由图像或性质求三角函数解析式的方法

求三角函数解析式常用的方法

三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。

1 利用五点法，逆求函数解析式

例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2

已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6

π 353

46124

T πππ=-= T π∴= 2ω=

把(,2)12π代入，2

122

ππφ⨯+=得3πϕ=

所以y=)3

2sin(2π

+x

点评：由图像确定解析式，观察图像的

特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相ϕ。

2 利用图像平移，选准变换过程切入求解

例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）

A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin 26y x π⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

D.cos 26y x π⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

解：从图象看出，

41T =1264

πππ

+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为

y=sin 2x 向左平移了

6π个单位，即

sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236

x x x πππ

π

+=-++=-，故选择答案D 。

点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入，

如本题y=sin 2x 向左平移了6π

个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象

的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ωϕ的影响，注重整体变量观念的应用。

3 特殊化赋值法求解

例3设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8

π

=

x 。求()y f x =的解析式。

解：对称性特殊赋值切入，8

x π

=

是函数()y f x =的图像的对称轴，

()()88

f x f x ππ

∴+=-

令8x π

=

，则()(0)4f f π=，即sin() =sin cos 2

π

ϕϕϕ+=，tan 1ϕ∴=。 0πϕ-<< ， 34πϕ∴=- 故3()sin(2)4

y f x x π

===-

点评：特殊赋值这是演绎推理的具体表现，特别是利用对称性待定系数时， 更显示出它的价值

4 利用方程组求解 例4：已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的奇函数，其图象关于点)0,4

3(

πM 对称，且在区间]3,0[π

上是单调函数。求函数()y f x =的解析式。

解：由图像过原点和其对称性构建方程组切入，由函数()f x 是R 上的奇函数得(0)cos 0(1)f ϕ== ； 由函数()f x 图象关于点)0,43(

πM 对称得：33()cos()0(2)44

f ππωϕ=+= ； 在()f x 区间[0,]3

π

上是单调函数得：(3)342||T ππω≤=

；

联立（1）（2）（3）组成的方程组结合0,0ωϕπ>≤≤，可解得：2

43πϕω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，

所以4()sin()32

f x x π

=+。

点评：待定系数法确定周期和初相位，要依据三角函数的解析式的特点，挖掘题设条件，利用对称性和单调性构建方程组，注意方程的个数要等于未知元素的个数，同时不能忽视所给元素范围对结果的影响。 5 利用最值点满足的条件进行求解

例5设函数f (x )=3 2cos x ω+sin ωxcos ωx+a (其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )

的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6

π

.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.

解：利用三角变换，降次辅助角化为一个角的三角函数

1()2sin 2sin 2231

2,.

6322

f x x x a x a πωωωπππωω⎛⎫=

+=+++ ⎪⎝⎭⋅+==（I ）依题意得解之得

)571 ,0, ,sin()1,36362351 (),3621 2a

x x x f x ππππππππα

αα⎡⎤

⎡⎤∈-+∈-≤+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎡⎤

--⎢⎥⎣⎦-=

（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知

点评：关于正弦和余弦的二次齐次式的问题，首先应考虑通过三角恒等变形

将函数化为一个角一种函数形式，利用取最值的条件确定表达式，这个过程中蕴含了划归思想。