曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线

曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；曲线运动的速度方向是该点的切线方向；曲线运动

速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．

物体做直线或曲线运动的条件：

（1）若物体所受的合外力F（或a）的方向与物体速度v的方向相同或相反，则物体做直线

运动；

（2）若物体所受的合外力F（或a）的方向与物体速度v的方向不同，则物体做曲线运动。

当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，

当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动速率将减小。

加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如平抛运动。

加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动．

根据质点运动的轨迹判断受力方向：合外力指向曲线的内侧即指向曲线弯曲的一侧。，运动

轨迹应为夹角速度的方向与合外力方向之间。

1、一质点在某段时间内做曲线运动,则在这段时间内（）

A.速度一定在不断地改变,加速度也一定不断地改变

B.速度一定在不断地改变,加速度可以不变

C.速度可以不变,加速度一定不断地改变

D.速度可以不变,加速度也可以不变

2、下列说法正确的是（）

A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动；

B、物体在变力作用下不可能作曲线运动；

C、作曲线运动的物体，速度方向与加速度方向不在同一直线上；

D、物体在变力作用下不可能作直线运动；

3、一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两个力不变，此物体可能做（

A、匀加速直线运动

B、匀速直线运动

C、类似于平抛运动

D、匀速圆周运动

4、关于做曲线运动的物体，下列说法不正确的是 ( )

A.它所受的合力一定不为零

B.有可能处于平衡状态

C.速度方向一定时刻改变

D.受的合外力方向与速度方向在同一条直线上

5、质点做曲线运动，它的轨迹如图所示，由A向C运动，关于它通过B点时的速度v的方

向和加速度a的方向正确的是：（）

6、某质点在恒力F作用下，F从A点沿下图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的

力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的哪条曲线？

A．曲线a B．直线b C．曲线c D．三条曲线均有可能

运动的合成

1．由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．

2．描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢

量运算的法则：

（1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取

负，矢量运算简化为代数运算．

（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则．

3．合运动的性质取决于分运动的情况:

①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动．

②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运

动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。

③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共

线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。

运动的分解

1．已知合运动求分运动叫运动的分解．

2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．

3．将速度正交分解为 v x ＝vcos α和v y =vsin α是常用的处理方法．

合运动与分运动的特征：

（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．

（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响．

(3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；

(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。

船过河模型

(1)处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参

与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船

相对水的运动，即在静水中的船的运动（就是船头指向的方

向），船的实际运动是合运动。

(2)若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间：

θ

sin 1v d v d t ==合 (3)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间1

v d t =

(d 为河宽)。因为岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。

绳端问题

绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。 例如

在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v 匀速拉绳子时，求船的速度。

船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成：

a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v ；

b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为αcos v

, 当船向左移动，α

渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A 却在做变速运动。

小船过河问题

设河宽为d,船速为V 1,水速为V 2,

A 、时间最短问题：最短时间为1v d t =

船头始终与河岸垂直才能使过河时间最短。。 B 、位移最短问题

（1）当船速大于水速时 d s = ，当v 船＞v 水时，v 合垂直河岸，合位移最短等于河宽

（2）当船速小于水速时，1

2V dV s =

1、如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A ，小车下装有吊着物体B 的吊钩．在小车A

与物体B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B 向上吊起，A 、B 之间的距离

以2

2d H t =- (SI)(SI 表示国际单位制，式中H 为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做

A 、速度大小不变的曲线运动．

B 、速度大小减小的曲线运动．

C 、加速度大小方向均不变的曲线运动．

D 、加速度大小方向均变化的曲线运动．

2、小船从甲地顺水到乙地用时t 1，返回时逆水行舟用时t 2，若水不流动完成往返用时t 3，

设船速率与水流速率均不变，则 （ ）

A ．t 3＞t 1＋t 2

B ．t 3＝t 1＋t 2

C ．t 3＜t 1＋t 2

D ．条件不足，无法判断

3、质量为m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F 1时，物体不可能做 ( )

A ．匀加速直线运动

B ．匀减速直线运动

C ．匀变速曲线运动

D ．变加速曲线运动。

4、如图所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达p 点时，绳子与水平方向的夹

角为θ ，此时物体M 的速度大小为多少？

5.关于互成角度的两个初速不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是 ( )

A ．一定是直线运动

B ．一定是曲线运动

C ．可能是直线运动，也可能是曲线运动

D ．以上都不对

6、如图所示，物体在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这时突然使它

所受的力反向而大小不变(即由F 变为-F)，在此力作用下，物体以后的

运动情况，下列说法正确的是 （ ）

A ．物体可能沿曲线Ba 运动

B ．物体可能沿曲线Bb 运动

C ．物体可能沿曲线Bc 运动

D ．物体可能沿原曲线由B 返回A

7.在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，

摩托艇在静水中的航速为v 2(v 1>v 2)。河岸宽度为d ，则战士想渡河救人，则摩托艇的最短距离为

A ．dv 2/21

22v v B ．0 C ．dv 1/v 2 D ．dv 2/v 1

8.小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度为2 m/s ，船在静水中的航速是4 m/s ，求：

(1)当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时、何地到达对岸?

⑵要使小船到达正对岸，应如何行驶?历时多长?

9.质量为m 的飞机以水平速度V 0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不

变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力).今测得

当飞机在水平方向的位移为L 时，它的上升高度为h.求：飞机受到的升力大小；

10、关于运动的合成与分解的说法中，正确的是 （ ）

A 、合运动的位移为分运动的位移的和．

B 、合运动的速度一定比其中一个分速度大．

C 、合运动的时间为分运动时间之和．

D 、合运动的时间与各分运动时间相等．

11、关于运动的合成，下列说法中正确的是 （ ）

A ．合运动的速度一定比分运动的速度大

B ．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动

C ．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动

D ．合运动的两个分运动时间不一定相等

12、一艘小船在 200m 宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是2m ／s ，船在静水中的速度是4m ／s ，求：

①当船头始终正对着对岸时，小船多长时间到达对岸，小船实际运行了多远？

②如果小船的路径要与河岸垂直，应如何行驶？消耗的时间是多少？

③如果小船要用最短时间过河，应如何？船行最短时间为多少？

13、人在岸上以速度v 匀速拉河中的船靠岸，在船靠岸的过程中，下列说法正确的是

A 、船匀速靠岸

B 、船加速靠岸

C 、船减速靠岸

D 、以上三种情况都可能

平抛运动：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，物体只在重力作用下

所做的运动。 平抛运动的轨迹是一条抛物线。

1．运动性质

a)水平方向：以初速度v 0做匀速直线运动．

b)竖直方向：以加速度a=g 做初速度为零的匀变速直线运动，即自由落体运动．

c)在水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．

d)合运动是匀变速曲线运动．

2．平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，以初速度v 0方向为x 正方向，竖直向下为y 正方向，如图所示，则

有：

分速度 gt v v v y x ==,0 合速度0222tan ,v gt t g v v o =

+=θ 分位移22

1,gt y vt x == 合位移22y x s += 注意：合位移方向与合速度方向不一致。

3．平抛运动的特点

a)平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间内速度的变化量相等．由△v=gt ，速度的变化沿竖直方向，如下图所示．

任意两时刻的速度，画到一点上时，其末端连线必沿竖直方向，且都与v 构成直角三角形．

b)物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关．由公式

221gt h =。可得g

h t 2= ,落地点距抛出点的水平距离t v x 0=由水平速度和下落时间共同决定。

4．平抛运动中几个有用的结论

①平抛运动中以抛出点0为坐标原点的坐标系中任一点P(x 、y )的速度方向与竖直方向的夹为α，则y

x 2tan =α；其速度的反向延长线交于x 轴的2x 处。 ②斜面上的平抛问题：从斜面水平抛出，又落回斜面经历的时间为： θtag g v t 02=

实验：《平抛物体的运动》

1、实验步骤

1）安装调整斜槽（小球飞出时，切线水平）

2）调整竖直木板：（重锤线）

3）确定坐标原点：小球在槽口时，球心在木板上的水平投影为坐标原点。

4）描绘运动轨迹：把笔尖放在小球可能经过的位置，如果小球能碰到笔尖，就说明位置找对了。

2、注意事项：

1）保证通过斜槽末端点切线水平。

2）保证小球每次从斜槽同一位置滚下。

3）坐标原点不是槽口的端点，而是小球在槽口时，球心在木板上的水平投影点。

4）小球在斜槽上开始滚下的位置要适当，以便使小球运动的轨迹由木板的左上角到右下角。

1、做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是 ( )

A.大小相等，方向相同

B.大小不等，方向不同

C.大小相等，方向不同

D.大小不等，方向相同

2、决定一个平抛运动的总时间的因素（）

A 抛出时的初速度

B 抛出时的竖直高度

C 抛出时的竖直高度和初速度

D 物体的质量有关

3、一个物体以初速度V0水平抛出，经时间t，其竖直方向速度大小与V0大小相等，那么t为（）

A、V0/g

B、2V0/g

C、V0/2g

D、2 V0/g

4、物体以初速度V0水平抛出，当抛出后竖直位移是水平位移的2倍时，则物体抛出的时间是（）

A 1∶1

B 2 ∶1

C 3∶1

D 4∶1

5、如图，以9.8m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上，则物体的飞行时间为多少？

6、在倾角为 的斜面顶端A处以速度0v水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求：

(1)小球从A运动到B处所需的时间和位移。

(2)从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

7、从某一高度平抛一物体，当抛出2s 后它的速度方向与水平方向成45°角，落地时速度方向与水平方

向成60°角，求：（g=10m/s2）

（1）抛出时的速度。 （2）落地时的速度。 (3)抛出点距地面的高度。 (4)水平射程。

8、“探究平抛运动的运动规律”实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：

A ．让小球多次从 位置上滚下，在一张印有小方格的纸记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置，

如右下图中a 、b 、c 、d 所示。

B ．按图安装好器材，注意 ，记下平抛初位置O 点和过O 点的竖直线。

C ．取下白纸以O 为原点，以竖直线为y 轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛运动物体的轨迹。

⑴完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。

⑵上述实验步骤的合理顺序是 。

⑶已知图中小方格的边长L ＝1.25cm ，则小球平抛的初速度为 v 0＝ （用L 、g 表示），其值是 （取g ＝9.8m/s 2

），

小球在ｂ点的速率 。

9、物块从光滑曲面上的P 点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q 点，若传送带

的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图所示，再把物块放到P 点自由滑下则

A.物块将仍落在Q 点

B.物块将会落在Q 点的左边

C.物块将会落在Q 点的右边

D.物块有可能落不到地面上

10、已知方格边长a 和闪光照相的频闪间隔T ，求：v 0、g 、v c

11、如图所示，一高度为h=0.2m 的水平面在A 点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V 0=5m/s 的速

度在平面上向右运动。求小球从A 点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s 2）。某同学

对此题的解法为：小球沿斜面运动，则2

1sin ,sin 2h V t g t θθ=+?由此可求得落地的时间t 。问：你同意上述 解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。

a b c

d θ

B A h

12、作平抛运动的物体，在落地前的最后1s内，其速度方向由跟竖直方向成600角变为跟竖直方向成450角，求:物体抛出时的速度和高度分别是多少？

13、排球场总长18m，网高2．25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。（g取10m/s2）（1）若击球的高度h＝2．5m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能

触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？

（2）若运动员仍从3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无

论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件。

14、如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落

在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足

A.tanφ=sinθ

B. tanφ=cosθ

C. tanφ=tanθ

D. tanφ=2tanθ

15.关于做平抛运动的物体，正确的说法是

A.速度始终不变

B.加速度始终不变

C.受力始终与运动方向垂直

D.受力始终与运动方向平行

16.如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度

v a和v b沿水平方向抛出，经过时间t a和t b后落到与两出点水平距离相等

的P点。若不计空气阻力，下列关系式正确的是

A. t a>t b, v a

B. t a>t b, v a>v b

C. t a

D. t a>t b, v a>v b

17、在平坦垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力，则

A. 垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定

B. 垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定

C. 垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定

D. 垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定

18．一水平放置的水管，距地面高h＝l.8m，管内横截面积S＝2.0cm2。有水从管口处以不变的速度v＝2.0m/s 源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开。取重力加速度g＝10m／s2，不计空气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。

匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的圆弧长度相同。

（1）线速度：质点通过的弧长和通过该弧长所用时间的比值，即s v t

?=?，单位m/s ；属于瞬时 速度，既有大小，也有方向。方向为在圆周各点的切线方向上。匀速圆周运动的线速度方 向在时刻改变，大小不变。

（2）角速度 ：t

θω?=? (θ指转过的角度)，单位 rad/s 或1s -；对某一确定的匀速圆周运动而 言，角速度大小是恒定的，方向时刻变化的。

（3）周期T ；频率f ＝1/T ；转速：物体单位时间内转过的圈数，用符号n 表示。

v r ω= 2r v T π= 222f n T

πωππ===

同轴传动各点的角速度相等

皮带、链条、齿轮、摩擦传动各点的线速度大小相等

1、如图所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点

的线速度之比、角速度之比、向心加速度之比。

2、关于匀速圆周运动，下列说法正确的是 （ ）

A ．匀速圆周运动是匀速运动

B ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动

C ．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动

D ．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态

3、对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是

A 、A 轮带动

B 轮沿逆时针方向旋转．

B 、B 轮带动A 轮沿顺时针方向旋转．

C 、C 轮带动

D 轮沿顺时针方向旋转．

D 、D 轮带动C 轮沿顺时针方向旋转．

4、如图所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑，则皮带轮上A 、B 、C 三点的情况是 （ ）

A ．v A =v

B ，v B = v

C ； B ．ωA =ωB ，v B = v C

C ．v A ＝v B ，ωB ＝ωc ；

D ．ωA ＞ωB ，v B ＝v C

5、如图所示，直径为d 的纸质圆筒，以角速度ω绕轴O 高速运动，有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹

穿过圆筒时间小于半个周期，在筒上先、后留下a 、b 两个弹孔，已知ao 、bo 间夹角为φ弧度，则子弹

a

b c

d

速度为

向心加速度

（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

（2）大小：a=v2/r=ω2r=4π2fr=4π2r/T2=ωv。

（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a的大小是否变化，a都是个变加速度．（4）注意：a与r是成正比还是反比，要看前提条件，若ω相同，a与r成正比；若v相同， a与r成反比；若是r相同，a与ω2成正比，与v2也成正比．

向心力

（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力对做圆周运动的物体不做功．

（2）大小： F＝ma＝mv2/r＝mω2 r=m4π2fr=m4π2r/T2=mωv

（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．

说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定．

匀速圆周运动

1．特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．

2．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．

3．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．

4．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．

变速圆周运动（非匀速圆周运动）

变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．

变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果．

1．半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向．

2．切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．

故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值．

1.关于向心力的说法正确的是（）

A．物体由于作圆周运动而产生一个向心力 B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小

C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力 D．做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力2、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，下列正确的是（）

A 、物体受重力、向心力、摩擦力三个力

B 、物体受重力、弹力、摩擦力三个力

C 、物体受重力、弹力、向心力、摩擦力

D 、物体受重力、弹力、向心力、三个力

3、关于变速圆周运动的向心力的说法中正确的是

（ ）

A 、物体除其他力外，还受到一个向心力的作用

B 、物体所受的合力等于向心力

C 、向心力的大小一直在变化

D 、变速圆周运动的合力的方向不指向圆心

4、长为L

的细线，拴一质量为m 的小球，一端固定于O 点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动 通常称为圆锥摆运动），如图所示，当摆线L 与竖直方向的夹角是α时，求：

（1）线的拉力F ；

（2）小球运动的线速度的大小； （3）小球运动的角速度及周期。

5.在地球上，赤道附近的物体A 和北京附近的物体B ，随地球的自转而做匀速圆周运动.可以判断

A ．物体A 与物体

B 的向心力都指向地心

B ．物体A 的线速度的大小小于物体B 的线速度的大小

C ．物体A 的角速度的大小大于物体B 的角速度的大小

D ．物体A 的向心加速度的大小大于物体B 的向心加速度的大小

6.下列关于离心现象的说法正确的是

A ．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象

B ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动

C ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将沿切线做直线运动

D ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将做曲线运动

7.一圆盘可绕通过圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动。在圆盘上放置一小木块A ，它随圆盘一起 做匀速圆周运动，则关于木块A 的受力，下列说法正确的是 A ．木块A 受重力、支持力和向心力

B ．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反

C ．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心

D ．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同

8.汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧。两车 沿半径方向受到的摩擦力分别为f 甲和f 乙。以下说法正确的是

A ．f 甲小于f 乙

B ．f 甲等于f 乙

L

α O

C ．f 甲大于f 乙

D ．f 甲和f 乙大小均与汽车速率无关

竖直平面内的圆周运动问题的分析方法

（1）如右图所示为没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提

供其做圆周运动的向心力。

即 r

v m mg 2

0=式中的v 0小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度gr v =0 ②能过最高点的条件：v>v 0，此时绳对球产生拉力F

③不能过最高点的条件：v

（2）有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动的情况：

① 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v 0＝0

②右图中(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况：

当0

当v ＝gr ，F N =0。

当v>gr 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大．

③右图(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况与硬杆对小球的弹力类似。

对火车转弯问题的分析方法

在火车转弯处，如果内、外轨一样高，外侧轨道作用在外侧轮

缘上的弹力F ′指向圆心，使火车产生向心加速度，由于火车的质量

和速度都相当大，所需向心力也非常大，则外轨很容易损坏，所以

应使外轨高于内轨．如右图所示，这时支持力N 不再与重力G 平衡，

它们的合力指向圆心．如果外轨超出内轨高度适当，可以使重力G

与支持力的合力，刚好等于火车所需的向心力．

另外，锥摆的向心力情况与火车相似。

离心运动

①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只足由于向心力作用，使它不能沿

切线方向飞出 ，而被限制着沿圆周运动，如图所示．

②当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的切线方向飞

去，如图A 所示．

③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，

，即合外力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线

与圆周之间的一条曲线运动．如图B 所示．

汽车过桥： 凸面：r v m F G N 2=- 凹面：r

v m G F N 2

=-

航天器中的失重现象：r

v m mg F N 2

;0== 应用:雨伞、链球、洗衣机脱水、离心分离器、离心干燥器、离心测速计、无缝钢管、

离心水泵等。

防止:汽车转弯时的限速；高速旋转的飞轮、砂轮的限速和防

1．如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O 。现给球一初速度，

使球和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对

小球的作用力，则F （ ）

A ．一定是拉力

B ．一定是推力

C ．一定等于0

D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0

2.如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水 平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是：

A. V A > V B

B. ωA > ωB

C. a A > a B

D.压力N A > N B

3、如图所示，一质量为M 的赛车，在某次比赛中要通过一段凹凸起伏的圆弧形路面，若圆弧半径都是R ， 汽车在到达最高点（含最高点）之前的速率恒为gR v =

，则下列说法不正确的是 （ ）

A ．在凸起的圆弧路面的顶部，汽车对路面的压力不为零

B ．在凹下的圆弧路面的底部，汽车对路面的压力为2Mg

C ．在经过凸起的圆弧路面的顶部后，汽车将做平抛运动

D ．在凹下的圆弧路面的底部，汽车的向心力为Mg

4.如图所示，质量相等的A 、B 两物块放在匀速转动的水平圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下 列关系中正确的是

A ．它们所受的摩擦力

B A f f

B ．它们的线速度V A

C.它们的运动周期T A

D ．它们的角速度 B A ωω

B

A

5、绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=60cm，求：

⑴在最高点水不流出的最小速率?

⑵水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力?