幂函数

幂函数

1．幂函数的概念

一般地，函数______叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像与性质

由幂函数y ＝x 、y ＝12

x 、y ＝x 2、y ＝x －

1、y ＝x 3的图像，可归纳出幂函数的如下性质：

(1)幂函数在________上都有定义； (2)幂函数的图像都过点__________；

(3)当α>0时，幂函数的图像都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________； (4)当α<0时，幂函数的图像都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________．

3．五种幂函数的比较 (1)幂函数的图像比较 (2)幂函数的性质比较

[难点正本 疑点清源]

1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．

2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．

1．(课本改编题)当α∈⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图像不可能经过第________象限．

2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，2

2，则k ＋α＝________.

3．(课本改编题)下列函数是幂函数的序号是________．

①y ＝2x ②y ＝2x －

1 ③y ＝(x ＋2)2④y ＝3x

2 ⑤y ＝1x

4．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点⎝

⎛⎭⎫2，2

2，则f (4)的值等于

( )

A ．16 B.116 C ．2 D.1

2

题型一 幂函数的定义及应用

例1 已知y ＝(m 2

＋2m －2)·2

1

1

m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．

已知f (x )＝(m 2＋2m )2

1m m x ＋－，m 为何值时，f (x )是：

(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

题型二 幂函数的图像及性质的简单应用

例2 已知幂函数f (x )的图像过点(2，2)，幂函数g (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫2，1

4. (1)求f (x )，g (x )的解析式；

(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )

已知幂函数y ＝2

43m m x

－－(m ∈Z )的图像与y 轴有公共点，且其图像关于y 轴对称，求m 的值，并

作出其图像．

题型三 利用幂函数的性质比较幂值的大小 例3 比较下列各组数的大小：

(1)13(0.95)和13(0.96)；(2)1-3

-8和13

19⎛⎫- ⎪⎝⎭

； (3)0.20.5和0.40.3.

比较下列各组数的大小：

(1)30.8,30.7

；(2)0.213,0.233

；(3)12

2，131.8； (4)25

，2-

33.8和35

(1.9).

题型四 幂函数的综合应用 例4 已知幂函数f (x )＝223

m m x －－(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－

m

3

<-3(32)m

a 的a 的取值范围．

已知幂函数f (x )＝21

()m m x －＋(m ∈N *)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．

试题：(12分)若函数f (x )＝3-24

(+42)mx x m ++＋(x 2－mx ＋1)0的定义域为R ，求实数m 的取值范围．

课后作业

1．幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫4，1

2，那么f (8)的值为 ( )

A ．2 6

B ．64 C.

2

4

D.164

2．如图是函数y ＝m

n

x (m ，n ∈N *，m 、n 互质)的图像，则

( )

A ．m ，n 是奇数，且m

n <1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m

n

>1

C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1

D ．m 是奇数，n 是偶数，且m

n >1

3．(2011·陕西)函数y ＝1

3

x 的图像是

( )

4．设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝25

2()5

，则a ，b ，c 的大小关系是

( )

A ．a >c >b

B ．a >b >c

C ．c >a >b

D ．b >c >a

5．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)2

7325

t t x +-(t ∈N )是偶函数，则实数t 的值为

( )

A ．0

B ．－1或1

C ．1

D ．0或1

6．若函数f (x )＝⎩

⎨⎧

1

x ， x <0⎝⎛⎭

⎫13x ， x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤1

3

的解集为

( )

A ．[－1,2)∪[3，＋∞)

B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞

D ．(1，3]∪[3，＋∞)

二、填空题

7．若幂函数y ＝(m 2

－3m ＋3)·22

m m x

－－的图像不经过原点，则实数m 的值为________．

8．已知a ＝x α

，b ＝2

a

x ，c ＝1a

x ，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小顺序是________．