江苏省灌南高级中学高二下学期期末模拟考试

江苏省灌南高级中学2012-2013高二下学期期末
模拟考试数学试卷
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1． 已知复数i
z 215
-=
（i 是虚数单位），则z = ___． 2．观察式子232112<+，353121122<++，47
4
131211222<+++，则可以归纳出
<++⋅⋅⋅++++
2
222)1(1
4131211n ___． 3． 用数学归纳法证明222222212)1()121++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅++n n n （
2(21)3
n n +=时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是 ．
4．若4
43
32
2104
)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ．
5．若1=-i z ，则z 最大值为 ．
6．四面体ABCD 中，，，，3,3232====CD BD BC AB 30=∠ABD ，
所成角为与，则CD AB ABC 60=∠ ．
7．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为
2
1tan 2
R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 ． 8．若4
1313--+=n n n C C C ,则=n ．
9．6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为 ．
10. 把1，3，6，10，15，21， 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如下面），则第n 个三角形数是 ．
11. 已知两点)3,2,1(A ,)2,1,2(,)2,1,1(P 点Q 在直线
OP 上运动，则当QB QA ⋅取得最小值时，Q 点的坐
标 ．
12. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 ．
图一
第7题图
图二
13. 如图，在梯形ABCD 中，)(,,//b a b CD a AB DC AB >==．若AB EF //，EF 到CD 与AB 的距离之比为n m :，则可推算出： n
m nb
ma EF ++=
．试用类比的方
法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰BC AD ,相交
于O 点，设OCD OAB ∆∆,的面积分别为21,S S ，AB EF //且EF 到CD 与AB 的距离之比为n m :， 则OEF ∆的面积0S 与21,S S 的关系是 .
14.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题 是 （写出所有真命题的序号）.
二、解答题（共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．当实数m 取何值时，复数i m m m m z )34()23(2
2
+-++-=（其中i 是虚数单位）． （1）是实数；（2）是纯虚数；（3）等于零.
16．如图，在正方体1111
ABCD A BC D -中，P 是棱BC 的中点，Q 在棱CD 上. 且DQ DC λ=，若二面角1P C Q C --的余弦值为7
14
，求实数λ的值.
B
D
1
B 1
17．用数学归纳法证明：
)(4
)
3)(2)(1()2()1(432321*N n n n n n n n n ∈+++=
+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯．
18．已知n x
x )12
-
（的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为
14
3． （1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．
19．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且
1
2
PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点。

（1）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（2）求AC 与PB 所成的角；
（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．
20.由下列不等式：2
11>
,,,2151
31211,237131211,131211⋅⋅⋅>⋅
⋅⋅+++>+⋅⋅⋅+++>++你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
答 案
1. i 21+
2.
1
1
2++n n 3. 22)1(k k ++ 4. 1 5.2 6.
60 7.
2
tan 2R α
8. 7 9.10 10. 22n
n +
11.），，（3
8
3434 12. 336
13.
=
14. 1,2
15. 解：（1）31或=m ；（2）2=m （3）1=m
16. 2．解：以1,,AB AD AA
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，
设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为(0,0,0)A ，
(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(0,4,0)D ；1(0,0,4)A ，
1(4,0,4)B ，1(4,4,4)C ，1(0,4,4)D ，(4,2,0)P ，(4,4,0)Q λ
设平面1C PQ 法向量为(1,,)n b c =
，而1(0,2,4)PC = ，
(44,2,0)PQ λ=-
，
所以240(44)20b c
b λ+=⎧⎨-+=⎩，可得一个法向量
(,,)n a b c =
=(1,2(1),(1))λλ---，
设面1C PQ 的一个法向量为(0,1,0)u =
，
则cos ,n u <>=
即2
1(1)9λ-=
，又因为点Q 在棱CD 上，所以23
λ=. 17. 证明：（1）当1n =时，左边1236=⨯⨯=，右边1234
64
⨯⨯⨯=
==左边，∴等式成立． （2）设当*()n k k =∈N 时，等式成立，
即(1)(2)(3)
123234(1)(2)4
k k k k k k k +++⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=
． 则当1n k =+时，
左边123234(1)(2)(1)(2)(3)k k k k k k =⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+++++
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
4
(1)(2)(3)(4)
(1)(2)(3)(1)44
(1)(11)(12)(13).
4
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++=
++++++++=++++=+++++++=
∴ 1n k =+时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意*n ∈N 成立．
18. 解：（1）由题设，得()143)1(:14422=--n n C C ，则⇒=⋅⋅----14
32
34)3)(2)(1(2)
1(n n n n n n
14
1
)3)(2(4=--n n ⇒05052=--n n 舍）
或(510-==⇒n n （2）=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+r
r r r r x x C T 1)1()(102101
r r r r x C )1(21
22010--- 当02
1220=-
-r r 即当8=r 时为常数项45)1(21088109==-=C C T r 19. 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
1
(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M .
（1）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故
由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . （2）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC 所以故
（3）解：平面AMC 的一个法向量设为),,1(11z y n =，),2
1
,1,0(),0,1,1(==AM AC
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+∴021
01111z y y ∴)2,1,1(-= 平面BMC 的一个法向量设为),,1(22z y =，),2
1
,1,0(),0,1,1(-=-=BM
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=-∴02101222z y y ∴)2,1,1(=n 3
2
6
6411,cos =
⋅+->=
<∴n m ∴所求二面角的余弦值为32-
20. 解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：
1111()23212n n n *++++>∈-N ． 用数学归纳法证明如下：
（1）当1n =时，
112>
，猜想成立；
（2）假设当n k =时，猜想成立，即111123212k k +
+++>- ，
则当1n k =+时，
11111111111121
1232122121222121222k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+- ，即当
1n k =+时，猜想也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立．。