数列极限(习题总结).ppt
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n
n
k bn
)
mA
kB
3.对于下列五个命题：
(1)若
lim
n
an
p,
lim
n
bn
r,则lim an b n
n
p r
(2）若lnim(anbn )
pr,则lim n
an
p, lim n
bn
r
(3)若lim n
an
p,则lnim(an )m
pm (m为常数）
(4)若
lim
n
an
p,则lnim(nan )
一、数列极限的概念辨析
1.若
lim
n
an
2
C2, 那么
A.
lim
n
an
c
B.
lim
n
an
c
B.
lim
n
an
| c
|
D.
lim
n
an可能不存在
2.若
lim
n
an
A,
Fra Baidu biblioteklim
n
bn
B, 则
下列各式中必定成立的是
A.
lim
n
(nan
)
nA
B.
lim
n
an
n
An
C.lim an A n bn B
D.
lim (ma
变式3：已知A(0,0), B(a,b), P1是AB中点， P2是BP1中点，P3是P1P2中点，，Pn2是 Pn Pn1中点，则Pn点的极限位置
例7.lim[(2n n
1)an ]
2,则lim n
nan
例8.数列{an}中，a1
1, a2
2, an2
anan1 1 1 3an
(n
N
),
且
的值
变式：f (x)为多项式，且 lim f (x) 4x3 1
x
x2
lim f (x) 5,求f (x) x0 x
n
nb2n
例5.已知an、bn分别是(1 5x)n 和 （4 x)n (3 x)n 展开式中各项的系数和，
则lim bn an n 5an 3bn
变式1：lim Cn1 n
2Cn2
3Cn3 nCnn n 3n
变式2：lim n
c c
osn osn
sinn sinn
1(0
)
2
成立的条件是
A. ( , ]
42
C.
4
B. [0, )
4
D. (0, )
2
例6.已知数列{an}满足Sn
1 3
an
1, 那么
lnim(a2 a4 a2n )
变式1：已知{an}为无穷等比数列，且
lnim(a1
a2
an
)
1 6
,
则首项a1的取
值范围是
变式2:若首项为a1,公比为q的等比 数列{an}的前n项和总小于这个数列 各项和,则首项a1,公比q的一组取值 可以是(a1,q)=
np
(5)若lim c 0,则c为常数 n n
二、数列极限的求解问题
4.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为
S
n、Tn，若
Sn Tn
2n ,则lim 3n 1 n
an bn
等于
变式：已知{an}、{bn}都是公差不为零的等差
数列，且lim an 2,则lim a1 a2 an
n bn
lim
n
an
存在，则
lim
n
an
9.若lim f (x 1) 1,则lim x 1
x1 x 1
x1 f (2 2x)
变式1.lim x 2, lim f (2x)
x0 f (3x)
x0 x
10.设 lim ax2 bx 1 3, x1 x 1
求
lim
n
bn an
a n1 b n 1
n
k bn
)
mA
kB
3.对于下列五个命题：
(1)若
lim
n
an
p,
lim
n
bn
r,则lim an b n
n
p r
(2）若lnim(anbn )
pr,则lim n
an
p, lim n
bn
r
(3)若lim n
an
p,则lnim(an )m
pm (m为常数）
(4)若
lim
n
an
p,则lnim(nan )
一、数列极限的概念辨析
1.若
lim
n
an
2
C2, 那么
A.
lim
n
an
c
B.
lim
n
an
c
B.
lim
n
an
| c
|
D.
lim
n
an可能不存在
2.若
lim
n
an
A,
Fra Baidu biblioteklim
n
bn
B, 则
下列各式中必定成立的是
A.
lim
n
(nan
)
nA
B.
lim
n
an
n
An
C.lim an A n bn B
D.
lim (ma
变式3：已知A(0,0), B(a,b), P1是AB中点， P2是BP1中点，P3是P1P2中点，，Pn2是 Pn Pn1中点，则Pn点的极限位置
例7.lim[(2n n
1)an ]
2,则lim n
nan
例8.数列{an}中，a1
1, a2
2, an2
anan1 1 1 3an
(n
N
),
且
的值
变式：f (x)为多项式，且 lim f (x) 4x3 1
x
x2
lim f (x) 5,求f (x) x0 x
n
nb2n
例5.已知an、bn分别是(1 5x)n 和 （4 x)n (3 x)n 展开式中各项的系数和，
则lim bn an n 5an 3bn
变式1：lim Cn1 n
2Cn2
3Cn3 nCnn n 3n
变式2：lim n
c c
osn osn
sinn sinn
1(0
)
2
成立的条件是
A. ( , ]
42
C.
4
B. [0, )
4
D. (0, )
2
例6.已知数列{an}满足Sn
1 3
an
1, 那么
lnim(a2 a4 a2n )
变式1：已知{an}为无穷等比数列，且
lnim(a1
a2
an
)
1 6
,
则首项a1的取
值范围是
变式2:若首项为a1,公比为q的等比 数列{an}的前n项和总小于这个数列 各项和,则首项a1,公比q的一组取值 可以是(a1,q)=
np
(5)若lim c 0,则c为常数 n n
二、数列极限的求解问题
4.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为
S
n、Tn，若
Sn Tn
2n ,则lim 3n 1 n
an bn
等于
变式：已知{an}、{bn}都是公差不为零的等差
数列，且lim an 2,则lim a1 a2 an
n bn
lim
n
an
存在，则
lim
n
an
9.若lim f (x 1) 1,则lim x 1
x1 x 1
x1 f (2 2x)
变式1.lim x 2, lim f (2x)
x0 f (3x)
x0 x
10.设 lim ax2 bx 1 3, x1 x 1
求
lim
n
bn an
a n1 b n 1