垂直于弦的直径(一)
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
垂直于弦的直径(一)
垂直于弦的直径（一）弦和弦心在欧几里得几何中，弦是连接圆上两个点的线段。
而弦心则是连接弦的垂直平分线的交点。
本文将讨论垂直于弦的直径。
垂直于弦的直径定理在一个圆中，如果一个直径垂直于一个弦，那么这个直径将平分这条弦并且被弦分成两个互为垂直的弧。
证明考虑一个圆，其直径为AC，弦为BD，且直径AC垂直于弦BD。
根据圆的性质，弦BD与直径AC的交点E将划分弧BD为两段：BE和ED。
要证明直径AC平分弦BD，我们需要证明BE = ED。
根据垂直平分线定理，直径AC与弦BD垂直，则直径AC即为弦BD的垂直平分线。
因此，我们只需要证明BE = ED，即可证明直径AC平分弦BD。
证明BE = ED我们可以利用直角三角形的性质来证明BE = ED。
连接AE和EC，并延长直径AC到点F，如下所示：B E D| | |A--------F-----C-----E由于AC是直径，所以角AFC是直角。
又因为AE是直径的一部分，所以角AFB也是直角。
由于角AFC和角AFB都是直角，所以它们互为相等角。
即，角AFC = 角AFB。
根据垂直平分线定理，AE是弦BD的垂直平分线，所以角AEB = 角DEC。
综上所述，我们得出：角AFC = 角AFB 角AEB = 角DEC由于角AFC = 角AFB，而角AEB = 角DEC，故三角形AEB与三角形DEC是相似三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得出： BE/DE = AE/EC由于AC是直径，所以AE = EC。
因此，BE/DE = 1，即BE = DE。
因此，我们证明了BE = ED。
互为垂直的弧根据垂直平分线定理，AC是BD的垂直平分线，所以弧BD被直径AC分为两个互为垂直的弧：弧BE和弧ED。
结论根据垂直于弦的直径定理，如果一个圆中的直径垂直于一条弦，那么这个直径将平分这条弦，并且被弦分成两个互为垂直的弧。
垂直于弦的直径定理在几何形状的计算和证明中有着重要的应用，在解决各种问题时提供了有价值的洞察力。
垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
课件《垂直于弦的直径》优秀课件完整版_人教版1
∴⊙O的半径为5厘米。
解决求赵州桥拱半径的问题
AB
如图，用A⌒B表示主桥拱，设A⌒B所在圆的圆心为O，半 径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是A⌒B 的中点， C是AB的中点，CD 就是拱高．AB=48米，CD=16米
C
A
D
B
R
O
三、
A⌒D=⌒BD
Ｄ
垂径定理的推论
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
例 如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm， ∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5 ∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM=1 AB，
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水 面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
●相信自己能独立 完成解答.
船能过拱桥吗
解 : 如 图 ,用 AB表 示 桥 拱 , AB 所 在 圆 的 圆 心 为O,半 径为 R m, 6．下列经说法过错圆误的心是O( 作) 弦 A B 的 垂 线 O D, D 为 垂 足 , 与AB 相 交 于 点 C . 根
㎝，
O
D
A
B
C
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A
B
圆心到弦的距离d、弦长a中，
D
第课时 垂直于弦的直径(共26张PPT)
第2课时 垂直于弦的直径
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问 题，并会解决一些实际问题.
探究点一 圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二 垂径定理及其推论的推导
垂径定理： 教科书第89页习题24.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
探平（究分点 弦由一（不圆）是的直垂轴径对径）称并性定且平理分弦—所构对的造两条直孤.角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 教科书第89页习题24. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 （2）垂径定理的推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
重要思路： 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
垂直于弦的直径(课件)九年级数学上册(人教版)
解：如图，用⌒AB表示主桥拱，设⌒AB所在圆的圆
心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与A⌒B
相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中 点，C是A⌒B的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m 所以，AD=1AB=1×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
少？
解：过O点作OC ⊥ AB于点C，并延长CO交⊙ O于点 D，如图， 则由题意得OA = OD = 5cm ∴ OC = CD − OD = 3cm 又∵ OC ⊥ AB， ∴ AC = BC， 在Rt△ OAC中，AC = OA2 − OC2 = 4cm ∴ AB = 2AC = 8cm
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm， 求AB和CD之间的距离． 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心 异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
没有垂直
没有过圆心
➢垂径定理的几个基本图形：
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
①CD是直径 ②CD⊥AB，垂足为E ③AE=BE ④A⌒C=⌒BC 举例证明其中一种组合方法 已知:__①___③____;求证:_②___④___⑤__.
在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又∵AA′⊥CD ∴ AM=MA′ 即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因 此圆⊙的O关对于称直性线：C圆D对是称轴.对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》(第一课时)教学设计
24.1.2垂直于弦的直径（第一课时）教学设计【教学目标】1、知识目标：(1)通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；(2)掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；(3)能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。
2、能力目标：(1)在研究过程中，进一步体验“实验、归纳、猜想、证明”的方法；(2)在解题过程中，注重发散思维的培养。
3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
【教学重点】探索并证明垂径定理。
【教学难点】利用垂径定理解决有关计算、证明问题.【教学方法】引导发现法、直观演示法【教学用具】圆形纸片，圆规，三角尺，PPT 课件，实物展台【教学过程】一、创设问题情境，激发学习兴趣：1．出示赵州桥图片：同学们，你们认识它吗?它是我国隋代工匠李春建造的赵州桥，距今已有1400多年历史，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的勤劳与智慧。
2．创设问题情境：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为7.23米。
请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少？通过本节课的探究和学习，老师相信大家一定能够解决这一问题。
（图1）3. 出示学习目标：( 1 ) 通过动手操作，使学生发现圆的轴对称性.（2）探索垂径定理，并会用它解决有关的证明与计算问题。
二、尝试操作，发现定理：（一）活动一： 实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？(可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；或经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
)（二）活动二：操作思考1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？我们可以发现：（1）上图是轴对称图形，其对称轴是直径CD 所在的直线．（2）相等的线段：AE=BE ，相等的弧：A ⌒C=B ⌒C,A ⌒D=B ⌒D 。
24.1.2 垂直于弦的直径(1)
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
C
O C B
赵州桥主桥拱的半径？
7.2m
A
A
37.4m
B
C D
B
关于弦的问题，常常 需要过圆心作弦的垂 线段，这是一条非常 重要的辅助线。
O
⌒ ⌒ 解：如图，用AB径为r. A ⌒ 过O作OC⊥AB于D，与AB交于点C，
∵OE⊥AB， 1 ∴ AE AB 4cm 2 OE 3cm 2 OE 2 ∴ OA AE
4 3 5cm
2 2
A
E · O
B
即⊙O的半径为5cm.
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1， AB=10，求直径CD的长。 解：连接OA， ∵ CD是直径，OE⊥AB C A E · O D
即主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
r d
d + h = r a 2 2 2 r d ( ) 2
B 在a，d，r，h中
，已知其中任意 两个量，可以求 出其它两个量．
E A
h a
D
练习
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E， 则下列结论中不成立的是（ ） C
1 ∴ AE AB 5 2 B 设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得 OE 3cm
x2=52+(x-1)2
解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
C
D
B
连接AB、OA， 则D是AB的中点，C是AB的中点， 由已知得，AB=37.4m，CD=7.2m
垂直于弦的直径-PPT课件
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
推论：
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
几何语言：已知：CD是直径, CD⊥AB
求证：AE=BE
A⌒D=B⌒D. A⌒C =B⌒C
·O
E
A
B
D
证明：连接OA,OB
在Rt△OAE和Rt△OBE中，
OA=OB，OE=OE ∴Rt△OAE≌Rt△OBE.（HL)
∴AE=BE. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴点A和点B关于CD对称.
⌒⌒
⌒⌒
∴ AC和BC重合, AD和BD重合.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题 ：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的 中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
0.1m).
解决求赵州桥拱半径的问题
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
24.1.2垂直于弦的直径(1)第2节课
B O A
O A E D
OE = OB 2 − EB 2 B
OE=125(mm)
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm) － 油的最大深度 或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm). 或者油的最大深度
M
E A
.O
B
A C
. EOD BC AD B.O
N
小结: 小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线， 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 过圆心作弦的垂线 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线， 等辅助线 理创造条件。 理创造条件。
A
C
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为 在 中 于 ， 为 直径，则下列结论不正确的是（ 不正确的是 直径，则下列结论不正确的是（C ）
A、AC=AD B、⌒ ⌒ 、⌒ ⌒ 、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM 、 、
M└ └
●
D O
B
2.已知⊙O的直径 2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M， 的直径AB=10， AB，垂足为M， 已知 OM=3，则CD= 8 . ， 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10， 在 为直径， 中 于 ， 为直径 ， AM=1，则⊙O的半径是 13 . ， 的半径是
A E B O
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 半径为2cm的圆中， 2cm的圆中 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。
A E O B
小结： 小结：
圆是轴对称图形, 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴. 线都是它的对称轴. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦, 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 并且平分弦所对的两条弧. 在解决有关圆的问题时， 在解决有关圆的问题时，可以利用 垂径定理将其转化为解直角三角形 垂径定理将其转化为解直角三角形 的问题 。
垂直于弦的直径(一)
垂直于弦的直径（一）弦的基本概念首先，我们先了解一下什么是弦。
在几何中，弦是圆上两个点之间的线段。
特别地，对于一个圆，弦是连接圆上任意两点的线段。
而垂直于弦的直径则是一个和弦垂直的直线段，它通过圆心，并且刚好与弦的中点重合。
在本文中，我们将探讨关于垂直于弦的直径的性质和应用。
性质以下是关于垂直于弦的直径的性质：1.垂直性质：垂直于弦的直径和弦是垂直的。
也就是说，垂直于弦的直径与弦所在的直线段之间的夹角为90度。
这一性质可以通过几何推理很容易证明。
2.垂直二分性质：垂直于弦的直径将弦分成两个相等的线段。
也就是说，垂直于弦的直径的两个端点与弦的两个端点连线，这两条线段是相等的。
这一性质也可以通过几何推理来证明。
证明接下来，我们来证明上述两个性质。
垂直性质的证明设O为圆的圆心，AB为圆上的一条弦，CD为垂直于弦AB的直径，CE为弦AB的中点。
首先，我们可以通过圆的性质得知OA和OD分别是圆的半径。
又因为直径OD通过圆心O，所以OA和OD是共线的。
因此，可以得出三角形OAD是等腰直角三角形。
同时，正因为OD是圆的直径，所以正好通过弦AB的中点E。
根据等腰直角三角形的性质，直角边OE等于斜边OD的一半，即OE=EA。
而根据直角三角形的性质，OE和EA垂直，因此垂直于弦的直径和弦是垂直的。
垂直二分性质的证明同样设O为圆的圆心，AB为圆上的一条弦，CD为垂直于弦AB的直径，CE为弦AB的中点。
首先，我们可以通过圆的性质得知OA和OD分别是圆的半径。
又因为直径OD通过圆心O，所以OA和OD是共线的。
接下来，连接直线段OC和OD。
由于OC和OD都是圆的半径，所以它们相等，即OC=OD。
由于CD为垂直于弦AB的直径，所以C和D是弦AB的中点E的两个对称点。
根据对称性质，直线段OC和OD是相等的，即OC=OD，因此得出OC=OD=CE。
综上所述，连接垂直于弦的直径的两个端点与弦的两个端点连线，这两条线段是相等的。
应用在几何学和物理学中，垂直于弦的直径有许多重要的应用。
圆中垂直于弦的直径
圆中垂直于弦的直径圆是几何学中最基本的图形之一，它是由一条曲线所围成的平面图形，其中每一点到圆心的距离都相等。
在圆的几何学中，有一个非常重要的定理，那就是“圆中垂直于弦的直径定理”。
圆中垂直于弦的直径定理是指：如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径将把弦分成两个等分部分。
这个定理在数学和几何学中被广泛应用，可以用来解决很多问题，例如求圆的面积、周长和弧长等。
首先，我们来证明这个定理。
假设有一个圆，它的直径AB垂直于一条弦CD。
我们需要证明，这条直径将把弦CD分成两个等分部分。
为了证明这个定理，我们可以使用勾股定理。
首先，我们可以将圆心O与点C连接，然后再将圆心O与点D连接，这样就可以得到两个直角三角形AOC和BOD。
根据勾股定理，我们可以得到：AC + OC = AOBD + OD = BO因为直径AB的长度等于圆的直径，所以AO = BO，OC = OD。
因此，我们可以将上述公式简化为：AC + OC = BD + OD将AC和BD代入上式，可以得到：AB + OC = AB + OD于是，我们可以得到：OC = OD因此，我们可以得出结论，即弦CD被直径AB等分。
接下来，我们来看一些应用例子。
假设我们有一个圆，它的直径为10厘米，一条弦的长度为8厘米，这条弦与直径垂直。
我们需要求出这条弦被直径分成的两个部分的长度。
根据圆中垂直于弦的直径定理，这条弦被直径分成的两个部分长度相等。
因此，我们可以将直径分成两个长度为5厘米的部分。
因为弦的长度为8厘米，所以我们可以得出，每个部分的长度为4厘米。
另外一个例子，假设我们有一个圆，它的直径为12厘米，一条弦的长度为6厘米，这条弦与直径垂直。
我们需要求出这个圆的面积和弧长。
根据圆中垂直于弦的直径定理，这条弦被直径分成的两个部分长度相等。
因此，我们可以将直径分成两个长度为6厘米的部分。
因为圆的半径等于直径的一半，所以半径为6厘米。
因此，这个圆的面积为：πr = π(6) = 36π弧长可以用下面的公式计算：弧长 = 弧度×半径弧度可以用下面的公式计算：弧度 = 弧长 / 半径因为这条弦与直径垂直，所以它对应的圆心角为90度。
垂直于弦的直径(一)数学教案
垂直于弦的直径（一）数学教案
标题：垂直于弦的直径（一）数学教案
I. 教学目标
1. 理解并掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用所学知识解决相关问题。
3. 培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。
II. 教学重点和难点
1. 重点：理解垂直于弦的直径的性质。
2. 难点：运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
III. 教学过程
1. 导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出今天的主题——垂直于弦的直径。
2. 新知探究：
a) 定义讲解：在圆中，如果一条直线与某条弦相交并且垂直，那么这条直线就叫做这条弦的垂线。
b) 性质讲解：在一个圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径将把这条弦平分，并且这条直径是这条弦的垂线。
3. 实例解析：通过具体的实例，让学生理解并掌握垂直于弦的直径的性质。
4. 练习巩固：设计一些相关的练习题，让学生自己尝试解答，从而加深对知识点的理解。
5. 小结：回顾本节课的学习内容，强调垂直于弦的直径的性质的重要性。
IV. 作业布置
设计一些与垂直于弦的直径的性质相关的习题，供学生回家后进行复习和巩固。
V. 教学反思
在教学过程中，要注意观察学生的学习情况，及时调整教学方法和策略，确保学生能够理解和掌握所学的知识。
研究课题：垂直于弦的直径(一)
研究课题：垂直于弦的直径(一)沙田学校潘红英一．教学目标：1.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质；2．运用垂径定理和推论进行简单的证明；3．激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的能力，实践回应等学习过程。
二．教学重点与难点；重点：垂直于弦的直径的性质与应用；难点：垂直于弦的直径的性质与推论的探索。
三．教学过程：教师活动学生活动目的与意义（一）探索并证明垂直于弦的直径的性质我们已学习了对称的有关概念，下面我们一起来复习两个问题：1．什么叫轴对称图形？2.如何证明点A与点B关于直线CD 对称？(电脑显示图1)大家观察图2并思考两个问题：(1)圆是不是轴对称图形？学生观察一些图形轴对称图形:一个图形沿着某条直线翻折, 直线两旁的部分能够互相重合,这样的图形叫做轴对称图形.连结AB，只需证明直线CD垂直平分线段AB．操作☆实践回顾通过复习，强化学生认知结构中与本堂课有关的内容。
为学生自主探索垂径定理奠定基础。
教师活动学生活动目的与意义(2)如果是，它的对称轴是什么？(电脑显示圆沿直径所在直线的折叠动画)这节课的第一个结论：板书:圆的轴对称性．电脑显示:圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．这一节我们将根据圆的轴对称性来讨论圆的另一性质：“垂直于弦的直径”的性质出示目标（电脑显示）：学习目标：探索垂直于弦的直径的有关性质以及简单应用。
板书课题：垂直于弦的直径讨论的问题是：直径CD除和弦AB 垂直外还有什么性质？思考：可能会有哪些等量关系？从刚才演示中大家发现此命题是真的，但这不是严格的证明，下面我们从理论上给出严格的证明．要证明命题，先得找出命题的题设与结论，并用数学符号转化成我们熟悉的已知与求证，以便于证明．命题的题设？圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径所在的直线．观察思考猜测结论:电脑显示：猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧(劣弧、优弧)．垂直于弦的直径．☆比较回应学生通过观察比较，猜测垂直于弦的直径的性质命题的结论？ 要证三组量分别相等，由刚才的折叠演示发现，关键是证⊙O 沿直线CD 折叠时点A 与点B 重合，即证点A 与点B 关于直线CD 对称，也只需证直线CD 垂直平分线段AB ．由已知CD⊥AB，只需证CD 平分AB ，而我们学过的什么图形中垂线与中线重合？已知：CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD⊥AB，垂足是E求证：AE=BE A ⌒C=B ⌒C A ⌒D=B ⌒D此猜想经过证明是真命题可作定理．此定理反映的是垂直于弦的直径的性质，所以称为“垂径定理”(电脑将“猜想”换成“垂径定理”)．为了帮助大家理解和应用定理，我们强调两点：(1)定理的条件与结论：条件有两条，结论有两条，由结论还可得弦的中点及两弧的中点；(2)定理中的基本图形：等腰三角形及由半径、半弦和弦心距组成的直角三角形．(电脑显示RtΔAOE)（二）概念辨析、比较质疑练习: 1．在下列图形(电脑显示)平分弦，平分弦所对的弧． 等腰三角形．连结OA 、OB(电脑显示OA 、OB ，如图4) 证明：连结OA 、OB ，∵ OA=OB，又OE⊥AB， ∴OE 所在的直线CD 是线段AB 的垂直平分线． ∴当把⊙O 沿直线CD 折叠时，点A 与点B 重合． ∴AE=BE A ⌒C=B ⌒C A ⌒D=B ⌒D☆实践回应 让学生经历实验—观察—猜想—证明的学习过程，通过比较力求寻找简捷的解决问题的方法中，哪些不能使用垂径定理，为什么？(7)1. 图(6)中的条件有何变化？ 2．在图(6)中有何结论？ 3.图(7)中的条件有何变化？ 由练习知定理的两个条件缺一不可，定理的两个结论用谁取谁．例题. 已知：如图7，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．求证：AC ＝BD ．图(5)中，AB 是弦，CD 是直径，且CD⊥AB，符合垂径定理的条件． 图(6)中，AB 是弦，将OE 向两方延长可得直径CD ，且CD⊥AB，也符合定理条件．将垂直于弦的直径变为过圆心，垂直于弦的线段． 学生：AE ＝BE ．将垂直于弦的直径变为过圆心的直线过O 作OE⊥AB，垂足为E ．(电脑显示)在大⊙O 中，AE=BE ，在小⊙O 中，CE=DE ，由等式性质可得要证结论．证明：过O 作OE⊥AB，☆比较慨括运用反例和变式图形揭示定理的本质属性，强调垂径定理的两个条件应用垂径定理进行几何证明，体验垂径定理常用添辅助线的方法。
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垂直于弦的直径（一）
一、教学目标：
（1）知识目标
①使学生理解圆的轴对称性。
②掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。
③掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。
（2）、能力目标
①通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力
②提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。
（3）、情感目标
①通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。
②师生共同探究定理，师生共作，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。
2、教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。
3、教学难点：理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。
4、教学方法：启发式，先做后说，师生共作。
5、教具：课件
教学过程
一、创设情境
问题1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让学生准备好）对折一下发现什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）。
今天我们就利用圆的轴对称来研究“垂直于弦的直径”的问题。
（板书课题）
问题2：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？
二、分析猜想
1、把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情况，学生未得到，教师直接给出）两种不同的情况在于直径的位置关系不同。
教师问，学生观察，猜想。
学生回答，教师引导补充：一个是斜交，另一个是垂直。
A
B
C
D
O
A B
C
D
O
A B
C
D
O
2、问题：在直径CD
的两侧相邻的两条弧是否相等？学生观察，回答：右图中
=，=。
3、若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，刚才的结论还成立吗？学生观察，归纳出上述结论依然成立。
4、要求学生在圆纸片上画出上图，并沿CD折叠。
（教师利用投影，增加效果）
5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE）
三、论证评价
1、证明
这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。
分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE
重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。
现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。
证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)：
（1）连接OA、OB。
（2）分加用亮条显示CD左右两侧的两个半圆，然后在右侧着色。
（3）用亮光显示点A、B。
（4）用亮条显示AE、BE。
（5）用亮条显示、、、。
A
B
C D
O
图4
2、形成定理
经过证明这个命题是正确的，我们把它作为一个定理，谁能将这个定理用一句话把它表达出来？（根据学生回答板书；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。
强调：定理的题设有两个： ①直径 ②垂直于弦
结论：①平分弦 ②平分弦所对的两条弧
（1）若将上述图形变为：0E ⊥ AB 于E ，则AE 与BE 相等吗？（如图5）投影显示：
（2）若只满足CD 是直径（如图6）或CD ⊥ AB （如图7），则上述结论还成吗？（强调：两个条件缺一不可）
O
A
B
E 图5
A
B
C
D O
E 图6
A
B
C D
O
图7
E
因此定理又可表述为：（显示） CD 是直径
AE=BE （或CD 过圆心）
=
CD ⊥AB =
四、推广应用 1、例题分析：
（投影）如图：已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心0到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
（1）分析：“圆心0至AB 的距离为3 cm ”指的是哪一条线段？要求半径必须连结OA 。
（分别显示OE ⊥ AB 于E 、OA ）
（2）添出辅助线后启发学生思考解法，然后师生同时给出解答。
A
B
E O
2、变式训练
练习：如上图，OE ⊥ AB 于E ，口答：
①若OE=1，OA=2，则AB=_________； ②若AB=1，∠AOE=30º，则OE=_________；
③若OE=6cm ，AB=16cm ，则⊙O 的直径为________cm 。
小结：①辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；②若圆的
半径为r ，圆心到弦的距离为d ，弦长为a ，则r 、a 、d 间有什么关系？根据什么？
（由学生归纳出r 2=d 2+（2
a
）2,并用投影显示）
因此已知r 、d 、a 中的两个量就可求出第三个量。
变式1：若以O 为圆心，再画一个圆交弦AB 于C 、D ，则AC 与BD 间可能存在什么关系？（教师口述，电脑显示）
图6O
D C
B A
E 方法1方法2A
B C
D
O
方法3
A
B
C D O
E
（由学生作出判断后思考证法）
注：估计学生会提出方法1、2，此时教师可有意识引导学生进行计论，方法3只有当学生提出时才作简单分析。
最后通过比较择优，进一步突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线的重要性和应用垂径定理的优越性。
变式2：（电脑演示）
①若将AB 弦往下平移，AC 和BD 仍相等吗？
②当移到过圆心时，AB 是大圆直径，CD 是小圆直径，AC=BD ，属特殊情形。
③当AB 移到与小圆只有一个交点时（如图），AC 与BC 相等吗？这个问题我们今后将会学到，有兴趣的同学课外先去预习一下。
教师小结：解决此类问题的关键，是利用垂径定理，由圆心引弦AB 的垂线。
B
3、反馈练习
（1）如图，已知AB 是⊙O 的直径，MN 是弦，AB MN 于P ，则MP=_______，
=_______，=__________。
B
O N
M
A
P
（2）如图，⊙O 的半径为50mm ，弦AB=503mm ，则点O 到AB 的距离为________，
∠AOB=__________度。
（3）第78页第2题。
4、小结（尽可能由学生自己归纳） 1、圆的两条重要性质； （1）圆是轴对称图形；
（2）垂径定理（在复述内容基础上突出二个条件，三个结论，及三种语言的相互转换）
2、垂径定理的应用：
（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）； （2）解决某些实际问题（如引例、拱桥等）； ——强化应用意识。
3、常用的辅助线：
（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段。
垂径定理与勾股定理相结合，得出r 2=d 2+（2
a
）2
——强化知识综合运用意识 5、布置作业
第84页，11、12题（2）选做题：第85页，2题。