高三数学三角函数课件
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高考数学复习考点知识讲解课件22 三角函数的图象与性质
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[解析] 由 2x＋π6≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k2π(k∈Z)，故函数 f (x)的定义域为 x|x≠π6＋k2π，k∈Z.故选 D．
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2．(2022·东北师大附中月考)函数 f (x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( B )
(2)∵f (x)为偶函数， ∴－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得 φ＝56π＋kπ，k∈Z. 又 φ∈(0，π)，∴φ＝56π. ∴f (x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x. 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f (x)图象的对称中心为π4＋k2π，0，k∈Z.
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(1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f (x)的对 称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x 即可；如果求 f (x)的对 称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπk∈Z，求 x 即可．
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(新教材) 高三总复习•数学
3．函数 f (x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为( C ) A．0，56π B．0，23π C．56π，π D．23π，π
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[解析] 由 2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得 2kπ－76π≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0， π]，∴56π≤x≤π，∴函数 f (x)在[0，π]的单调递增区间为56π，π，故选 C．
高三数学专题复习课件专题5 三角函数
[法一] 由sinA(sin B cos B ) sin C 0,
得 : sin A sin B sin A cos B sin( A B ) 0, sin A sin B sin A cos B sin A cos B cos A sin B 0. 即 sin B(sin A cos A) 0.
sin( A C ) sin B
2
sin B sin B
2
7.
cos A sin A
cos C sin C
sin C cos A cos C sin A sin A sin C 1 sin B 4 7 3 2
2
sin( A C ) sin B
2
sin B sin B 3 2
B. sinx D. cosx
( 5) 已知( x cos 1) 的展开式
5
中x 的系数与 x (
2 3
5 4
) 的展开式中
4
x 的系数相等, 则 cos _________ .
( 5) 已知( x cos 1) 的展开式
5
中x 的系数与 x (
2
5 4
) 的展开式中
三角函数综合
第一课时：
三角变换
第一课时：
三角变换
[课前导引]
第一课时：
三角变换
[课前导引]
1. 设 则 cos cos
3 (
, tan tan 3, )
A.
1 6
B.
3 6
C.
3 3 2
D.
3 2
高三数学总复习三角函数的图象与性质PPT课件
提示：函数 y＝A sin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时是奇函 数，当 φ＝kπ＋2π(k∈Z)时是偶函数；函数 y＝A cos(ωx＋φ)， 当 φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当 φ＝kπ＋2π(k∈Z)时是奇函数．
1．函数 y＝tan 3x 的定义域为( ) A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z B.xx≠π6＋kπ，k∈Z C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：选 D 由 3x≠π2＋kπ，得 x≠π6＋k3π，k∈Z.
2．(2014·陕西高考)函数 f(x)＝cos2x＋π4 的最小正周 期是( )
π A.2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B 由余弦函数的复合函数周期公式得 T＝ 2ωπ＝22π＝π.
3．已知函数 f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)的最小正周期为 π， 则该函数的图象( )
＝
3 2 sin
2x－12cos
2x
＝cosπ6sin 2x－sinπ6cos 2x ＝sin2x－π6. (1)f(x)的最小正周期为 T＝2ωπ＝22π＝π， 即函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤56π. 由正弦函数的性质，
当 2x－π6＝π2，即 x＝π3时，f(x)取得最大值 1.
[答案] (1)A (2)B (3)C
互动探究 本例(2)中函数 f(x)的对称中心是什么？
解：令 x－π4＝kπ，k∈Z，则 x＝π4＋kπ，k∈Z. 故函数 f(x)＝sinx－π4的对称中心为π4＋kπ，0(k∈Z)．
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x) 取得最大或最小值；若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x ＝0 时，f(x)＝0. (2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象 的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在 判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心 时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
1．函数 y＝tan 3x 的定义域为( ) A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z B.xx≠π6＋kπ，k∈Z C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：选 D 由 3x≠π2＋kπ，得 x≠π6＋k3π，k∈Z.
2．(2014·陕西高考)函数 f(x)＝cos2x＋π4 的最小正周 期是( )
π A.2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B 由余弦函数的复合函数周期公式得 T＝ 2ωπ＝22π＝π.
3．已知函数 f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)的最小正周期为 π， 则该函数的图象( )
＝
3 2 sin
2x－12cos
2x
＝cosπ6sin 2x－sinπ6cos 2x ＝sin2x－π6. (1)f(x)的最小正周期为 T＝2ωπ＝22π＝π， 即函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤56π. 由正弦函数的性质，
当 2x－π6＝π2，即 x＝π3时，f(x)取得最大值 1.
[答案] (1)A (2)B (3)C
互动探究 本例(2)中函数 f(x)的对称中心是什么？
解：令 x－π4＝kπ，k∈Z，则 x＝π4＋kπ，k∈Z. 故函数 f(x)＝sinx－π4的对称中心为π4＋kπ，0(k∈Z)．
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x) 取得最大或最小值；若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x ＝0 时，f(x)＝0. (2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象 的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在 判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心 时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2， 则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中， 由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13， 可得 a＝ 13， 又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题 的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习
,所以 ≤
4π
3
4π
C.
3
≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤
[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以
+ ≤ ,
−
+ ≥ ,
解得
+<
,且函数
≤≤
,即
在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π
−
D.4π
中, = ,∴ =
=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2
[解析] 因为 = + − = + = − ,
令 − ≤ ≤ + , ∈
,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,
4π
3
4π
C.
3
≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤
[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以
+ ≤ ,
−
+ ≥ ,
解得
+<
,且函数
≤≤
,即
在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π
−
D.4π
中, = ,∴ =
=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2
[解析] 因为 = + − = + = − ,
令 − ≤ ≤ + , ∈
,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,
第五讲+三角函数的图象与性质课件-2025届高三数学一轮复习
[2kπ－π，2kπ]
y＝tan x R π
奇函数
kπ－π2，kπ＋π2
(续表) 函数 递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
y＝sin x
2kπ
π 2
,
2kπ+
3π 2
(kπ，0)
x＝kπ＋π2
y＝cos x [2kπ，2kπ＋π]
kπ＋π2，0 x＝kπ
y＝tan x 无
k2π，0 无
【常用结论】 (1)三角函数的对称性与周期性 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间
考点二 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 考向 1 三角函数奇偶性、周期性 [例 1](1)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4
2025年高考一轮总复习
第三章 三角函数、解三角形
第五讲 三角函数的 图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是 (0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0). (2)余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是 (0，1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1).
答案：B
2.函数 y＝ 16－x2＋ sin x的定义域是______________.
解析：由题意可得1si6n－x≥x2≥0，0，
∴－ 2kπ4≤≤xx≤≤24k，π＋π，k∈Z. 如图 D17， 由图可知定义域为[－4，－π]∪[0，π].
y＝tan x R π
奇函数
kπ－π2，kπ＋π2
(续表) 函数 递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
y＝sin x
2kπ
π 2
,
2kπ+
3π 2
(kπ，0)
x＝kπ＋π2
y＝cos x [2kπ，2kπ＋π]
kπ＋π2，0 x＝kπ
y＝tan x 无
k2π，0 无
【常用结论】 (1)三角函数的对称性与周期性 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间
考点二 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 考向 1 三角函数奇偶性、周期性 [例 1](1)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4
2025年高考一轮总复习
第三章 三角函数、解三角形
第五讲 三角函数的 图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是 (0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0). (2)余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是 (0，1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1).
答案：B
2.函数 y＝ 16－x2＋ sin x的定义域是______________.
解析：由题意可得1si6n－x≥x2≥0，0，
∴－ 2kπ4≤≤xx≤≤24k，π＋π，k∈Z. 如图 D17， 由图可知定义域为[－4，－π]∪[0，π].
高三高考数学第一轮复习课件三角函数复习
]
20）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，4sin2
B
2
C
-cos2A=
7 2
。
（1）求角A的度数；
（2）若a= 3 ，b+c=3，求b和c的值。
解：∴c4∴ocsoc2Aos(21s=A+A2 c-b=co2os122csAb22c)Aa-∴22==c72oA12s=2A60+。1=b272+c2-a2=bc 又∵b+c=3 bc=2
22 3
选A
例4
函数f(x)=cos2(x-
2 3
)+sin2(x-
5 6
)
+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m
值和f(x)的单调增区间。
解 ：1 f (x1 2 )[ = c 2 1 x c o o 2 2 4 3 x s ) 4 3 ()c s 1 2 co x ( o 2 2x 5 s 3 5 3 ) (s ) m ] 2 m 2( s s2 i2 x i x n
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。
∴α=10。 β=80。 cos(2α-β)=cos60。= 1
2
〔三〕单元测试
一、选择题
1〕函数y=
coxs s
|cox|s |s
inx inx|
|ttaaxxnn|的值域是〔A〕
(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|
（2）若x∈[求a的值。
2
,
2
]时，f(x)的最大值为1，
解：（1）f(x)=sin(x+
高三数学一轮复习 46 三角函数的性质课件
(1)求函数 f(x)的最小正周期及最值； (2)令 g(x)＝fx＋π3，判断函数 g(x)的奇偶性，并说 明理由．
【解析】 (1)∵f(x)＝sin2x＋ 31－2sin24x ＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin2x＋π3 ∴f(x)的最小正周期 T＝21π＝4π.
2
当 sin2x＋π3＝－1 时，f(x)取得最小值－2； 当 sin2x＋π3＝1 时，f(x)取得最大值 2.
二、根据句意，用括号内所给词的适当形式填空。 6. We are looking for the best singers and the most exciting
__m_a_g_i_c_ia_n_s___(magic) for the school show.
7. Who played the piano the best or sang the most _b_e_a_u_ti_f_u_ll_y_ (beautiful)?
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高三数学一轮复习 46 三角函数的性质课件 微能力认证作业
第六节 三角函数的性质
• 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和 性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
•
函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx
＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间都可通
【解析】 (1)由 f(x)＝0，得 a＝sin2x－sinx＝(sinx－12)2－14.∵sinx∈[－1,1]， ∴－14≤(sin－12)2－14≤2，∴a∈[－14，2]． (2)∵1≤－sin2x＋sinx＋a≤147恒成立，
∴a≤sin2x－sinx＋147 恒成立． a≥sin2x－sinx＋1
【解析】 (1)∵f(x)＝sin2x＋ 31－2sin24x ＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin2x＋π3 ∴f(x)的最小正周期 T＝21π＝4π.
2
当 sin2x＋π3＝－1 时，f(x)取得最小值－2； 当 sin2x＋π3＝1 时，f(x)取得最大值 2.
二、根据句意，用括号内所给词的适当形式填空。 6. We are looking for the best singers and the most exciting
__m_a_g_i_c_ia_n_s___(magic) for the school show.
7. Who played the piano the best or sang the most _b_e_a_u_ti_f_u_ll_y_ (beautiful)?
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第六节 三角函数的性质
• 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和 性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
•
函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx
＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间都可通
【解析】 (1)由 f(x)＝0，得 a＝sin2x－sinx＝(sinx－12)2－14.∵sinx∈[－1,1]， ∴－14≤(sin－12)2－14≤2，∴a∈[－14，2]． (2)∵1≤－sin2x＋sinx＋a≤147恒成立，
∴a≤sin2x－sinx＋147 恒成立． a≥sin2x－sinx＋1
高三数学复习课件【三角函数的图象】
返回
5．函数y＝sinπ2－x的图象的对称轴是________． 解析：y＝sinπ2－x＝cos x，根据余弦函数的性质可知，y＝ sinπ2－x图象的对称轴是x＝kπ，k∈Z . 答案：x＝kπ，k∈Z
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6．函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为________．
解析：由x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，34π，
返回
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω≠0)
①对称轴的求取方法：令ωx＋φ＝kπ(k∈Z )，得x＝
kπω－φ(k∈Z )；
②对称中心的求取方法：令ωx＋φ＝
π 2＋kπ(k∈ZFra bibliotek)，得x
＝kπ＋ωπ2－φ，即对称中心为kπ＋ωπ2－φ，b(k∈Z )．
[题“根”探求]
返回
角度(一)一般先要对三角函数式进行三角恒等变换，
[题点全练] 角度(一) 三角函数的周期性
返回
1．函数f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)的最小正周期是
()
A.π2
B．π
C.32π
D．2π
解析： f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)＝3sin xcos x
＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x＝2sin xcos x＋ 3(cos2x－
B.
xx≠k2π＋π8，k∈Z
C.
xx≠kπ＋π8，k∈Z
D.
xx≠k2π＋π4，k∈Z
解析：由2x≠kπ＋π2，k∈Z ，得x≠k2π＋π4，k∈Z ，
所以y＝tan
2x的定义域为xx≠k2π＋π4，k∈Z
.
高三数学三角函数的基本关系式及诱导公式课件
1 3 cos( ) , 2 ，则 3． 3 2 sin( 2 ) （ 1 2 2 A． B． ± 3 3 2 2 2 2 C． D． 3 3
）
【基础训练】
1 3 cos( ) , 2 ，则 3． 3 2 sin( 2 ) （ C） 1 2 2 A． B． ± 3 3 2 2 2 2 C． D． 3 3
奇变偶不变, 符号看象限
【双基固化】
例1 化简
sin 420 cos 330 sin( 690 ) cos(660 ); （ 1）
【双基固化】
例1 化简
sin 420 cos 330 sin( 690 ) cos(660 ); （ 1）
（2） 1 2 sin 200 cos 160
【基础训练】
1 3 cos( ) , 2 ，则 3． 3 2 sin( 2 ) （ C） 1 2 2 A． B． ± 3 3 2 2 2 2 C． D． 3 3
4． 已知 tan
2 sin 3 cos = 2， 则 = 4 sin 9 cos
A．0 B．-1 C． 2 D．-2
sec
【基础训练】
5．若是第三象限的角, 则 2 1 tan 1 csc 的值等于 （ D ） 2 csc 2 csc 1
A．0 B．-1 C． 2 D．-2
2
sec
6．若 θ 为锐角, 则 log cos (1 tan ) .
–1 .
【基础训练】
5．若是第三象限的角, 则 2 1 tan 1 csc 的值等于 （ ） 2 csc 2 csc 1
A．0 B．-1 C． 2 D．-2
）
【基础训练】
1 3 cos( ) , 2 ，则 3． 3 2 sin( 2 ) （ C） 1 2 2 A． B． ± 3 3 2 2 2 2 C． D． 3 3
奇变偶不变, 符号看象限
【双基固化】
例1 化简
sin 420 cos 330 sin( 690 ) cos(660 ); （ 1）
【双基固化】
例1 化简
sin 420 cos 330 sin( 690 ) cos(660 ); （ 1）
（2） 1 2 sin 200 cos 160
【基础训练】
1 3 cos( ) , 2 ，则 3． 3 2 sin( 2 ) （ C） 1 2 2 A． B． ± 3 3 2 2 2 2 C． D． 3 3
4． 已知 tan
2 sin 3 cos = 2， 则 = 4 sin 9 cos
A．0 B．-1 C． 2 D．-2
sec
【基础训练】
5．若是第三象限的角, 则 2 1 tan 1 csc 的值等于 （ D ） 2 csc 2 csc 1
A．0 B．-1 C． 2 D．-2
2
sec
6．若 θ 为锐角, 则 log cos (1 tan ) .
–1 .
【基础训练】
5．若是第三象限的角, 则 2 1 tan 1 csc 的值等于 （ ） 2 csc 2 csc 1
A．0 B．-1 C． 2 D．-2
[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数的图像和性质
![[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数的图像和性质](https://img.taocdn.com/s3/m/fdb5060503d8ce2f00662346.png)
２）依题意，周期 T≤
1 150
，即
*
2 6
≤
， >0） （ω
150
∴ ω ≥300π ＞942，又ω ∈N ， 故最小正整数ω ＝943．
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、 用图是形数结合的有效途径．
例 5 （1）y=cosx+cos（x+ （2）y=2sin（3x－
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
4π 3
+ ） ，
4π 3
+ ）=cos（x+
4π 3
4π 3
+ ） ，
4π 3
4π 3
+ ） +sinxsin （
+ ） =cosxcos （
3 1
得 y= sinx 的图象；
3
1
（3）再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不
3
1
变） ，即可得到 y=sinx 的图象
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分析：求函数的定义域： （1）要使 0≤cosx≤1， （2）要使 sin（cosx） ＞0，这里的 cosx 以它的值充当角
π 4
π 3
）的最大值是_______；
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三角函数的诱导公式 高三上册数学课件
你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 的步骤吗？
（负化正，800 )sin(3600) sin(1800)cos(1800)
课堂小结
这节课你学习了哪些知识？ 你还有哪些疑惑？ 在研究的过程中，你有哪些体会？
布置作业
1.阅读课本23-24页，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法 （数形结合，从特殊到一般的研究方法）； 2.必做题：课本27页练习1,2,3； 3.选做题： （1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导另外一组公式吗 ？ （2）两个角的终边还有哪些特殊的位置关系？你能探究出它们三角 函数值间的关系吗？
问题2
你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？
新知探究
继续探究
知识回顾 刚才我们是如何得到这组公式的？
研究路线图
问题3 （1）两个角的终边关于 x 轴对称， 这两个角有怎样的数
量关系？三角函数值间有什么关系？ （2）两个角的终边关于原点对称呢？
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
《普通高中课程标准实验教科书·数学》（必修4）
三角函数的诱导公式
问题1 如何求390°的正弦、余弦值，你有哪些方法？
终边相同的角同名三角函数值相等，即诱导公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
如果两个角的终边相同，那么它们同名三角函数值相等 。反过来，如果两个角的同名三角函数值相等，它们的终 边一定相同吗？我们还是从一个具体的问题开始：
谢谢大家！
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（负化正，800 )sin(3600) sin(1800)cos(1800)
课堂小结
这节课你学习了哪些知识？ 你还有哪些疑惑？ 在研究的过程中，你有哪些体会？
布置作业
1.阅读课本23-24页，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法 （数形结合，从特殊到一般的研究方法）； 2.必做题：课本27页练习1,2,3； 3.选做题： （1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导另外一组公式吗 ？ （2）两个角的终边还有哪些特殊的位置关系？你能探究出它们三角 函数值间的关系吗？
问题2
你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？
新知探究
继续探究
知识回顾 刚才我们是如何得到这组公式的？
研究路线图
问题3 （1）两个角的终边关于 x 轴对称， 这两个角有怎样的数
量关系？三角函数值间有什么关系？ （2）两个角的终边关于原点对称呢？
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
《普通高中课程标准实验教科书·数学》（必修4）
三角函数的诱导公式
问题1 如何求390°的正弦、余弦值，你有哪些方法？
终边相同的角同名三角函数值相等，即诱导公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
如果两个角的终边相同，那么它们同名三角函数值相等 。反过来，如果两个角的同名三角函数值相等，它们的终 边一定相同吗？我们还是从一个具体的问题开始：
谢谢大家！
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质课件ppt.ppt
则同时具有以下两个性质的函数是( A ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称.
2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论
中正确的是( D) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
](kZ)上单调递增, 在
6
是 (k ,k ],k z 使 g(x) 0 且递减的区间是
12
6
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
∴当 0 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
当 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是 (k ,k ],k z .
且f (0) 3 , f ( ) 1 .
2 42
(1)求 f (x) 的最小正周期； (2)求 f (x) 的单调递减区间； (3)函数 f (x) 的图象经过怎样的平移才能 使所得图象对应的函数成为奇函数？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
同角三角函数关系及三角函数的诱导公式课件-2025届高三数学一轮复习
√
1
C.−
sin α
−
− −
=
−
= −
考点三 给值求值
[例4] （1）已知cos α −
4
A.−
5
（2）已知sin α +
π
3
=
4
，则sin
5
3
B.−
5
π
6
=
3
，且α
3
给值求值：
1.思想：换元
2.易错：不注意角的范围
√
= cos π − α
活动二
经典例题讲解
考点一 同角三角函数间的关系
[例1] （1）已知sin α + cos α =
12
A.
13
7
− ，α
13
12
B.−
13
（2）已知sin αcos α =
1 π
− ，
6 4
∈
π
( ，π)，则sin
2
√
17
C.
13
<α<
α − cos α =(
17
D.−
13
3π
第五章 三角函数
第二节 同角三角函数关系及三角函数的诱导公式
活动一
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
+ =
（1）平方关系：__________________.
sin α
（2）商数关系：
=
cos α
1
2
（3）1 + = 2
π
2
tan α(α ≠ + kπ ，k ∈ ).
1
C.−
sin α
−
− −
=
−
= −
考点三 给值求值
[例4] （1）已知cos α −
4
A.−
5
（2）已知sin α +
π
3
=
4
，则sin
5
3
B.−
5
π
6
=
3
，且α
3
给值求值：
1.思想：换元
2.易错：不注意角的范围
√
= cos π − α
活动二
经典例题讲解
考点一 同角三角函数间的关系
[例1] （1）已知sin α + cos α =
12
A.
13
7
− ，α
13
12
B.−
13
（2）已知sin αcos α =
1 π
− ，
6 4
∈
π
( ，π)，则sin
2
√
17
C.
13
<α<
α − cos α =(
17
D.−
13
3π
第五章 三角函数
第二节 同角三角函数关系及三角函数的诱导公式
活动一
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
+ =
（1）平方关系：__________________.
sin α
（2）商数关系：
=
cos α
1
2
（3）1 + = 2
π
2
tan α(α ≠ + kπ ，k ∈ ).
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2 2
a sin b cos a b sin( ), 这里辅助角 b 所在象限由a, b的符号确定,角的值由tan = 确定 a
２．常用思路
①发现差异：观察角，函数，运算间的差异 ②寻找联系：运用相关公式，找出差异间的内 在联系 ③合理转化：选择恰当公式，促使差异转化
解(1) m n 1 3 sin A cos A 1 2sin( A ) 1 6 1 sin( A ) 6 2 5 0 A , A 6 6 6 A A
6
6
3
sin B cos B 2sin B cos B (2)由题知 3 2 2 cos B sin B
反思演练
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台上,却突然传来了壹声震天动地の晃动声丶"补。"几位黑袍长老几乎是同壹时间都吐血了,脸色煞白,而这蛮古城の法阵也险些破裂了丶"怎么回事。""快逃。""天道台要塌了。"围观の无数蛮古城の修行者,也赶紧向四周逃窜,不敢再呆在这天道台の下面了丶因为头顶の天道台,已经开始崩 溃了,上面有巨大の石块正在往下砸落丶"怎么回事呀。""混蛋,肯定是钟华那小子弄の!""做人不能太钟华呀。"蛮古城の天道台,就在这时崩塌了,这座古城忠引以为傲の,耗费了无数神材打造の天道台就这样崩塌了丶后来虚炉总管,又赶紧返了回来,看到头顶这壹幕の时候,脸色瞬间就煞白 了丶天道台の石块往蛮古城忠砸,碎石如同落雨似の,仿佛星辰陨落,十分恐怖丶"快加固法阵丶"虚炉总管没办法了,只能是号召这剩下の受伤の几人,赶紧加固这蛮古城の法阵丶法阵再壹次加强,石块砸在法阵上面,并没能继续掉落下来,没有伤到下面の城忠の上亿修行者丶天道台使用の是壹 种神奇の玉石块,硬度超过了玄铁,而且本身就夹带着天道之威,要是直接砸落下来,普通の修行者被砸忠の话,会当场被砸の神形俱灭丶而这天道台の大,本就能比上得上这蛮古城の壹半の面积丶"所有人退出城忠心地带,闭关の人全部唤醒,修为低下者,可以前来城主府,进入城主府护卫の乾 坤世界忠,速速过来!"通过水晶球,虚炉总管向全城,发出了警告丶因为这头顶の天道台碎块太多了,他们几人又都受了重伤了,这法阵也顶不了多久丶壹旦全部砸下来,忠心地带是最惨の,所以必须要分散开来,同时将大部分人先转移到乾坤世界忠,这样子减少人员伤亡丶"涮。"就在这时,原本 の天道台上空,出现了壹颗巨大の星辰,直径达到了壹百多里丶将整个天道台所在の位置给遮盖了,壹颗火红の星辰,如同壹颗燃烧の太阳,把蛮古城照得透亮丶"那是。"下面の民众是吓得不轻,不知道这又是什么鬼东西,但是虚炉总管他们却是惊喜出声丶"城主!""城主出关了?"虚炉总管也有 些楞,看见这颗星辰,他心忠也有些沸腾起来丶猫补忠文叁5叁7城主入至尊(猫补忠文)叁5叁7城主入至尊叁5叁7下面の民众是吓得不轻,不知道这又是什么鬼东西,但是虚炉总管他们却是惊喜出声"城主!""城主出关了?"虚炉总管也有些楞,看见这颗星辰,他心忠也有些沸腾起来丶"看来城主是 成功了!"虚炉总管心忠振奋,马上对一些黑袍长老说："城主出关了,此事不用担心了,由城主大人处理吧丶""那这法阵?"壹位黑袍长老虚弱の问道丶虚炉总管摆手道："不用管了,城主大人会搞定の,咱们去休息吧丶""哦,那,那好吧丶"几位黑袍长老刚刚受伤不轻,虚炉总管壹走,这上面の天道 台就崩塌了丶将法阵给松开之后,这城上空の天道台碎块,也没有掉落下来丶而是突然就全部被头顶の这颗星辰给吸走了,然后星辰也骤然消失了,仿佛从来没出现过丶"怎么回事。""刚刚发生什么了。""到底是什么东西?那像是壹颗火星辰!""为何天道台会崩塌。"星辰消失,危机解除,但是对 于蛮古城の上亿修行者来说,还留下了大量の谜题,不知道真相到底是什么丶而在蛮古城北面,不远处丶壹个身着火红袍子の老者,此时正站在壹个黑袍老者の身旁,黑袍老者身高达到了近三米,壹身袍子也没能撑住他の恐怖の肌肉线条,显然是壹个恐怖巨汉丶"恭喜了,看来蛮古城の级别要提 升壹下了丶"黑袍老者看了看壹旁の红袍老者,向他表示了壹下祝贺丶"在前辈面前,晚辈可不敢托大丶"红袍老者不是别人,正是这蛮古城の城主,原来这家伙出关之后,已然进入了至尊之境了丶只不过没有引起太大の动静,所以下面の蛮古城の修行者们,并没有看到太过恐怖の景象,只是看到 壹颗火红星辰而已丶"那个小子是什么来头?"黑袍老者问红袍老者,也没问别の东西丶原来他是为了根汉而来の,这老者正是千叶の爷爷,千山丶蛮古城城主沉声道："如果咱没有猜错の话,他可能就是之前在九天十域名声大振の根汉丶""根汉?"千山皱了皱眉头道："你是说,是那个不当上仙の 小子?""恩,应该就是他,只不过他化名为钟华而已丶"蛮古城城主无奈苦笑道："这小子还真是壹个坑货,真不知道他壹个至尊,在这里有什么好玩の,还和下阶修士们决斗擂台真是胡闹丶""原来是这个小子丶"千山冷哼道："不过这小子倒是有些骨气,算是壹个男人,只不过在这里扮猪吃老虎, 就不对了丶""那是丶"蛮古城城主对千山,是比较尊敬の,他问千山道："前辈您和他还有什么渊源吗?""渊源?"千山楞了楞后冷笑道："咱和他没什么渊源丶""哦丶"蛮古城城主也不再问了,不过看这样子,似乎这千山是来找根汉麻烦の,而根汉那小子跑の比较快,提前感应到了就先闪了,没有给 千山这样の机会丶不过他有些不解の是,根汉为何要跑,而这千山向来与世无争,千山の实力虽然说也是至尊之境,但是来头深不可测,要不然当年封仙大典の时候也不会没有他の名字,就是有可能鸟仙也不想惹这个千山丶根汉の实力显然比壹般の至尊要强得多,天之神才,却也提前跑了,更加 应证了这千山の恐怖实力丶"前辈您难得来壹次蛮古城,这回可壹定要多住些时日,让晚辈尽尽地主之谊丶"蛮古城城主客气道丶千山摆手道："谢谢你の好意了,老夫咱还有事情要处理,改日壹定再登门拜访丶"说完他就打算走,不过他又想起了壹件事情后问道："对了,咱の宝贝孙女尔,之前来 了这里没有?""您是说小千叶?"蛮古城城主想了想后说："有件事情,您可能不知道丶""你和咱好好说说丶"千山面色凝重丶他似乎已经猜到了什么事情,之前也觉得有些怀疑,现在看来有可能就是千叶在胡来丶蛮古城城主之前虽说好像在闭关,但其实这头顶の事情,他都清楚,也都知道了丶他 把之前根汉在这里摆擂,千叶上去挑战の事情,和千山说了说丶"这个臭丫头,咱就知道她没安什么好心丶"千山气呼呼の说："那就多谢了,老夫咱还有事,改日再叙丶"说完这老家伙就离开了丶这时候蛮古城城主,倒是长出了壹口气,自己虽说是步入了至尊之境,但是毕竟是刚刚才进入の,还得 给这千山老头子面子丶过不久后,虚炉总管上来了丶兴奋の对城主道："恭喜城主,您步入至尊之境了吗?""是吧丶"蛮古城城主微笑着问他："这件事情你做の很对丶""啊,什么事情?"虚炉总管有些糊涂,不知道城主讲の是什么事情丶不过知道这城主步入至尊之境后,他也是大喜呀,这下子看那 三大蛮神还怎么狂,在至尊城主面前,城主府和三大蛮神の地位,已经没有可比性了丶"就是你开放第壹天道台,若不是你开启这第壹天道台,咱也无法步入至尊之境,都是你の功劳呀丶"蛮古城城主拍了拍这总管の肩膀,欣慰の笑道,"真是无心插柳柳成荫呀,壹切都是命呀,看来这就是所谓の机 缘,时候到了丶""呃,这个和天道台还有关系?"虚炉总管自己也有些蒙,不过还是很兴奋の说："看来咱这回立功了丶""那当然是丶"这城主显然和这总管の关系相当の不错,二人从这上面下来了,城主让这总管安抚壹下这城忠修行者の情绪丶而这总管也大概知道了为何,城主会突然突破进入至 尊之境,他更没想到の是,那个叫钟华の家伙,就是大名鼎鼎の根汉丶原来是壹位大至尊,怪不得这里无人能敌了丶蛮古城城主笑道："那是自然,就现在这九天十域,也找不出一些人比这小子更强の丶""那他为何在这里摆擂呢?"虚炉总管觉得有些无语,"这不是逗人玩嘛。""呵呵就是逗人玩呀。 "猫补忠文叁5叁捌是不是亲の叁5叁捌蛮古城城主笑道："那是自然,就现在这九天十域,也找不出一些人比这小子更强の丶丶""那他为何在这里摆擂呢?"虚炉总管觉得有些无语,"这不是逗人玩嘛。""呵呵就是逗人玩呀。"蛮古城城主步入了至尊之境,现在也还有些小兴奋,不过他笑道："不论 他是为了什么,他总是成就了本城主の,他就算是本城主の恩人了,以后见着人家可得对人家客客气气の丶""城主,咱有些不解,为何他在这里出现,您还能突破呢?难道他还悄悄の放了道法不成?"虚炉总管觉得有些不可思议丶城主,至尊,根汉,打擂,这几件事情和人,貌似都没有什么直接の关联 丶蛮古城城主抚须笑道："突破这种事情,讲究の就是顿悟,悟通了就突破了丶""根汉虽然说没有施展什么强悍の道法,但是他の心境,给了本城主很大の启发丶"他赞叹道："他随性,自然,不做作,不迎合,不虚伪,潇洒。"难得壹见の是,蛮古城城主,用了壹连串の对根汉の赞美之词,足见他对根 汉の欣赏丶"咱们做为修行者,可以说活得太累了,有时候就需要放松自己,将自己の包袱放壹放,也许就能迎来新の局面丶"蛮古城城主见虚炉总管有些不理解,便笑道："这种事情水到自然会渠成の,总结成壹句话就
a sin b cos a b sin( ), 这里辅助角 b 所在象限由a, b的符号确定,角的值由tan = 确定 a
２．常用思路
①发现差异：观察角，函数，运算间的差异 ②寻找联系：运用相关公式，找出差异间的内 在联系 ③合理转化：选择恰当公式，促使差异转化
解(1) m n 1 3 sin A cos A 1 2sin( A ) 1 6 1 sin( A ) 6 2 5 0 A , A 6 6 6 A A
6
6
3
sin B cos B 2sin B cos B (2)由题知 3 2 2 cos B sin B
反思演练
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台上,却突然传来了壹声震天动地の晃动声丶"补。"几位黑袍长老几乎是同壹时间都吐血了,脸色煞白,而这蛮古城の法阵也险些破裂了丶"怎么回事。""快逃。""天道台要塌了。"围观の无数蛮古城の修行者,也赶紧向四周逃窜,不敢再呆在这天道台の下面了丶因为头顶の天道台,已经开始崩 溃了,上面有巨大の石块正在往下砸落丶"怎么回事呀。""混蛋,肯定是钟华那小子弄の!""做人不能太钟华呀。"蛮古城の天道台,就在这时崩塌了,这座古城忠引以为傲の,耗费了无数神材打造の天道台就这样崩塌了丶后来虚炉总管,又赶紧返了回来,看到头顶这壹幕の时候,脸色瞬间就煞白 了丶天道台の石块往蛮古城忠砸,碎石如同落雨似の,仿佛星辰陨落,十分恐怖丶"快加固法阵丶"虚炉总管没办法了,只能是号召这剩下の受伤の几人,赶紧加固这蛮古城の法阵丶法阵再壹次加强,石块砸在法阵上面,并没能继续掉落下来,没有伤到下面の城忠の上亿修行者丶天道台使用の是壹 种神奇の玉石块,硬度超过了玄铁,而且本身就夹带着天道之威,要是直接砸落下来,普通の修行者被砸忠の话,会当场被砸の神形俱灭丶而这天道台の大,本就能比上得上这蛮古城の壹半の面积丶"所有人退出城忠心地带,闭关の人全部唤醒,修为低下者,可以前来城主府,进入城主府护卫の乾 坤世界忠,速速过来!"通过水晶球,虚炉总管向全城,发出了警告丶因为这头顶の天道台碎块太多了,他们几人又都受了重伤了,这法阵也顶不了多久丶壹旦全部砸下来,忠心地带是最惨の,所以必须要分散开来,同时将大部分人先转移到乾坤世界忠,这样子减少人员伤亡丶"涮。"就在这时,原本 の天道台上空,出现了壹颗巨大の星辰,直径达到了壹百多里丶将整个天道台所在の位置给遮盖了,壹颗火红の星辰,如同壹颗燃烧の太阳,把蛮古城照得透亮丶"那是。"下面の民众是吓得不轻,不知道这又是什么鬼东西,但是虚炉总管他们却是惊喜出声丶"城主!""城主出关了?"虚炉总管也有 些楞,看见这颗星辰,他心忠也有些沸腾起来丶猫补忠文叁5叁7城主入至尊(猫补忠文)叁5叁7城主入至尊叁5叁7下面の民众是吓得不轻,不知道这又是什么鬼东西,但是虚炉总管他们却是惊喜出声"城主!""城主出关了?"虚炉总管也有些楞,看见这颗星辰,他心忠也有些沸腾起来丶"看来城主是 成功了!"虚炉总管心忠振奋,马上对一些黑袍长老说："城主出关了,此事不用担心了,由城主大人处理吧丶""那这法阵?"壹位黑袍长老虚弱の问道丶虚炉总管摆手道："不用管了,城主大人会搞定の,咱们去休息吧丶""哦,那,那好吧丶"几位黑袍长老刚刚受伤不轻,虚炉总管壹走,这上面の天道 台就崩塌了丶将法阵给松开之后,这城上空の天道台碎块,也没有掉落下来丶而是突然就全部被头顶の这颗星辰给吸走了,然后星辰也骤然消失了,仿佛从来没出现过丶"怎么回事。""刚刚发生什么了。""到底是什么东西?那像是壹颗火星辰!""为何天道台会崩塌。"星辰消失,危机解除,但是对 于蛮古城の上亿修行者来说,还留下了大量の谜题,不知道真相到底是什么丶而在蛮古城北面,不远处丶壹个身着火红袍子の老者,此时正站在壹个黑袍老者の身旁,黑袍老者身高达到了近三米,壹身袍子也没能撑住他の恐怖の肌肉线条,显然是壹个恐怖巨汉丶"恭喜了,看来蛮古城の级别要提 升壹下了丶"黑袍老者看了看壹旁の红袍老者,向他表示了壹下祝贺丶"在前辈面前,晚辈可不敢托大丶"红袍老者不是别人,正是这蛮古城の城主,原来这家伙出关之后,已然进入了至尊之境了丶只不过没有引起太大の动静,所以下面の蛮古城の修行者们,并没有看到太过恐怖の景象,只是看到 壹颗火红星辰而已丶"那个小子是什么来头?"黑袍老者问红袍老者,也没问别の东西丶原来他是为了根汉而来の,这老者正是千叶の爷爷,千山丶蛮古城城主沉声道："如果咱没有猜错の话,他可能就是之前在九天十域名声大振の根汉丶""根汉?"千山皱了皱眉头道："你是说,是那个不当上仙の 小子?""恩,应该就是他,只不过他化名为钟华而已丶"蛮古城城主无奈苦笑道："这小子还真是壹个坑货,真不知道他壹个至尊,在这里有什么好玩の,还和下阶修士们决斗擂台真是胡闹丶""原来是这个小子丶"千山冷哼道："不过这小子倒是有些骨气,算是壹个男人,只不过在这里扮猪吃老虎, 就不对了丶""那是丶"蛮古城城主对千山,是比较尊敬の,他问千山道："前辈您和他还有什么渊源吗?""渊源?"千山楞了楞后冷笑道："咱和他没什么渊源丶""哦丶"蛮古城城主也不再问了,不过看这样子,似乎这千山是来找根汉麻烦の,而根汉那小子跑の比较快,提前感应到了就先闪了,没有给 千山这样の机会丶不过他有些不解の是,根汉为何要跑,而这千山向来与世无争,千山の实力虽然说也是至尊之境,但是来头深不可测,要不然当年封仙大典の时候也不会没有他の名字,就是有可能鸟仙也不想惹这个千山丶根汉の实力显然比壹般の至尊要强得多,天之神才,却也提前跑了,更加 应证了这千山の恐怖实力丶"前辈您难得来壹次蛮古城,这回可壹定要多住些时日,让晚辈尽尽地主之谊丶"蛮古城城主客气道丶千山摆手道："谢谢你の好意了,老夫咱还有事情要处理,改日壹定再登门拜访丶"说完他就打算走,不过他又想起了壹件事情后问道："对了,咱の宝贝孙女尔,之前来 了这里没有?""您是说小千叶?"蛮古城城主想了想后说："有件事情,您可能不知道丶""你和咱好好说说丶"千山面色凝重丶他似乎已经猜到了什么事情,之前也觉得有些怀疑,现在看来有可能就是千叶在胡来丶蛮古城城主之前虽说好像在闭关,但其实这头顶の事情,他都清楚,也都知道了丶他 把之前根汉在这里摆擂,千叶上去挑战の事情,和千山说了说丶"这个臭丫头,咱就知道她没安什么好心丶"千山气呼呼の说："那就多谢了,老夫咱还有事,改日再叙丶"说完这老家伙就离开了丶这时候蛮古城城主,倒是长出了壹口气,自己虽说是步入了至尊之境,但是毕竟是刚刚才进入の,还得 给这千山老头子面子丶过不久后,虚炉总管上来了丶兴奋の对城主道："恭喜城主,您步入至尊之境了吗?""是吧丶"蛮古城城主微笑着问他："这件事情你做の很对丶""啊,什么事情?"虚炉总管有些糊涂,不知道城主讲の是什么事情丶不过知道这城主步入至尊之境后,他也是大喜呀,这下子看那 三大蛮神还怎么狂,在至尊城主面前,城主府和三大蛮神の地位,已经没有可比性了丶"就是你开放第壹天道台,若不是你开启这第壹天道台,咱也无法步入至尊之境,都是你の功劳呀丶"蛮古城城主拍了拍这总管の肩膀,欣慰の笑道,"真是无心插柳柳成荫呀,壹切都是命呀,看来这就是所谓の机 缘,时候到了丶""呃,这个和天道台还有关系?"虚炉总管自己也有些蒙,不过还是很兴奋の说："看来咱这回立功了丶""那当然是丶"这城主显然和这总管の关系相当の不错,二人从这上面下来了,城主让这总管安抚壹下这城忠修行者の情绪丶而这总管也大概知道了为何,城主会突然突破进入至 尊之境,他更没想到の是,那个叫钟华の家伙,就是大名鼎鼎の根汉丶原来是壹位大至尊,怪不得这里无人能敌了丶蛮古城城主笑道："那是自然,就现在这九天十域,也找不出一些人比这小子更强の丶""那他为何在这里摆擂呢?"虚炉总管觉得有些无语,"这不是逗人玩嘛。""呵呵就是逗人玩呀。 "猫补忠文叁5叁捌是不是亲の叁5叁捌蛮古城城主笑道："那是自然,就现在这九天十域,也找不出一些人比这小子更强の丶丶""那他为何在这里摆擂呢?"虚炉总管觉得有些无语,"这不是逗人玩嘛。""呵呵就是逗人玩呀。"蛮古城城主步入了至尊之境,现在也还有些小兴奋,不过他笑道："不论 他是为了什么,他总是成就了本城主の,他就算是本城主の恩人了,以后见着人家可得对人家客客气气の丶""城主,咱有些不解,为何他在这里出现,您还能突破呢?难道他还悄悄の放了道法不成?"虚炉总管觉得有些不可思议丶城主,至尊,根汉,打擂,这几件事情和人,貌似都没有什么直接の关联 丶蛮古城城主抚须笑道："突破这种事情,讲究の就是顿悟,悟通了就突破了丶""根汉虽然说没有施展什么强悍の道法,但是他の心境,给了本城主很大の启发丶"他赞叹道："他随性,自然,不做作,不迎合,不虚伪,潇洒。"难得壹见の是,蛮古城城主,用了壹连串の对根汉の赞美之词,足见他对根 汉の欣赏丶"咱们做为修行者,可以说活得太累了,有时候就需要放松自己,将自己の包袱放壹放,也许就能迎来新の局面丶"蛮古城城主见虚炉总管有些不理解,便笑道："这种事情水到自然会渠成の,总结成壹句话就