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
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两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
r
.
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阿基米德螺线 r =a 当 从 0 –
0
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r
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.
10 双曲螺线 r a 这里 从 0 +
limr 0 θ
极点是曲线的渐近点
yrsin a sin
l i my a θ0
y a是曲线的渐近线
0
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a
.
r
.
. 40
双曲螺线
r a 当 从 0 –
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3. 旋轮线是最速降线
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
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B
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A
12
B
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A
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A
B
a
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x
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.
来看动点的慢动作
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x
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参数方程
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a
at
0
a
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a
2a
x
.
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y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
当t 由 ,
动点(0由 , 0)(0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
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y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
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8.双纽线 FF2a, 到F与F距离之积为a2的点的轨迹 ( a2)
22 rr 22 a a 2 2 2 2 rra c c a o o ss ( ) 2 ( r 2 a 2 ) 2 4 r 2 a 2 c2 o a 4 s 即
分析 1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
当t, (x,y) (0,0) 当t 0, 也(有 x,y)(0,0)
故在原点，曲线自身相交.
x
3 at t3 1
y
3 at 2 t3 1
( -t, t-1)
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4. 当 t由 , 动(点 0 ,由 0 (), -) 当t由 , 动点 ( 由 ,) (0,0)
x3 y3 a3
. .–a
极坐标方程为
x a cos 3
y
a
sin3
0 2
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y
P
o
ax
.
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6. 圆的渐伸线
一直线沿圆周滚转（无滑动） y 直线上一个定点的轨迹
参数方程为
xa(cotstsint) ya(sint tcots)
0
a
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x
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再看一遍
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例3.求曲r线 sinθ及r2 cosθ分别所围成的共 图形
部分的面积
y
令 cos2 = 0, θ k
由 sin > 0, θ
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r
.
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0
请问：动点的轨迹什么样？
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r
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再看一遍
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0
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r
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0
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r
.
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阿基米德螺线 r =a
0
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r
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阿基米德螺线 r =a 这里 从 0 +
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数
0
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滑板的轨道就是这条曲线
.
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y
4. 心形线(圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑 动地滚动，动圆圆周上 任一点所画出的曲线。
a
o
a
x
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y
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a
o
来看动点的慢动作
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a
x
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y
a
o
来看动点的慢动作
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a
x
2a
.
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参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
0
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a
.
r
.
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例2 求曲r线 coθs及rcoθs分别所围成的 共图形
部分的面积
由 3cos =1+cos
r =3cos
y
得交点的坐标 θ
S = 2
π 3
1(1coθs)2dθ
02
π
o3
S
2
π
2 π
3
9cos2θ dθ 2
x
3
=1+cos
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.
.
.
.
.
.
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y
0
a
x
24
y
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0
a
x
.
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y
0
a
x
.
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参数方程为
xa(cotstsint) ya(sint tcots)
y
M (x,y)
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a
t
0
a
试由这些关系推出曲线的方程
t x
.
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7.狄卡儿叶形线 x 3y3 3 ax 0y (a0 )
o
P
x
2a
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.
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y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
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y
.
–a
o
来看动点的慢动作
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ax
20
y
–a
o
来看动点的慢动作
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ax
.
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直角坐标方程为：
2
2
2