江苏省灌南高级中学高二下学期期末模拟考试

江苏省灌南高级中学2012-2013高二下学期期末

模拟考试数学试卷

一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1． 已知复数i

z 215

-=

（i 是虚数单位），则z = ___． 2．观察式子232112<+，353121122<++，47

4

131211222<+++，则可以归纳出

<++⋅⋅⋅++++

2

222)1(1

4131211n ___． 3． 用数学归纳法证明222222212)1()121++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅++n n n （

2(21)3

n n +=时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是 ．

4．若4

43

32

2104

)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ．

5．若1=-i z ，则z 最大值为 ．

6．四面体ABCD 中，，，，3,3232====CD BD BC AB 30=∠ABD ，

所成角为与，则CD AB ABC 60=∠ ．

7．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为

2

1tan 2

R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 ． 8．若4

1313--+=n n n C C C ,则=n ．

9．6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为 ．

10. 把1，3，6，10，15，21， 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如下面），则第n 个三角形数是 ．

11. 已知两点)3,2,1(A ,)2,1,2(,)2,1,1(P 点Q 在直线

OP 上运动，则当QB QA ⋅取得最小值时，Q 点的坐

标 ．

12. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 ．

图一

第7题图

图二

13. 如图，在梯形ABCD 中，)(,,//b a b CD a AB DC AB >==．若AB EF //，EF 到CD 与AB 的距离之比为n m :，则可推算出： n

m nb

ma EF ++=

．试用类比的方

法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰BC AD ,相交

于O 点，设OCD OAB ∆∆,的面积分别为21,S S ，AB EF //且EF 到CD 与AB 的距离之比为n m :， 则OEF ∆的面积0S 与21,S S 的关系是 .

14.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题 是 （写出所有真命题的序号）.

二、解答题（共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．当实数m 取何值时，复数i m m m m z )34()23(2

2

+-++-=（其中i 是虚数单位）． （1）是实数；（2）是纯虚数；（3）等于零.

16．如图，在正方体1111

ABCD A BC D -中，P 是棱BC 的中点，Q 在棱CD 上. 且DQ DC λ=，若二面角1P C Q C --的余弦值为7

14

，求实数λ的值.

B

D

1

B 1

17．用数学归纳法证明：

)(4

)

3)(2)(1()2()1(432321*N n n n n n n n n ∈+++=

+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯．

18．已知n x

x )12

-

（的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为

14

3． （1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．

19．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且

1

2

PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点。

（1）证明：面PAD ⊥面PCD ；

（2）求AC 与PB 所成的角；

（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．

20.由下列不等式：2

11>

,,,2151

31211,237131211,131211⋅⋅⋅>⋅

⋅⋅+++>+⋅⋅⋅+++>++你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

答 案

1. i 21+

2.

1

1

2++n n 3. 22)1(k k ++ 4. 1 5.2 6.

60 7.

2

tan 2R α

8. 7 9.10 10. 22n

n +

11.），，（3

8

3434 12. 336

13.

=

14. 1,2

15. 解：（1）31或=m ；（2）2=m （3）1=m

16. 2．解：以1,,AB AD AA

为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，

设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为(0,0,0)A ，

(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(0,4,0)D ；1(0,0,4)A ，

1(4,0,4)B ，1(4,4,4)C ，1(0,4,4)D ，(4,2,0)P ，(4,4,0)Q λ

设平面1C PQ 法向量为(1,,)n b c =

，而1(0,2,4)PC = ，

(44,2,0)PQ λ=-

，

所以240(44)20b c

b λ+=⎧⎨-+=⎩，可得一个法向量

(,,)n a b c =

=(1,2(1),(1))λλ---，

设面1C PQ 的一个法向量为(0,1,0)u =

，

则cos ,n u <>=

即2

1(1)9λ-=

，又因为点Q 在棱CD 上，所以23

λ=. 17. 证明：（1）当1n =时，左边1236=⨯⨯=，右边1234

64

⨯⨯⨯=

==左边，∴等式成立． （2）设当*()n k k =∈N 时，等式成立，

即(1)(2)(3)

123234(1)(2)4

k k k k k k k +++⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=

． 则当1n k =+时，

左边123234(1)(2)(1)(2)(3)k k k k k k =⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+++++

(1)(2)(3)

(1)(2)(3)

4

(1)(2)(3)(4)

(1)(2)(3)(1)44

(1)(11)(12)(13).

4

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++=

++++++++=++++=+++++++=

∴ 1n k =+时，等式成立．

由（1）、（2）可知，原等式对于任意*n ∈N 成立．