正比例函数的意义
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
[整理版]正比例函数K的几何意义专
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当k>0时，直线从左下方向右上方倾斜，倾斜角α为锐角；当k<0时，直线从左 上向右下方倾斜，倾斜角α为钝角。
直线斜率与面积关系
斜率K与三角形面积
在直角坐标系中，若直线y=kx与x轴、y轴围成一个三角形，则该三角形的面积S 与斜率k之间存在关系S=1/2*|k|。
斜率K与平行四边形面积
VS
方法二
利用相似三角形的性质，若两个三角形相 似，则它们的对应边成比例。设两个相似 三角形的对应边分别为$l_1, l_2$和$l_1', l_2'$，则有$frac{l_1}{l_1'} = frac{l_2}{l_2'}$。若这两个三角形的一条 边与x轴平行，那么这条边的长度比就等 于两三角形的斜率之比，即$frac{k}{k'} = frac{l_1}{l_1'} = frac{l_2}{l_2'}$。
工程学中效率与工作量关系
工作效率与工作量关系
在工程学中，工作效率η通常与工作量W成正比关系。高效率意味着在相同时间内可以完成更多的工 作，即η=kW，其中k为比例系数。
机器性能与工作负载关系
机器的性能表现通常与其工作负载成正比。当机器承受的负载增加时，其性能表现也会相应提升，以 保持稳定的工作效率，即P=kW，其中k为比例系数。
正比例函数与反比例函数关系
01
正比例函数和反比例函数是两种不同类型的函数，它
们之间没有直接的转化关系。
02
正比例函数的自变量和因变量之间是线性关系，而反
比例函数的自变量和因变量之间是倒数关系。
03
在平面直角坐标系中，正比例函数的图像是一条过原
点的直线，而反比例函数的图像是一条双曲线。
正比例的意义
如果两个量x和y满足关系xy=k（k为常数），则x和y成正比。这是因为无论x和y各 自如何变化，它们的乘积始终等于k，这是正比例关系的另一种表达方式。
观察它们是否满足正比例的定义和性质
总结词
如果两个量满足正比例的定义和性质， 则它们成正比。
详细描述
正比例是指两个量之间的特定关系， 其中一个量是另一个量的常数倍。它 具有方向性、对称性和传递性。如果 两个量满足这些性质，则它们成正比。
体重与饮食
摄入的食物量与体重之间存在正比例关系，摄入的食物越多 ，体重增加的可能性越大。
时间与速度
在匀速运动中，时间与速度之间存在正比例关系，时间越长 ，速度越快。
科学中的正比例例子
电流与电阻
在欧姆定律中，电流与电压成正比，而与电阻成反比，但电压保持不变时，电流与电阻之间存在 正比例关系。
密度与质量
$number {01}
正比例的意义
目 录
• 正比例的定义 • 正比例的应用 • 正比例的性质 • 正比例与其他数学概念的关系 • 如何判断两个量是否成正比 • 正比例的意义和重要性
01
正比例的定义
什么是正比例
正比例是指两个量之间的比值保 持恒定，即当一个量增加或减少 时，另一个量也按照相同的比例
客户数量与销售额
客户数量越多，购买商品 的可能性越大，从而促进 销售额的增加，两者之间 存在正比例关系。
03
正比例的性质
当两个量成正比例时，它们的比值是常数
描述
当两个量x和y成正比例时，它们 的比值x/y是一个常数，这个常数 被称为比例常数。
数学表达
如果x和y成正比例，则存在一个常 数k，使得x/y=k。
增加或减少。
正比例函数的概念
正比例函数的概念一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b ＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。
函数值y随着自变量x的增大而增大．当K ＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。
自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．[编辑本段]正比例函数的性质1.定义域：R（实数集）2.值域：R（实数集）3.奇偶性：奇函数4.单调性：当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。
5.周期性：不是周期函数。
6.对称轴：直线，无对称轴。
[编辑本段]正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。
[编辑本段]正比例函数的图像正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。
[编辑本段]正比例函数图像的作法1.在x允许的X围内取一个值，根据解析式求出y值2.根据第一步求的x、y的值描出点3.做过第二步描出的点和原点的直线[编辑本段]正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。
比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。
①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y 与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。
正比例函数概念
2、利用y=kx的意义解题 ①x和y成正比例，则y与x之间关系式可设为（ x =ky ） ②y-1与பைடு நூலகம்+1成正比例，则关系式可设为（ y-1=k（x+1） ） 即y与x之间的关系式为（ y=k（x+1）+1 ） (强调：注意书写的先后顺序)
3、利用y=kx的特征解题 ①若函数y=(m-1)xm-3正比例函数，则m=（ 4 ） ②若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为 （ -3 ） ③已知函数y=(3m+9)x2+(2-m)x是关于x的正比例函数， 求m的值。 -3
（强调：考虑全面，同时考虑比例系数和自变量的次数。）
1、利用正比例函数的一般形式解题 下列函数中，y是x的正比例函数吗？如果是，请说 明理由，并指出比例系数 ①y=-x ② y= 3 x+x ③x=2y
3 ④y= x
⑤ y=1 2 5
2x 5
答案：① ② ③ ⑤ 是正比例函数。比例系数依次为-1，3 +1 ，， 2
（强调：能将函数解析式变成y=kx的形式的就属 于正比例函数。）
正比例函数的定义
02
正比例函数的应用
物理应用
自由落体运动
在自由落体运动中，物体的速度 与时间成正比，即速度v=gt，其
中g是重力加速度。
弹簧伸长
在弹性限度内，弹簧的伸长量与作 用在其上的力成正比，即x=F/k， 其中F是力，k是弹簧的劲度系数。
电流与电压
在纯电阻电路中，电流与电压成正 比，即I=U/R，其中U是电压，R是 电阻。
数学应用
线性回归分析
函数单调性
在回归分析中，当自变量和因变量之 间存在线性关系时，可以使用正比例 函数进行拟合。
正比例函数在其定义域内是单调递增 或递减的，取决于其系数k的正负。
斜率计算
在平面坐标系中，直线的斜率等于其 上两点间纵坐标差与横坐标差之商， 即m=(y2-y1)/(x2-x1)，当x2=x1时， 斜率不存在。
04
正比例函数与其他函数的区别与 联系
与一次函数的区别与联系
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a neq 0$，而正比例函数 是特殊的一次函数，形式为 $y = kx$，其中 $k neq 0$。正比例函数可 以看作是一次函数中 $b = 0$ 的特殊情况。
正比例函数和一次函数的图像都是直线，但正比例函数的图像过原点， 而一次函数的图像不过原点。
类比学习
通过与其他函数进行类比，找出正比例函数的特殊性质和一般规律。
解题技巧
掌握解题技巧，如代数运算、函数代换等，提高解题效率。
学习建议
1 2
注重基础
在学习正比例函数时，应注重基础知识的学习， 不要急于求成。
多做练习
通过大量的练习，加深对正比例函数的理解和掌 握。
3
及时复习
正比例函数
正比例函数一般地，•形如y=•kx•（k 是常数，•k ≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional function ），其中k 叫做比例系数．也就是说，形如y=•kx+b ，且b ≠0的函数是正比例函数。
[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点和（1，k ）的直线．我们称它为直线y=kx.•当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-k b ，0） （3）走向： k>0，图象必经过第一、三象限；k<0，图象必经过第二、四象限b>0，图象必经过第一、二象限；b<0，图象必经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.[直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系]（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2[确定一次函数解析式的方法]：待定系数法（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：（1）从函数图象的形状判定函数的类型；（2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
八年级数学19.2.1 正比例函数教案
§19．2．1 正比例函数教学目标１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程:Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．答:１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ [活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x结论：１．函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值：画出图象如图（1）．２．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3 y642-2-4-6画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线． 不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限．让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．正是由于正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx ． [活动二]经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？经过原点与点（1，k ）的直线是函数y=kx 的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k ）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3xⅣ．课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．x -3 -2 -1 0 1 2 3y -6 -4 -2 0 2 4 6§19．2．2 一次函数(一)教学目标：1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律教学重点：一次函数解析式特点 2.一次函数图象特征与解析式的联系规律 教学难点1、一次函数与正比例函数关系 2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
19.2.1正比例函数的定义
练习1、已知y-3与x成正比例，并且 x=4时，y=7 求： y与x之间的函数关系式
练习2、已知y与x-1成正比例，并且 x=8时，y=14 （1）求y与x之间的函数关系式 （2）求x=9时，y的值。
练习3:
已知y=y1+y2，y1与x2成正比例， y2与x－2成正比例，当x=1时，y=0，
当x=－3时，y=4，求x=3时，y的值。
例3.下列说法正确的打“√”，错误的打“×” （1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ × ） （2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ × ） （3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ √ ） （4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（ ）
√
在特定条件下自变量可能不单 独就是x了，要注意自变量的变化
解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx,
x ∴所求的正比例函数解析式是y= 2
把 x =-4, y =2 代入上式，得 2 = -4k 1 解得 k= - 2
设 代 求 写
x 为任何实数 （2）当 x=6 时, y = -3
待定系数法
一个很重要的方法哦！
像这样先设某些未知的系数， 然后根据所给的条件来确定未知 的系数的方法叫做待定系数法。
19.2.1正比例函数
情 境 创 设
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km. 设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终 点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小 数点后一位）？
1318÷300≈4.4（h）
活动一：情境创设
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km） 与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？ （0≤t≤4.4） y=300t
人教初中数学《正比例函数》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
正比例函数年级八年级课题正比例函数课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.认识正比例函数的意义。
2.掌握正比例函数解析式特点。
3.理解正比例函数图像性质及特点。
4.能利用所学知识解决相关实际问题。
过程方法1.体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题。
2.体会解决问题的多样性。
开展实践能力与创新意识。
情感态度1.结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯。
2.通过正比例函数的引入，使学生认识到数学与现实世界密切相关。
同时渗透热爱自然和生活的教育。
教学重点正比例函数的概念教学难点正比例函数的特征教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用函数关系式表示以下问题中变量之间的关系。
1、正方形的边长为x，周长为y，写出y关于x的函数关系式。
2、电报收费标准是每个字元，电报费y〔元〕与字数x〔个〕之间的函数关系。
二、探究新知〔一〕出示教材思考(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化；(2)铁的密度为/cm3，铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cm3)的大小变化而变化；(3)每个练习本厚，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随这些本的本数n的变化而变化;(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体温度T(单位：℃)随冷冻时间t(单位：分)的变化而变化；〔二〕观察所列函数关系式，看看有何共同特点？y=4x y=0.1x l=2r m=7.8V h=0.5n T=－2t 〔三〕揭示正比例函数的概念一般地，形如y=kx〔k是常数，k≠0〕的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例函数。
〔四〕揭示正比例函数图象的特征教师给出问题学生观察思考列关系式教师在学生答复后板书学生认真读题思考写出答案，并对六个关系式加以比照。
观察所列关系式，找它们的共同特点，并阐述。
教师引导点拨，可从函数自变量，常量之间的关系考虑。
体会函数概念的实际背景，反映数学与实际的关系通过大量问题，让学生对正比例函数形式有初步的认识。
正比例函数
《正比例函数》说课稿斌英中学余爱凡各位评委老师好：今天我说课的题目是人教版八年级数学（下）册第十九章一次函数的第二节《正比例函数》。
我主要从教材、教法、学法以及教学过程四个方面，谈谈我对本节教学内容的认识与处理。
一、教材分析：（一）确定教材的地位和作用。
世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际。
函数是中学数学中非常重要的内容，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，正比例函数是一次函数特例，也是初中数学中的一种最简单最基本的函数。
本节内容是在学生学习了变量和函数的概念及图象的基础上进行的，它既是对前面所学知识的应用和延伸，也是为以后学习一次函数及其它函数作铺垫。
因此，本节内容具有举足轻重的作用。
为此在教学中通过实验，引导学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想，从而激发学生学习函数的信心和兴趣。
（二）确定教学目标1、知识技能：初步理解正比例函数的概念和图象的特征；能够判断一个函数是否为正比例函数，能正确的画出正比例函数的图象，并理解正比例函数的性质。
2、过程与方法：通过由函数图象揭示函数性质这一探究活动，培养学生观察、比较、概括的能力及抽象思维能力，从中体会数形结合的思想以及由一般到特殊的数学思想。
3、情感态度：使学生经历由“问题情境——自主探索——猜想验证——得出结论——练习巩固”的数学思维活动过程，从中感受数学的应用价值，增强学生学习数学的兴趣。
（三）教学重点和难点教学重点：正比例函数的概念及图象和性质。
因为图象是研究性质的前提，而研究性质又是进一步研究函数的基础，所以要从图象入手观察分析函数的性质，最终得出结论。
教学难点：由函数的图象归纳得出函数的性质及对性质的理解。
二、教法分析基于本节课的特点：函数性质较为抽象，数形结合思想学生难于理解。
在教学过程中，抓住学生已有的知识点，在学生主动参与和教师引导下充分调动学生的学习积极性和主动性，使学生在自主探索的过程中掌握新知识。
19.2.1正比例函数的概念
活动一：情境创设
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后， 是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？ y=300×2.5=750（km）, 这时列车尚未 到 达 距 始 发 站 1 100km的南京站.
问题思考：
• 请写出下列问题中的函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．l=2πr
活4.正动三比：例形函成数概y念=kx(k≠0)关键是由哪个量确 定？怎样确定k呢？
由比例系数k，k一确定，正比例函数 就确定了； 只需知道两个变量x、y的一对对应值即可
确定k值．
例2，
若y=(k-1)xk2 是关,于x的正比例函
数，求k的值.
提高练习：
1.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例 函数，则k满足___k_≠_1___________.
时间t（单位：min）的变化而变化．T=-2t
（1）l = 2π r （2）m = 7.8 V
（3）h = 0.5 n
（4）T = -2 t
（5）y = 250 t
y K x = (常数)
数与自变量的乘积的形式
正比例函数的定义：
一般地，形如 y=kx（k是常数 且k≠0）的函数，叫做正比例函 数，其中 k 叫做比例系数.
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位： g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
m=7.8v
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练 习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随
练习本的本数n的变化而变化．h=0.5n
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下 降2°C，物体温度T（单位：°C）随冷冻
最大值与最小值.
正比例函数的意思
正比例函数的意思
（实用版）
目录
1.正比例函数的定义
2.正比例函数的性质
3.正比例函数的图像
4.正比例函数的应用
正文
正比例函数是一种基本的函数类型，它的定义是 y=kx，其中 k 为常数，x 和 y 是变量。
正比例函数表示的是两个变量之间的比例关系，当一个变量发生变化时，另一个变量也会按照相同的比例发生变化。
正比例函数具有一些重要的性质。
首先，它的图像是一条直线。
这条直线的斜率是 k，表示 y 和 x 之间的比例关系。
当 k 大于 0 时，直线是右上方向的，表示 y 随着 x 的增大而增大；当 k 小于 0 时，直线是右下方向的，表示 y 随着 x 的增大而减小。
正比例函数在实际中有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来表示物体的速度和时间之间的关系；在经济学中，它可以用来表示产量和投入之间的比例关系。
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正比例反比例函数性质
04
正反比例函数在生活中的 应用实例
正比例关系在生活中的应用举例
01 02
速度、时间和距离之间的关系
在匀速直线运动中，速度是恒定的，因此时间和距离成正比。例如，如 果一辆汽车以恒定速度行驶，那么它行驶的时间越长，行驶的距离就越 远。
工资和工作时间的关系
在计时工资制中，工资通常与工作时间成正比。例如，如果一名工人每 小时的工资是固定的，那么他工作的时间越长，获得的工资就越高。
指数函数与对数函数
形如 y = a^x（a > 0, a ≠ 1）和 y = log_a(x)（a > 0, a ≠ 1）的函 数。具有独特的增减性、图像特征以及在实际问题中的应用。
THANKS
求解正比例函数相关数学问题方法技巧
01
确定比例系数
根据题目条件，确定正比例函 数的比例系数k，通常利用已知
的一组对应值来求解。
02
利用图象求解
画出正比例函数的图象，利用 图象的直观性来求解相关问题 ，如求交点、判断函数值大小
等。
03
利用函数性质
利用正比例函数的性质，如增 减性、对称性等，来求解相关
综合运用正反比例关系解决问题
农业生产中的施肥问 题
农业生产中需要合理施肥以保证作物 生长。施肥量与作物产量之间通常存 在正比关系，即施肥量增加，作物产 量也相应增加。然而，过量施肥会导 致土壤污染和作物生长受阻。因此， 需要综合运用正比和反比关系来确定 最佳施肥量。
城市规划中的交通拥 堵问题
城市规划中需要解决交通拥堵问题。 一方面可以通过增加道路容量来提高 交通流量（正比关系），另一方面也 可以通过提高公共交通使用率来减少 私家车出行（反比关系）。综合运用 这两种方法可以有效缓解城市交通拥 堵问题。
人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，正比例函数是学生接触到的第一个具有明显线性特征的函数类型，对于培养他们的数学思维与解决实际问题的能力具有重要意义。本教学案例以人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数为主题，通过设计丰富多样的教学活动，旨在帮助学生理解正比例函数的概念、图像及性质，并能将其应用于解决生活中的实际问题。
在教学正比例函数这一课时，我将通过创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以引入购买商品时的单价与总价关系、速度与时间关系等实例，让学生在具体情境中感知正比例函数的存在。这样既能帮助学生理解正比例函数的定义，又能使他们体会到数学知识在实际生活中的应用。
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，可以引导学生主动探究、积极思考。在教学中，我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如“如何表示两个变量的正比例关系？”“正比例函数的图像有什么特点？”等。通过这些问题，让学生在解答过程中掌握正比例函数的知识点，培养他们分析问题和解决问题的能力。
4.反思与评价的有机结合
本案例注重学生的反思与评价，引导他们在学习过程中及时总结经验教训，调整学习策略。同时，教师采用多元化的评价方式，关注学生的全面发展。这种反思与评价的有机结合，有助于提高学生的学习效率，增强他们的自信心。
5.丰富的教学内容与过程设计
本案例在教学内容与过程设计方面，充分考虑了学生的认知规律和教学目标。从导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳到作业小结，各个环节紧密相连，层层递进。这种设计有助于学生系统、全面地掌握正比例函数的知识，提高他们的数学素养。
3.引导学生运用数形结合的思想，将正比例函数的图像与性质相结合，提高他们解决问题的直观想象和逻辑推理能力。
19.2.1正比例函数的概念(教案)
1.语言表达要更加简洁明了，避免使用复杂的术语和概念，让学生更容易理解。
2.课堂氛围要活跃，鼓励学生积极参与，提高他们的学习热情。
3.注重培养学生的数据分析能力，让他们在实际问题中学会运用正比例函数。
关于小组讨论，我觉得可以适当增加一些具有挑战性的问题，让学生在讨论中深入探讨正比例函数的内涵和实际应用。同时，我要关注每个小组的讨论进度，适时给予引导，帮助他们解决问题。
在总结回顾环节，我发现部分学生对正比例函数的知识点掌握不够扎实。因此，我需要在课后加强个别辅导，关注这部分学生的学习情况，确保他们能够跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正比例函数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如比例系数k的理解，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如测量物体质量和重力之间的关系，演示正比例函数的基本原理。
4.培养学生的逻辑推理核心素养，让学生在学习过程中学会运用严密的数学逻辑进行推理，提高思维品质。
5.培养学生的数据分析核心素养，通过对正比例函数实例的分析，学会收集、整理、分析数据，提高数据解读能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正比例函数的定义：y=kx（k为常数，k≠0），这是本节课的核心内容。教师应重点讲解比例系数k的意义，以及自变量x与因变量y的关系。
(1)如果一辆自行车的速度保持不变，那么它行驶的距离与时间之间的关系可以用正比例函数表示。
(2)当物体的质量与重力的关系遵循正比例函数时，可以通过测量质量来计算重力，反之亦然。
第19章《 课时精讲1 正比例函数的概念》名师优秀教案
第19章第2单元正比例函数课时精讲一正比例函数的概念内容分析正比例函数是继“变量与函数〞单元之后学习的第一种函数，学生已经对变量、常量、函数等根本概念，函数的三种表示方法及函数图象的画法有了根本的认识正比例函数是初中数学中最根底、最简单的函数，这节课不仅要探究正比例函数的概念，还要向学生渗透研究函数的一般流程此外，正比例函数作为一次函数的特殊情况，是学习一次函数的根底，本课时教学过程的设置，符合学生的认知规律也充分表达了知识螺旋上升的特点，因此本节课起到承上启下的作用正比例函数是刻画现实世界变化规律的一个重要模型，表达了从常量数学向变量数学的转变；正比例函数也是代数中的“纽带〞，因为方程、不等式等都与函数知识有直接的联系；同时正比例函数在物理、化学等自然科学中也有着广泛的应用，因此本课时内容在初中数学中有着非常重要的地位学生分析学生在小学已经学习了比例的意义与性质，在这个根底上，学生很容易接受正比例的概念，接着从正比例关系过渡到正比例函数的学习然而，对于初次接触函数的学生而言，理解函数的意义是个难点，因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量，及变量之间的对应关系，使学生对函数的定义有进一步的理解目标确定1理解正比例及正比例函数的意义2能根据正比例的意义判断两个变量之间是否成正比例关系3能识别正比例函数，根据条件求正比例函数解析式或比例系数重点难点重点：理解正比例和正比例函数的意义难点：判定两个变量之间是否存在正比例的关系评价设计“正比例函数的概念〞学习评价量表活动设计环节1 创设情境教师活动1 学生活动1引言：本节课开始，我们开始研究具体函数，初中阶段我们主要研究三类函数，分别是一次函数、二次函数、反比例函数在研究一个具体函数之前，我们先学习一下研究一般函数的流程研究一个函数，首先要研究它的定义，包括解析式中各字母的含义及自变量的取值范围、定义的结构特征、如何求一个函数的解析式；其次研究函数的图象及性质：函数的图象是什么？它分布在哪几个象限？函数图象特征由什么决定？再结合图象特征研究函数的性质，初中阶段主要研究函数的单调性、对称性〔关于轴对称、关于点对称〕及一些图象特学生思考，结合所学，先组内讨论交流，再由小组代表答复以下问题征〔如最值、渐近线、图象开口方向、大小、图象倾斜程度等〕本节课我们按照此流程研究正比例函数，首先请大家看下面这个实例结合生活实际，教师提出四个问题问题1：考虑以下问题：〔1〕乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时〔结果保存小数点后一位〕？〔2〕如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程〔单位：m〕和运行时间t〔单位：h〕之间有什么关系？〔3〕如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程〔单位：m〕是运行时间t〔单位：h〕的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？〔4〕乘京沪高铁列车从北京南站出发后，是否已经过了距始发站1100m的南京南站？活动意图说明从生活实际出发，以列车的行驶问题为背景，用4个小问题，逐步深入，不仅复习了小学时学过的比例关系，也复习了前一单元的函数关系，为进一步引出正比例函数做铺垫问题中的变量在数量关系上具有典型性，且是学生喜闻乐见的，比拟容易理解，通过从数学的角度研究这类问题让学生思考，可以激发学生的探究热情环节2 问题再现教师活动2 学生活动2问题2：以下问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式学生思考：学生根据题目中的数量关系列出表达式，结合之前学的函数的定义，即“对〔1〕圆的周长ι随半径r的变化而变化；〔2〕铁的密度为cm3，铁块的质量m〔单位：g〕随它的体积V〔单位：cm3〕的变化而变化；〔3〕每个练习本的厚度为，一些练习本摞在一起的总厚度h〔单位：cm〕随练习本的数量n〔单位：本〕的变化而变化；〔4〕冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T〔单位：℃〕随冷冻时间t 〔单位：min〕的变化而变化问题探究：借助函数解析式：ι＝2πr，m＝，h＝，T＝－2t，探究以下问题〔1〕以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数〔2〕认真观察自变量和常量是运用什么运算符号连接起来的这些常量可以取哪些值？〔3〕这4个函数表达式与问题1的函数表达式＝ 300t有何共同特征？请你用语言加以归纳〔4〕函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？学生讨论时，教师巡视并进行指导，学生答复完问题之后，教师要及时点评，多用一些鼓励性的语言任一自变量，有唯一确定函数值与之对应〞，判断是否满足函数关系（1）ι＝2πr；〔2〕m＝；〔3〕h＝；〔4〕T＝－2t学生探究：学生列出函数关系式之后，以小组为单位谈论，总结归纳，得出结论结论：〔1〕含有2个变量；〔2〕自变量的次数为1；〔3〕函数的次数为1；〔4〕等号的左边只有一个字母〔变量〕；〔5〕等号的右边是常数与自变量的乘积函数值与对应的自变量的值的比是一个常数活动意图说明环节3 形成概念教师活动3学生活动3教师设计问题串，引发学生思考 ，你能用数学式子表达吗？ 有何要求呢？为什么？3你能尝试给这类特殊函数下个定义吗？ 4这个函数表达式在形式上是一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？＝的自变量的取值范围是什么？这与问题1和问题2中的函数自变量的取值范围有何不同？与工成正比例函数？反之，＝〔为常数，≠0〕表示什么意义？＝中，关键是确定哪个量？比例系数一经确定，正比例函数确定了吗？怎样确定呢？待定系数法求比例系数：设、列、求、写1〔1〕ι＝r ；〔2〕m ＝V ； 〔3〕h ＝n ； 〔4〕T ＝t不能为0，如果为0，对于任意自变量，相应的函数值都是0，它代表的是轴，是常值函数，而不是正比例函数 3正比例函数的定义：一般地，形如＝〔 是常数，≠0〕的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数 4结构特征：等式右边是一次单项式形式，系数是，次数为1的取值范围是全体实数不同之处在于前面问题中自变量的取值范围要符合实际情境6成正比例：正比例函数的函数值与对应的自变量的值的比值是一个非零常数＝中，关键是确定比例系数，通过给定一组满足条件的，的值，代人解析式＝〔为常数，≠0〕中，即可求出比例系数的值活动意图说明1思考栏目给出更多的实际问题，通过这些实际问题使学生逐步加深对函数概念的理解，也为导出正比例函数概念做好铺垫2有效的提问对于提高数学课堂教学效率非常重要，问题探究环节，通过4个问题的设置，引导学生通过观察、分析和归纳，发现正比例函数的特征，理解其解析式的特点从而为水到渠成地得到正比例函数的概念打根底，同时培养学生的观察、总结归纳能力3安排小组合作，一方面加强学生间的互动，活泼课堂气氛，另一方面突破教学重点教师通过设计一系列问题串，引导学生通过观察式子的结构特征，猜测出正比例函数的定义，并且通过追问，深入剖析正比例函数的意义，易于帮助学生突破难点环节4 辨析概念教师活动4 学生活动4的正比例函数吗？如果是，请你指出比例系数的值〔1〕＝－；〔2〕＝22；〔3〕2＝4；〔4〕＝－4＋3；〔5〕＝2〔－2〕＋22分析：判断是否是正比例函数，要根据函数的结构特征，－－次项系数不为0，次数为1注意要根据化简之后的结果判断之间的函数关系，并指出哪些是正比例函数〔1〕正方形的边长为 cm，周长为 cm；〔2〕某人一年内的月平均收入为工元，他这年〔12 个月〕的总收人为元；〔3〕－－个长方体的长为2 cm，宽为 cm，高为cm，体积为 cm33判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞〔1〕假设＝，那么是的正比例函数〔〕〔2〕假设＝22，那么是的正比例函数〔〕〔3〕假设＝2〔－1〕＋2，那么是的正比例函数〔〕〔4〕假设＝2〔－1〕，那么是－1的正比1根据正比例函数的概念，判断第1题，并写出比例系数〔1〕是，比例系数是－；〔5〕是，比例系数是22根据等量关系列式：〔1〕＝4，是正比例函数；〔2〕＝12，是正比例函数；〔3〕＝3，是正比例函数3〔1〕×〔2〕×〔3〕√〔4〕√例函数〔〕分析：第3题中，判断是不是正比例函数时，要强调在化简之后判断，比方〔3〕；而且要关注谁是自变量，即关于谁的函数，注意整体思想的应用，比方〔4〕活动意图说明及时的练习有利于学生稳固新知，反应学习效果，设计的题目由易到难，层层递进，易于学生接受，符合学生的认知水平，第1题，根据正比例函数的结构特征判断，排除不是正比例函数的选项，让学生正确认识怎样的函数是正比例函数，并会写出具体函数的比例系数第2题，通过建模列出式子，并判断是否是正比例函数，加深对正比例函数概念的认识第3题，定义变形，难度加大环节5 稳固练习活动意图说明通过练习，深化学生对正比例函数意义的理解，练习一方面考查学生根据定义求满足条件的参数的值；另一方面考查学生对待定系数法求解析式的应用，并标准解题过程环节6 课堂小结教师活动6 学生活动61教师和学生一起回忆本节课所学主要内容，并请学生答复以下问题你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？2思考：学习了正比例函数的定义后，接下来我们要研究什么？1在教师的引导下，回忆反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法师生共同总结：〔1〕从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积〔2〕从结构特征看：①一般情况下＝〔常数≠0〕；②在特定条件下自变量可能不单独是了，要注意问题中自变量的变化〔3〕从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认是否为正比例函数〔4〕从函数关系看：比例系数一确定，正比例函数就确定了；只需知道两个变量，的一对对应值即可确定（5）从方程角度看：如果三个量，，中其中两个量，那么一定可以求出第三个量2图象、性质、应用等活动意图说明引导学生把握研究问题的根本策略和方法，从不同角度理解同一问题，深入剖析正比例函数的概念，培养学生发散思维，加深学生理解通过思考题，引出研究函数的一般流程：实例一定义一图象一性质一应用，激发学生的学习兴趣和探究热情，为下一－课时研究正比例函数的图象和性质做铺垫板书设计正比例函数的概念1正比例函数定义：2结构特征：3典型例题：4归纳总结：5函数研究一般流程：练习诊断A级1以下函数中哪些是正比例函数？〔1〕；〔2〕〔3〕＝＋1；〔4〕＝2；〔5〕＝〔a2＋1〕〔a为常数〕；〔6〕＝2－〔－3〕2以下问题中，与成正比例函数关系的是〔〕，面积为B某地月租费为10元，通话收费标准为元/min，某月通话时间为min，该月通话费用为元C把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入本，第二个抽屉放入本D长方形的一边长为4，另一边长为，面积为3关于，以下说法正确的选项是〔〕是关于的正比例函数，比例系数为－2是关于的正比例函数，比例系数为－是关于＋3的正比例函数，比例系数为－2是关于＋3的正比例函数，比例系数为－B级1假设为正比例函数，那么m为＋2与－2成正比例，且当＝5时，＝之间的函数关系式＝〔m＋2〕＋|m|－2，当m为何值时，是的正比例函数？的正比例函数，当＝3时，＝－9，那么与之间的函数关系式为的正比例函数，试求的值，并指出正比例系数－2的正比例函数，当＝3时，＝－的函数关系式反思与改良本节课教学的主要任务是：理解正比例函数及正比例的意义；能根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；会识别正比例函数，并能根据条件求正比例函数的解析式或比例系数由于本节课内容概念性强，所以教师借助学生熟悉的行程问题导入正比例函数的概念，学生易于接受教学环节设计，采取“创设情境一观察思考—形成概念一辨析概念一深化应用概念一归纳小结〞这样循序渐进的流程在教学设计时，注重了学生的模拟和尝试，同时重视教师的引导、指导和示范，如在概念形成时进行必要的板书，对关键之处的启发、点拨和讲解，有利于学生对概念的理解。
正比例函数的意义
正比例函数的意义
嘿，咱今天来聊聊正比例函数的意义哈！
就说我之前去买糖果吧，我发现我买的糖果数量越多，花的钱也就越多。
这就很像正比例函数呀！比如说，一颗糖果 5 毛钱，那我买两颗糖果就得花 1 块钱，买三颗就 1 块 5 毛钱，买四颗就 2 块钱，你看，糖果数量增加，花费也跟着正比例增加呢！就好像正比例函数里的两个变量，一个变了，另一个也跟着按一定比例变化。
我每次站在糖果摊前，心里就会默默地算着，买多少颗合适呢，多买几颗就得多掏不少钱呢，但又实在是想吃呀！这就跟正比例函数一样，能让我清楚地看到数量和花费之间的关系。
总之呢，正比例函数就像是我们生活中的这种小事情一样，很实在地体现着两个量之间的那种正比例变化的关系。
嘿嘿，是不是还挺有意思的呀！这就是我对正比例函数意义的理解啦，简单又明了！。