逐步回归法计算的例子和结果
七种回归分析方法个个经典
七种回归分析方法个个经典什么是回归分析？回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。
这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。
回归分析是建模和分析数据的重要工具。
在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。
我会在接下来的部分详细解释这一点。
我们为什么使用回归分析？如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。
下面，让我们举一个简单的例子来理解它：比如说，在当前的经济条件下，你要估计一家公司的销售额增长情况。
现在，你有公司最新的数据，这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。
那么使用回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。
使用回归分析的好处良多。
具体如下：1.它表明自变量和因变量之间的显著关系；2.它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。
回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。
这些有利于帮助市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量，用来构建预测模型。
我们有多少种回归技术？有各种各样的回归技术用于预测。
这些技术主要有三个度量（自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。
我们将在下面的部分详细讨论它们。
对于那些有创意的人，如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合，你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。
但在你开始之前，先了解如下最常用的回归方法：1.Linear Regression线性回归它是最为人熟知的建模技术之一。
线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。
在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。
线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和一个或多个自变量（X）之间建立一种关系。
实用统计学—11.逐步回归分析
从未解释变差 (残差平方和)角度考虑, 图中 ||e||2是中心化 数据 y 对所有自变量 (x2, ·, xk )回归的未解释变差(残差 · · 平方和), ||e*||2是中心化数据 y 对自变量x3, ·, xk (剔除了 · · x2 )回归的未解释变差 (残差平方和).由勾股定理, 得||e*||2 - ||e||2 = ||e(2) ||2. ||e(2) ||2就是未解释变差的增加部分, 也就 是变量 x2 的偏解释变差V2 .
2
( n k )V k / Q
与统计量 Fj = (n-k)Vj / Q 完全相同.
2、逐步回归法
逐步回归法的基本思想： 在考虑 Y 对已知的一群变量( X2, ·,Xk )回归时, 从变量X2, · · ·,Xk中, 逐步选出对已解释变差的贡献 (也就是偏解释变差) · · 最大的变量,进入回归方程. 而对已解释变差的贡献大小的判 别依据, 就是包含了偏解释变差的 F 统计量Fj. 统计量Fj 的 值 fj 最大的 xj , 先进入方程; 最后一个进入方程的自变量 xj , 也应当满足: 统计量的值 fj 的显著性概率 p 小于等于选定的 显著性水平 (即, 要求其系数 j 显著异于 0). 逐步回归法也可以按照反过来的顺序进行. 先把 Y 对所有 的自变量 X2, ·,Xk 回归, 然后逐步把 fj 最小的 xj 剔除出方程. · · 所有剔除出方程的 xj , 在剔除时, 其统计量的值 fj 的显著性概 率 p 大于选定的显著性水平 (即, 要求其系数j 与 0 没有显 著性差异).
从 2 (n-k)分布)相互独立.
ˆ2 若再记: V )Vj / Q 服从F ( 1, n-k) 分布.
把 Fj 的显著性概率 p 与置信度水平 比较, 就可以判断 一个变量 xj 是否应当成为自变量:
逐步回归分析
逐步回归分析的计算举例
序号 1 2 3 4 5 6 X1 40 40 44 42 38 46 X2 89.47 75.07 85.84 68.15 89.02 77.45 X3 11.37 10.07 8.65 8.17 9.22 11.63 X4 62 62 45 40 55 58 X5 178 185 156 166 178 176 X6 182 185 168 172 180 176 Y（ X6） 44.609 45.313 54.297 59.571 49.871 44.811
0.02605
SSR5
(1)
(r5 y (0) )2 r
(0) 55
0.15840
0.05612
SSR
(1) 3
0.73479
SSR6
(1)
( r6 y (0) )2 r66(0)
逐步回归分析的计算举例
仅考虑选入变量 因为： SSR (1) = max [ SSRi (1) ] = = 0.73497，所以：k = 3 k 对X3做偏回归检验，得：
…
30 31 ∑Xi
…
48 52 1478 47.68 5.2114
…
61.24 82.78 2400.78 77.44 8.3286
…
11.50 10.50 327.67 10.57 1.3656
…
52 53 1657 53.45 7.6194
…
170 170 5259 169.65 10.2520
(2)
SSR6
(3)
( r6 y (2) )2 r66(2)
0.0203
因为： SSRk (3) = max [ SSRi (3) ] = 0.0507，所以：k = 5 对X5做偏回归检验，得：
逐步回归法
/s/blog_5cf716580100fx70.html Peg的新浪博客/wangyipeg全国旅游收入逐步回归法1，两两相关系数大（大于0.8），可能存在共线性2，一元回归y =f(x2 )Y = 0.0842187645*X2 - 3461.808064y =f(x6)Y = 2014.14754*X6 - 10897.17824y =f(x4)Y = 640.3503522 + 11.66727894*X4y =f(x5 )Y = 34.33238303*X5 - 2264.896024y =f(x3 ) Y = -2933.704364 + 9.052257503*X3（-6.96） （-13.16）r2=0.96根据拟合优度，选择 y=f(x3)作为基础模型3，二元回归 Y=f( x3, x2 )Y = -3326.392785 + 6.194240644*X3 + 0.029********X2y =f(x3 ,x4)Y = -2587.265298 + 8.017195339*X3 + 1.716431136*X4y =f(x3 ,x5)Y = -3059.972424 + 6.736534987*X3 + 10.90789426*X5y =f(x3 ,x6)Y = -4109.638976 + 7.850632174*X3 + 285.1784245*X6根据拟合优度，选择y=f(x3,x5)作为基础模型4,三元回归Y=f(x3,x5,x2)Y=f(x3,x5,x4)Y=f(x3,x5,x6)根据拟合优度，选择Y=f(x3,x5,x4) 5，四元回归Y=f(x3,x5,x4,x2)Y=f(x3,x5,x4,x6)引入x2后2增加不大，而t 检验不显著引入x6后增加不大，而符号与理论预期不一致 X2,x6是多余的6,五元回归综上，选择y=f(x3,x5,x4)^Y = -2441.161232 + 4.215884279*X3 + 13.62908993*X5 + 3.221965169*X4t= (-8.246086) (3.9444983) (4.692961) (3.067670) =0.991445辅助回归X2 = -15041.20862 + 19.91023901*X3 + 1.955012525*X4 + 227.901497*X5 + 6303.473296*X6 t= (-0.327663) (0.416380) (0.58782) (2.145452) (0.574920)2=0.944047X3 = -523.9246112 + 0.001683176302*X2 + 0.3369226045*X4 - 0.1524828168*X5 + 146.1673659*X6 t= (-1.469783) (0.416380) (1.265584) (-0.112798) (1.804499)2=0.948332X4 = -255.9301184 + 0.0003532385774*X2 + 0.720104621*X3 - 1.005180932*X5 + 14.80977566*X6 t= （-0.417478） （-0.058782） （1.265584） （-0.521609） （0.097416）2=0.772709X5= -83.22604097 + 0.002103221905*X2 - 0.01664583902*X3 - 0.0513********X4 + 13.74750492*X6 t= (-0.61137) (2.145452) (-0.112798) (-0.521609) (0.406289)=0.907617X6 = 3.992614479 + 9.837040904e-006*X2 + 0.00269824789*X3 + 0.0001279129329*X4 + 0.002324719321*X5t = (9.658148) (0.574920) (1.804499) (0.097416) (0.406289)粮食1，两两相关系数X1 和x4之间存在高度相关性2，找出最简单的回归形式2，逐步回归二元回归引入x2拟合度提高三元回归引入X3拟合度提高，参数符号合理四元回归引入X4，拟合度略有提高，参数不合理引入X5，拟合度略有提高，参数未通过t检验X4,X5是多余的最终最优为^Y=-11978.18057 + 5.255935121*X1 + 0.408432175*X2 - 0.1946087795*X3。
逐步回归
自变量选择与逐步回归1：当自变量子集选择x1，x2，x3时，n=18，m=3，p=3，作回归。
看出，R2 =0.981，R2α=0.977，SSE3=5.761，根据AIC=nln（SSE）+2p，可算出AIC=37.52，根据Cp =（n-m-1）（SSEp/SEEm）-n+2p，可算出Cp=2。
回归方程为y=-10.149+0.101x1-0.310x2+0.411x3。
当自变量子集选择x1，x3时，n=18，m=3，p=2，作回归。
得出：R2 =0.978，R2α=0.976，SSE2=6.586，根据AIC=nln（SSE）+2p，可算出AIC=37.93，根据Cp =（n-m-1）（SSEp/SEEm）-n+2p，可算出Cp=2.005。
回归方程为y=-14.049+0.076x1+0.172x3。
当自变量子集选择x1时，n=18，m=3，p=1，作回归。
得出：R2 =0.973，R2α=0.971， SSE1=8.285，根据AIC=nln（SSE）+2p，可算出AIC=40.06，根据Cp =（n-m-1）（SSEp/SEEm）-n+2p，可算出Cp=4.134。
回归方程为y=-0.821+0.110x。
12：前进法：在Model下拉框中选择前进法Forward，点击Options看到默认的显著性水平为0.05，运行得:从输出结果看到，前进法依次引入了x1,x2,x3,x6,x7，最优模型为y=-2393.975+1.490x1+2.718x2+2.209x3+0.078x6+0.037x7。
复决定系数R2 =0.992，调整的复决定系数R2α=0.991，全模型的复决定系数R2 =0.994，调整的复决定系数R2α=0.991。
后退法：在Model下拉框中选择前进法Backward，点击Options看到默认的显著性水平为0.10，运行得:其中模型1是全模型，从模型2到模型4依次剔除变量x4，x8，x9，最优回归子集模型4的回归方程为：y=-2089.883+1.412x1+2.395x2+2.021x3+0.077x6+0.036x7+0.859x5复决定系数R2 =0.993调整的复决定系数R2α=0.992全模型的复决定系数R2 =0.994，调整的复决定系数R2α=0.991。
多元逐步回归结果解读
多元逐步回归结果解读
多元逐步回归分析是一种有效预测变量与非变量之间关系的统计方法，它能够把多个变量汇集起来，并产生可靠的结果。
这种方法被用来分析不同解释变量如何影响被解释变量的变化情况，从而找出各变量之间的联系和影响，以及它们如何影响因变量的变化。
多元逐步回归的结果，主要告诉我们的是，不同的解释变量之间的关系对因变量的变化有
多大的影响，以及每个解释变量背后的因果机制。
例如，假设通过多元逐步回归分析，一组解释变量（例如汽车实际油耗、车速、刹车踏板等）对被解释变量（汽车油耗）的影响，结果显示：汽车实际油耗和车速对油耗有负相关影响，刹车踏板则与油耗无明显相关。
这告诉我们汽车实际油耗和车速可能是影响汽车油耗的重要因素，而刹车踏板可能不是，这
就有助于改善我们的油耗相关计划。
多元逐步回归的结果也可以用来设计新的改善策略、预测未来的变化情况等，因为它可以
解释底层机制，了解变化趋势，并确定关键影响因素。
总而言之，多元逐步回归分析有助于我们更深入地分析不同解释变量之间的关系，从而找出其后果机制，以及它们如何影响因变量的变化，进而有效地制定可靠的改善策略和预测
未来变化趋势。
逐步回归法计算的例子和结果
逐步回归法计算的例子和结果例１某种水泥在凝固时放出的热量(卡/克)与水泥中下列四种化学成分有关:: 的成分(%),: 的成分(%),: 的成分(%),: 的成分(%)。
所测定数据如表１所示, 试建立与、、及的线性回归模型。
表１试验序号172666078.5 2129155274.3 31156820104.3 4113184787.6 575263395.9 61155922109.2 7371176102.7 8131224472.5 9254182293.1 102147426115.9 11140233483.8 121166912113.3 131068812109.4注: 本例子引自中国科学院数学研究室数理统计组编,《回归分析方法》, 科学出版社, 1974年本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):指标名称: 热量单位: 卡/克因素１名称: 3CaO.Al2O3含量单位: %因素２名称: 3CaO.SiO2含量单位: %因素３名称: 4CaO.Al2O3.Fe2O3含量单位: %因素４名称: 2CaO.SiO2含量单位: %------------------- 多元回归分析 -------------------回归分析采用逐步回归法, 显著性水平α＝0.10引入变量的临界值Ｆa＝3.280剔除变量的临界值Ｆe＝3.280拟建立回归方程:ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4)第１步, 引入变量:各项的判别值(升序排列):Ｖx(3)＝ 0.286Ｖx(1)＝ 0.534Ｖx(2)＝ 0.666Ｖx(4)＝ 0.675未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,引入检验值Ｆa(4)＝22.80, 引入临界值Ｆa＝3.280,Ｆa(4)＞Ｆa, 引入第４项, 已引入项数＝１。
逐步回归举例修补版
逐步回归分析的步骤根据逐步回归分析的原理和方法，现介绍其具体步骤。
以表地理数据为例。
地理数据第一步 求初始相关系数矩阵()0R 计算公式如下：由表中地理数据，按照上述公式计算，可求得初始相关系数矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------------------------------=0000.11670.03534.01528.00015.02733.01003.04208.01670.00000.10057.02511.00584.01157.02873.01733.03534.00057.00000.13153.04043.04514.01824.00784.01528.02511.03153.00000.12680.04547.01499.01061.00015.00584.04043.02680.00000.13584.01964.00020.02733.01157.04514.04547.03584.00000.10912.00688.01003.02873.01824.01499.01964.00912.00000.11819.04208.01733.00784.01061.00020.00688.01819.00000.1)0(R 第二步 逐步优选变量该步是指逐步优选变量以建立最优回归方程。
1 选择第一个变量（l =0， l 表示开始时计算方程中所含变量的个数，大小同R (l )中的l ）首先，引入第一个变量以建立一元回归模型：1,,3,2,1ˆ)1(-==k j z d zj j k1）确定F 1=F 2=5（本例最好为2.5），即引进与剔除变量的F 检验值。
2）引进变量的原则与方法 如何确定先引入哪一个变量呢？（1）选择原则引入原则为偏回归平方和最大者，也称为方差贡献最大者。
由前述可知，回归平方和越大，回归方程的效果就越好。
（2）选择方法如何选择偏回归平方和最大者呢？方法有两钟，即：一般方法和直接方法。
逐步回归分析案例
逐步回归分析案例：逐步回归分析在自变量很多时，其中有的因素可能对应变量的影响不是很大，而且x之间可能不完全相互独立的，可能有种种互作关系。
在这种情况下可用逐步回归分析，进行x因子的筛选，这样建立的多元回归模型预测效果会更较好。
逐步回归分析，首先要建立因变量y与自变量x之间的总回归方程，再对总的方程及每—个自变量进行假设检验。
当总的方程不显著时，表明该多元回归方程线性关系不成立；而当某—个自变量对y影响不显著时，应该把它剔除，重新建立不包含该因子的多元回归方程。
筛选出有显著影响的因子作为自变量，并建立“最优”回归方程。
回归方程包含的自变量越多，回归平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也随之较小，预测值的误差也愈小，模拟的效果愈好。
但是方程中的变量过多，预报工作量就会越大，其中有些相关性不显著的预报因子会影响预测的效果。
因此在多元回归模型中，选择适宜的变量数目尤为重要。
逐步回归在病虫预报中的应用实例:以陕西省某地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例（数据见DATA6.xls），建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。
影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个，通过逐步回归，从中选出对病情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。
对1984~1995年的病情指数进行回检，然后对1996~1998年的病情进行预报，再检验预报的效果。
变量说明如下：y：历年病情指数x1：前年冬季油菜越冬时的蚜量(头/株)x2：前年冬季极端气温x3：5月份最高气温x4：5月份最低气温x5：3~5月份降水量x6：4~6月份降水量x7：3~5月份均温x8：4~6月份均温x9：4月份降水量x10：4月份均温x11：5月份均温x12：5月份降水量x13：6月份均温x14：6月份降水量x15：第一次蚜迁高峰期百株烟草有翅蚜量x16：5月份油菜百株蚜量x17：7月份降水量x18：8月份降水量x19：7月份均温x20：8月份均温x21：元月均温1）准备分析数据在SPSS数据编辑窗口中，用“File→Open→Data”命令，打开“DATA6.xls”数据文件。
3.3 逐步回归
方法2：逐步引入法—只进不出
3.3.1最优回归方程的选择
•思想：所有可能自变量集合{X1,
X2,…,XM},从一个变量开始 ，按重要性把变量逐个引入回归方程 .
计算M个变量Xi与Y的相关系数，将绝对值最大的变量Xi1引入 方程，并对{Y,Xi1}回归模型进行显著性检验,若显著则引入; 找出余下M-1个自变量中与Y偏相关系数最大变量Xi2引入方程 ,检验{Y,Xi1,Xi2}回归显著性,显著则引入,否则停止,不引入; 剩下的M-2个变量中选择与Y偏相关系数最大变量Xi3 ,检验 {Y,Xi1,Xi2,Xi3}显著性，...,直至得到“最优”回归方程为止 .
3.3 逐步回归分析
Y f ( X1 , X 2 ,, X p )
因变量 确定函数关系 自变量，回归变量
随机误差项
Y 0 1 X1 2 X 2 p X p
0 , 1 , p ----待定常数，回归系数
3.3 逐步回归
1 最优回归方程选择 逐步回归Matlab方法
程序执行后得到下列逐步回归的窗口(如图3.23所示)：
图3.23 逐步回归窗口
图中蓝色行显示变量x1、x2、x3、x4均保留在模型中,窗口 右侧按钮上方提示:将变量x3剔除回归方程(Move x3 out).
1.点击Next Step进行下一步运算,将第3列数据对应变量x3剔除回 归方程;点击Next Step,剔除的变量x3对应行用红色表示,同时又得 到提示:将变量x4剔除回归方程(Move x4 out)；
~ ~ ~ 剔除X k 后模型 Y 0 1 X1 2 X 2 l X l (*) 变为集A,SSE(A)
绝对贡献
SSR( X k | A) SSE( A) SSE( A, X k ) - -剔除后残差增加量
积分（逐步）回归
25.11 积分（逐步）回归在农业等生物学科研究中常常遇到这样的情况：一些因素在作物整个生长期间对作物都有影响，而这些因素本身又常随时间变化而变化。
例如气象因素中的气温、雨量、雨日、相对湿度、日照时数等。
这些气象因素在农作物整个生育期间都有影响，但它们本身也是逐日变化的。
要研究因子本身在不断变化情形下对目标变量的影响，可以采用由Fisher 提出的积分回归(Integral regression)方法，其形式为：001()()d pi j ij i j y t x t t τααε==++∑⎰ (i =1,2,…,N ; j :=1,2,…,p )模型中的两个下标，i 和j ，这和一般线性回归方程一样，分别代表样本和（自变量）因子，这里有N 个样本，p 个自变量。
τ表示全生育期，t 表示生育期中的时间变量。
这里的自变量x ij (t )同时又是时间的函数。
αj (t )为积分回归系数，同时也是时间的函数，为区别一般回归系数，一般称它为影响系数。
上述积分回归模型可以这样来理解：因变量y 受到第j 个随时间而变化的因子影响，相应它们对因变量的影响又是随时间而变化的。
每个因子对因变量的影响是每个时刻的微效应在全生育期的定积分，而所有因子的总效应又等于每个因子的效应总和。
积分回归的计算，需进行适当转换，将积分转变为积加，将连续的时间变量变为等间距的离散变量。
实现方法是将影响系数αj (t )表示为时间t 的正交多项式，亦即：()()1,2,j jk k k t t k ααψ===∑式中ψk (t )为k 次正交多项式，k 可取任意次。
αjk 是常数，是第j 个因子的k 次多项式的系数，将αj (t )表达式代入上面的积分回归模型，有：0010001()()d ()()d pi jk k ij ij k pjk k ij ij ky t x t t t x t t ττααψεααψε===⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=++∑∑⎰∑∑⎰若令()()d ijk k ij t x t t τρψ=⎰在积分回归模型可表示为：010pi jk ijk i j k y ααρε===++∑∑这就成了一般的多元线性回归方程。
逐步回归分析
小，预测值 的误差也愈小，模拟的效果愈好。但是方程中的变量过多，预报工作量就会越
m 大，其中有些相关性不显著的预报因子会影响预测的效果。因此在多元回归模型中，选择适
o 宜的变量数目尤为重要。
c 逐步回归在病虫预报中的应用实例：
. 以陕西省长武地区 1984～1995 年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例（数
j 据见 DATA6．xls），建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。
0t 影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有 21 个，通过逐步回归，从中选出对病
0 情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。对 1984～1995 年的病情指数进行回检，然
0 后对 1996～1998 年的病情进行预报，再检验预报的效果。
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表 6-10 是逐步回归每一步进入或剔除回归模型中的变量情况。 网 表 6-11 是逐步回归每一步的回归模型的统计量：R 是相关系数；R Square 相关系数的
图 3-7“Save”对话框
①“Predicted Values”预测值栏选项：
Unstandardized 非标准化预测值。就会在当前数据文件中新添加一个以字符“PRE_”
开头命名的变量，存放根据回
归模型拟合的预测值。
Standardized 标准化预测值。
Adjusted 调整后预测值。
S．E．of mean predictions 预测值的标准误。
网 习 学 计 统 华 中 图 3-4
“Stepping Method Criteria”框里的设置用于逐步回归分析的选择标准。 其中“Use probability of F”选项，提供设置显著性 F 检验的概率。如果一个变量的 F 检 验概率小于或等于进入“Entry”栏里设置的值，那么这个变量将被选入回归方程中；当回归 方程中变量的 F 值检验概率大于剔除“Removal”栏里设置的值，则该变量将从回归方程中被 剔除。由此可见，设置 F 检验概率时，应使进入值小于剔除值。 “Ues F value”选项，提供设置显著性 F 检验的分布值。如果一个变量的 F 值大于所设置 的进入值（Entry），那么这个变量将被选入回归方程中；当回归方程中变量的 F 值小于设置 的剔除值（Removal），则该变量将从回归方程中被剔除。同时，设置 F 分布值时，应该使 进入值大于剔除值。
多元回归与逐步回归 例题
y= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 =
（2）四元线性回归方程的回归平方和
U = b1l1 y + b2l2 y + b3l3 y + b4l4 y =
残差平方和 Q = l yy − U = 由表 3-2 得
−1 = C L = xx
系数 b j 的标准差为
= Sb j = Sb1 = Sb2 = Sb3 = Sb4
2 199.50
3 215.70
4 224.60
5 230.20
2 3 4 5 6 7 8 9 10
18.51 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96
19.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10
19.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.86 3.71
ˆ0 。 4）求当 = x01 12, = x02 30, = x03 8, = x04 20 时的 y
表 1-1 原始数据 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 均值
y
78.5 74.3 104.2 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4 95.4154
y= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 =
（2）四元线性回归方程的回归平方和
U = b1l1 y + b2l2 y + b3l3 y + b4l4 y =
多元回归及逐步回归分析
程。设引入变量为x1。 此时，由于引入新变量，方程中原有变量xj的p值发生改变
2、衡量回归方程的标准
1、剩余标准差
建立多元回归方程，其精确性由剩余标准 差来表达。
S = Y.1,2…,L Q /(N − L −1)
2、决定系数
3、校正复相关系数：与用剩余标准差筛选
Ra2d出j =的1方−程n常−n是−p1一−1致(1的−。R2
)
=
1
−
MSr MST
4、AIC--反应了回归方程的拟和精度，其 值越小越好
参数检验βi=0均无统计意义。
/ 回归系数估计值与专业背景不符 / 由专业知识可知某因素与因变量有明显的相
关关系，但作回归时的回归系数检验结果 P>α。
/在模型中增加一个变量或减少一个变量，引
起回归系数估计值有较大的变化。
应检查数据是否正确 样本的代表性 检查变量定义等问题 强影响点 要考虑自变量之间是否高度的线性相 关性或某个自变量可用其他自变量线 性表示。即：多重共线性问题
义。
H0：βj=0, H1：βj≠0,
x
的偏回归平方和
j
:
SSR(x j | x1, x j−1, x j+1 xp )
= SSR(x1, , xp ) − SSR(x1, x j−1, x j+1 xp )
Fj
=
SSR(x j | x1, SSE ( x1 ,
逐步回归分析法及其应用
逐步回归分析法及其应用逐步回归分析法是一种广泛应用于统计学和数据分析领域的统计技术，它被用来探索变量之间的关系，以及预测和解释数据的模式。
逐步回归分析法通过逐步添加变量和移除变量，找到最优的变量组合来解释因变量，同时使模型的复杂性最小化。
本文将介绍逐步回归分析法的基本原理、应用场景、案例分析以及需要注意的事项。
逐步回归分析法的基本原理逐步回归分析法基于最小二乘回归，通过向前逐步添加变量和向后逐步移除变量来建立最优的回归模型。
它通过构造一个评价函数，如AIC (Akaike Information Criterion)或BIC (Bayesian Information Criterion)，来评估模型的复杂度和拟合度。
逐步回归分析法的目标是找到一个既能解释因变量又能使模型复杂性最小的最优模型。
应用场景逐步回归分析法适用于多种数据分析和统计学应用场景，例如：因果分析：通过逐步回归分析法，可以找出哪些自变量对因变量有显著影响，以及它们的影响程度。
特征选择：在处理高维数据时，逐步回归分析法可以用来选择最重要的特征，以便构建更有效的模型。
时间序列预测：通过逐步回归分析法，可以建立时间序列预测模型，预测未来的趋势和变化。
案例分析以一个实际的例子来说明逐步回归分析法的应用。
假设我们有一个数据集包含了汽车的各项性能指标（如马力、油耗、车重等）和汽车的销售价格。
我们想知道哪些性能指标最能影响汽车的销售价格。
我们使用逐步回归分析法建立一个价格预测模型。
通过向前逐步添加变量和向后逐步移除变量，我们最终找到了一个最优模型，该模型仅包含两个变量：马力（Horsepower）和车重（Weight）。
这个模型告诉我们，汽车的马力越大、车重越轻，销售价格就越高。
接下来，我们使用残差和斜率进一步分析这个模型。
残差是实际值与模型预测值之间的差异，斜率是因变量对自变量的变化率。
通过观察残差和斜率，我们可以得出以下马力对价格的影响比车重更大，因为马力的斜率大于车重的斜率。
逐步回归
我们用stprgrs.sav 这个数据文件为例作逐步回归,
我们的模型是 y=f(x1,x2,x3)。
选择逐步回归
回归平方和在增加
t t
c
i
f
a
b
c
i
ห้องสมุดไป่ตู้
a c
n d e f d f i a c s e t i g t 1 ( 4 8 7 0 0 0 4 6 0 ( 72 3 9 0
1 1 1 1 0 7 6 5 6 1 a
显然x2的t检验太小,不能进入方程
c
i
t
y i s r r t i l
a
a
b
c
逐步回归法
逐步回归是一种筛选回归变量的方法，是按照回归平方和的增减来衡量变量的筛 选。 SSR+SSE=SST (回归平方和+误差平方和=总平方和) SS ： Squared Sum R：Regression E：Error T：Total
假如有变量 x1，x2，……，xm其中第j个变量（j=1，2，……m），使得SSR增加 最多，就纳入方程，反之，这个变量使得SSR增加最少，即使它曾被纳入方程中， 也要被排除在方程之外。数理统计中，我们把这种对回归平方和的增大功能叫 “贡献”。换句话说，我们依据个变量对方程的贡献决定其取舍。
(整理)逐步回归分析计算法
前面我们介绍了通过回归的基本思想是将变量逐一引入回归方程，先建立与y相关最密切的一元线性回归方程，然后再找出第二个变量，建立二元线性回归方程，…。
在每一步中都要对引入变量的显著性作检验，仅当其显著时才引入，而每引入一个新变量后，对前面已引进的变量又要逐一检验，一旦发现某变量变得不显著了，就要将它剔除。
这些步骤反复进行，直到引入的变量都是显著的而没有引入的变量都是不显著的时，就结束挑选变量的工作，利用所选变量建立多元线性回归方程。
为实现上述思想，我们必须在解方程组的同时，求出其系数矩阵的逆矩阵。
为节约内存，计算过程中在消去x k时用了如下变换公式——求解求逆紧凑变换。
一、求解求逆紧凑变换求解求逆紧凑变换记作L k，其基本变换关系式为：(2-3-30) 当对(2-3-27)的增广矩阵(2-3-31)依次作L1，L2，…，L m-1变换后，所得矩阵的前m-1列，便是系数矩阵的逆矩阵，最后一列便是(2-3-27)的解，即求解求逆紧凑变换具有以下性质：(1) 若对作了L k1, L k2，…，L k L变换，则得如下子方程组(2-3-32)的解及相应的系数矩阵的逆矩阵，其中k1,k2,…,k l互不相同，若记L k1L k2…L k l，则(2-3-33),j=1,2,…,l(2) L i L j=L j L i，即求解求逆紧凑变换结果与变换顺序无关。
(3) L k L k=(4) 若，ij=1,2,…,m-1,记L k1L k2…L k l则中的元素具有以下性质：式中上行为对作了变换L i，L j或两个变换均未作过；下行为对作过变换L i和L j之一。
二、逐步回归的计算过程逐步回归计算过程就是反复对增广矩阵作L k变换，并利用变换性质将选变量与作检验等步骤结合起来。
为了检验方便，对再增加一行，使其变成对称方阵，并记作R(0),即(2-3-34)选变量具体步骤如下：1．选第一个变量选第一个变量就是从m-1个一元线性回归方程(i=1,2,…,m-1) (2-3-35)中找一个回归平方和最大的方程。
spss多重线性回归逐步回归法操作和结果解释方法
spss多重线性回归逐步回归法操作和结果解释方法∙∙|∙浏览：16524∙|∙更新：2012-11-24 22:30∙1∙2∙3∙4∙5∙6∙7分步阅读一键约师傅百度师傅最快的到家服务，最优质的电脑清灰！spss经常用到的一个回归方法是stepwise，也就是逐步回归，它指的是每次只纳入或者移除一个变量进入模型，这个方法虽然好用，但是最后可能出现几个模型都比较合适，你就要比较这几个模型的优劣，这是个麻烦事，这里就给大家简单的分析分析。
方法/步骤1.打开spss以后，打开数据，这些都准备好了以后，我们开始拟合方程，在菜单栏上执行：analyze---regression---linear，打开回归拟合对话框2.在这里，我们将因变量放大dependent栏，将自变量都放到independent栏3.将method设置为stepwise，这就是逐步回归法4.点击ok按钮，开始输出拟合结果5.我们看到的第一个表格是变量进入和移除的情况，因为这个模型拟合的比较好，所以我们看变量只有进入没有移除，但大部分的时候变量是有进有出的，在移除的变量这一栏也应该有变量的6.第二个表格是模型的概况，我们看到下图中标出来的四个参数，分别是负相关系数、决定系数、校正决定系数、随机误差的估计值，这些值（除了随机误差的估计值）都是越大表明模型的效果越好，根据比较，第四个模型应该是最好的7.方差分析表，四个模型都给出了方差分析的结果，这个表格可以检验是否所有偏回归系数全为0，sig值小于0.05可以证明模型的偏回归系数至少有一个不为零8.参数的检验，这个表格给出了对偏回归系数和标准偏回归系数的检验，偏回归系数用于不同模型的比较，标准偏回归系数用于同一个模型的不同系数的检验，其值越大表明对因变量的影响越大。
END经验内容仅供参考，如果您需解决具体问题(尤其法律、医学等领域)，建议您详细咨询相关领域专业人士。
作者声明：本篇经验系本人依照真实经历原创，未经许可，谢绝转载。
预测与决策--6.逐步回归分析汇总
• 通货膨胀 • 利率因素
▪ 其他影响因素
商品住宅价格影响分析
❖ 商品住宅价格影响因素 ▪ 需求 ▪ 生产成本 ▪ 交叉影响的因素 ▪ 其他影响因素
• 交易税 • 本体因素和环境因素 • 价格合谋 • 户型结构差异 • 汇率
构建模型
❖ 理论假设 ▪ 第一，商品住宅价格最终由供给和需求决定，其他因素 通过影响供给和需求，间接影响商品住宅价格。即 P=f(S，D)
构建模型
❖ 选取变量 ▪ 选取GDP、人均可支配收入、城市总人口数 量、城市住宅拆迁面积、通货膨胀、利率、 土地价格共7个因子来研究其对商品住宅价格 的影响
▪ 理由
• 易于量化 • 从宏观上把握，选取权重相对较大的因子 • 三是考虑到共线性的影响，两个或多个因子在影
响商品住宅价格过程中，本身又存在内在的相互 影响，因此只保留对商品住宅价格影响最直接、 权重相对较大、最易于量化的因子。
计算步骤
❖ 求出均值 变量 x1
x2
x3
x4
y
均值 7.538 48.154 11.769 30.000 95.423
❖ 计算矩阵L’
l11 l12 l1m l1y
l21
l22
l2m
l2
y
L
lm1
lm2
l mm
lmy
l y1 l y2 l ym l yy m1m1
403.231 233.923 -362.385 -276
分析结果——变量相关性排序
1 涉案年龄 2 家人直接参与腐败 3 职务级别 4 明显婚外情 5 子女的职业描述 6 罪名 7 刑罚 8 专业归属 9 与上、下、同级工作关系 10 公众印象 11 任职前后有明显心理失衡
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逐步回归法计算的例子和结果例１某种水泥在凝固时放出的热量(卡/克)与水泥中下列四种化学成分有关:: 的成分(%),: 的成分(%),: 的成分(%),: 的成分(%)。
所测定数据如表１所示, 试建立与、、及的线性回归模型。
表１试验序号172666078.5 2129155274.3 31156820104.3 4113184787.6 575263395.9 61155922109.2 7371176102.7 8131224472.5 9254182293.1 102147426115.9 11140233483.8 121166912113.3 131068812109.4注: 本例子引自中国科学院数学研究室数理统计组编,《回归分析方法》, 科学出版社, 1974年本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):指标名称: 热量单位: 卡/克因素１名称: 3CaO.Al2O3含量单位: %因素２名称: 3CaO.SiO2含量单位: %因素３名称: 4CaO.Al2O3.Fe2O3含量单位: %因素４名称: 2CaO.SiO2含量单位: %------------------- 多元回归分析 -------------------回归分析采用逐步回归法, 显著性水平α＝0.10引入变量的临界值Ｆa＝3.280剔除变量的临界值Ｆe＝3.280拟建立回归方程:ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4)第１步, 引入变量:各项的判别值(升序排列):Ｖx(3)＝ 0.286Ｖx(1)＝ 0.534Ｖx(2)＝ 0.666Ｖx(4)＝ 0.675未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,引入检验值Ｆa(4)＝22.80, 引入临界值Ｆa＝3.280,Ｆa(4)＞Ｆa, 引入第４项, 已引入项数＝１。
第２步, 引入变量:各项的判别值(升序排列):Ｖx(4)＝-0.675Ｖx(2)＝ 5.52e-3Ｖx(3)＝ 0.261Ｖx(1)＝ 0.298未引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,引入检验值Ｆa(1)＝108.2, 引入临界值Ｆa＝3.280,Ｆa(1)＞Ｆa, 引入第１项, 已引入项数＝２。
第３步, 引入变量:各项的判别值(升序排列):Ｖx(4)＝-0.439Ｖx(1)＝-0.298Ｖx(3)＝ 8.81e-3Ｖx(2)＝ 9.86e-3未引入项中, 第２项[Ｘ(2)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,引入检验值Ｆa(2)＝5.026, 引入临界值Ｆa＝3.280,Ｆa(2)＞Ｆa, 引入第２项, 已引入项数＝３。
第４步, 剔除或引入变量:各项的判别值(升序排列):Ｖx(1)＝-0.302Ｖx(2)＝-9.86e-3Ｖx(4)＝-3.66e-3Ｖx(3)＝ 4.02e-5已引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,未引入项中, 第３项[Ｘ(3)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,剔除检验值Ｆe(4)＝1.863, 剔除临界值Ｆe＝3.280,Ｆe(4)≤Ｆe, 剔除第４项, 已引入项数＝２。
第５步, 剔除或引入变量:各项的判别值(升序排列):Ｖx(2)＝-0.445Ｖx(1)＝-0.312Ｖx(3)＝ 3.61e-3Ｖx(4)＝ 3.66e-3已引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,剔除检验值Ｆe(1)＝146.5, 剔除临界值Ｆe＝3.280,Ｆe(1)＞Ｆe, 不能剔除第１项。
引入检验值Ｆa(4)＝1.863, 引入临界值Ｆa＝3.280,Ｆa(4)≤Ｆa, 不能引入第４项, 已引入项数＝２。
变量筛选结果:检验项数＝４, 预期引入项数＝３, 实际引入项数＝２, 实际引入项数≠预期引入项数回归方程:ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2)回归系数 b(i):b(0)＝ 52.6b(1)＝ 1.47b(2)＝ 0.662标准回归系数 B(i):B(1)＝ 0.574B(2)＝ 0.685复相关系数Ｒ＝0.9893决定系数Ｒ^2＝0.9787修正的决定系数Ｒ^2a＝0.9767变量分析:变量分析表样本容量Ｎ＝13, 显著性水平α＝0.10, 检验值Ｆt＝229.5, 临界值Ｆ(0.10,2,10)＝2.924 剩余标准差ｓ＝2.41回归系数检验值:ｔ检验值(df＝10):ｔ(1)＝ 12.10ｔ(2)＝ 14.44Ｆ检验值(df1＝1, df2＝10):Ｆ(1)＝ 146.5Ｆ(2)＝ 208.6偏回归平方和 U(i):U(1)＝848U(2)＝1.21e+3偏相关系数ρ(i):ρ1,2＝ 0.9675ρ2,1＝ 0.9769各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):U(2)＝1.21e+3, U(2)/U＝45.4%U(1)＝848, U(1)/U＝31.9%残差分析:残差分析表------------------ 回归分析结束 ------------------逐步回归法计算得到的优化的回归方程为, 在显著性水平为α＝0.10上显著。
双重筛选逐步回归法计算的例子和结果例１为了分析某地区自然经济条件对森林覆盖面积消长的影响而抽取12个村作为样本, 共测了12个因子,各因子数据列于表１。
表１序号174.391.0 5.76 1.31086617.451.29.515.3912.61 270.4157.08.04 2.21266817.252.524.210.848.40 378.777.07.94 2.01146317.062.922.813.579.80 478.967.0 6.86 1.51105517.064.325.134.5714.03 549.191.0 4.92 1.5924916.539.310.77.41 5.62 657.6219.0 5.56 2.5914816.837.337.39.12 2.80 753.1221.07.42 3.9904516.830.027.08.64 2.84 870.1123.0 5.38 3.11235917.047.834.681.6411.25 986.645.012.54 1.21055714.869.037.323.9511.20 1082.281.013.24 1.61316115.962.316.533.6016.80 1176.890.010.70 1.51316915.867.622.28.939.80 1288.983.0 1.98 1.81076514.579.342.158.97 3.50其中:: 山地比例(%);: 人口密度(人/);: 人均收入增长率(元/年);: 公路密度(100m/ha);: 前汛期降水量(cm/年);: 后汛期降水量(cm/年);: 月平均最低温度(℃);: 森林覆盖率(%);: 针叶林比例(%);: 造林面积(千亩/年);: 年采伐面积(千亩/年);: 火灾频数(次/年)。
注: 本例子引自裴鑫德编著,《多元统计分析及其应用》, 北京农业大学出版社, 1990年本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):指标１名称: 森林覆盖率单位: %指标２名称: 针叶林比例单位: %指标３名称: 造林面积单位: 万亩/年指标４名称: 年采伐面积单位: 千亩/年指标５名称: 火灾频数单位: 次/年因素１名称: 山地比例单位: %因素２名称: 人口密度单位: 人/平方公里因素３名称: 人均收入增长率单位: 元/年因素４名称: 公路密度单位: 100米/公顷因素５名称: 前汛期降水量单位: 厘米/年因素６名称: 后汛期降水量单位: 厘米/年因素７名称: 月平均最低温度单位: ℃回归分析采用双重筛选逐步回归法, 显著性水平α＝0.05自变量引入、剔除的临界值Ｆx＝2.000因变量引入、剔除的临界值Ｆy＝2.500对指标1～5拟建立回归方程分别为:ｙ1 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)ｙ2 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)ｙ3 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)ｙ4 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)ｙ5 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)----- 计算第１组回归方程 -----第１步, 引入方程项: ｙ1已引入因变量ｙ的序号: １已引入自变量Ｘ的序号:第２步, 自变量Ｘ引入或剔除判别:各项的判别值(升序排列):Ｖx(3)＝ 4.541e-2Ｖx(5)＝ 0.2868Ｖx(7)＝ 0.4082Ｖx(4)＝ 0.4104Ｖx(6)＝ 0.4731Ｖx(2)＝ 0.5998Ｖx(1)＝ 0.8810未引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,引入检验值Ｆax(1)＝74.00, 引入临界值Ｆx＝2.000,Ｆax(1)＞Ｆx, 可以引入第１项。
第３步, 引入方程项: Ｘ(1)已引入因变量ｙ的序号: １已引入自变量Ｘ的序号: １第４步, 自变量Ｘ引入或剔除判别:各项的判别值(升序排列):Ｖx(1)＝-7.400Ｖx(5)＝ 1.359e-3Ｖx(6)＝ 2.254e-2Ｖx(3)＝ 4.720e-2Ｖx(2)＝ 0.2260Ｖx(7)＝ 0.2306Ｖx(4)＝ 0.2372已引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,剔除检验值Ｆex(1)＝74.00, 剔除临界值Ｆx＝2.000,Ｆex(1)＞Ｆx, 不能剔除第１项, 检查是否可以引入其他自变量。
未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,引入检验值Ｆax(4)＝2.798, 引入临界值Ｆx＝2.000,Ｆax(4)＞Ｆx, 可以引入第４项。