不等关系与绝对值不等式及习题

不等式和基本不等式

一．知识梳理

1.实数大小的比较方法

(1)作差法：a>b ⇔a-b>0，a

(),,

a b a b,.>>>⇔><⇔<=⇔=a

2a 0b 01b

a a

11a b b b

作商法当时

2.不等式的性质

(1)性质1:如果a>b,那么bb. (2)性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. (2)性质3:如果a>b,那么a+c>b+c. 推论:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

(4)性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;，如果a>b,c<0,那么acb>0,c>d>0,那么ac>bd. 推论2:如果a>b>0,那么a 2>b 2.

推论3:如果a>b>0,那么a n >b n (n 为正整数). 推论4:如果a>b>0,那么n

n

b

a

11〉 (n 为正整数).

3.含有绝对值不等式

(1)定理:对任意实数a 和b,有|a+b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条件为ab ≥0.

说明:①定理中的b 以-b 代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.，其中等号成立的条件为ab ≤0. ②对任意实数a 和b,有||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|. (2)绝对值不等式的解法

解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义,设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组,常用的方法有定义法、平方法、公式法等. 4.平均值不等式

定理1:对任意实数a,b,有a 2+b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号).

定理

2;,,""),

.

+≥==a b

a b a b 2

对任意两个正数有

当且仅当时取号即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 定理3:对任意三个正数a,b,c,有a 3+b 3+c 3≥3abc(当且仅当a=b=c 时取“=”号

).

:,,""),

.++≥===a b c 4a b c a b c 3

定理对任意三个正数有

当且仅当时取号即三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值

二．典例分析

题型一 比较两个数的大小

,∈≠

1a R a a 例设且的大小

点评:比较两个实数的大小,可以用作差法或作商法,若含有未知字母,注意分类讨论. 练习1: 已知a,b,c ∈R +,且b

题型二 绝对值三角不等式定理的应用

对于绝对值三角不等式定理：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，要从以下两个方面深刻理解： (1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时． (2)该定理可以推广为|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |，也可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．

例2 （1）f (x )＝|3－x |＋|x －2|的最小值为________．

（2）若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是________.

练习2 已知f(x)=|x-1|+|2x+3|.若f(x)≥m 对一切x ∈R 都成立,求实数m 的取值范围;

(1)形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：

①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．

(2)上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集．

例3 解下列不等式：

(1)|x－1|<2；(2)|x2－1|>3；(3)|x2－2x＋4|>2x；(4)4|x＋6|<3－2x.

（5）2|x|+|x-1|<2

例4已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.(1)解不等式f(x)≤4；

(2)若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求实数a的取值范围．

例5 若|a-b|>c,|b-c|

点评:绝对值不等式|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|的几何意义是:三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边,在运用时注意等号成立的条件.

a a a

4:x ,y ,z ,:x 2y 3z a 369

<<<+-<练习已知求证

题型五 利用不等式求最值

111

.1a,b,c ,a 2b c 1,_____a b c

++=++例6（）已知都是正数且则的最小值是

2

2

11x,y ,x y _____.2y 2x ⎛⎫⎛⎫

+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭（2）若是正数则的最小值是

练习5:θ为锐角,求y=sin θcos 2θ的最大值.

(

]22

t t 2

.a t 0,2,a ( )t 9t 12141A.,1 B.,1 C., .,6136136D +≤≤∈+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣例7若不等式

在上恒成立则的取值范围是

1

6:x a 51x ,

x

a ________.

+

>-+练习不等式对于一非零实数均成立则实数的取值范围是