初中九年级(初三)数学课件 正弦和余弦
合集下载
冀教版初三数学上册《26.1.2 正弦与余弦》课件
2 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则
sin A的值为( A. 1 2 10 C. 10 ) B.
5 5 D. 2 5 5
（来自《典中点》）
冀教版九年级数学上册
知识点
2
余弦
知2－讲
余弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻 边与斜边的比叫做∠A的余弦， ÐA的邻边 AC = . 记作cos A，即cos A＝ 斜边 AB
解：在Rt△ABC中， ∵ sin A =
BC = 0.6 即 200
∴BC=200×0.6=120.
BC , AC
冀教版九年级数学上册
知1－练
3 1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC 5
＝6，则AB＝( )
A．4
C．8
B．6
D．10
（来自《典中点》）
冀教版九年级数学上册
知1－练
知2－讲
总 结
BC 正弦的定义表达式sin A＝ 可根据解题需要变形为 AB BC BC＝ABsin A或AB＝ sin A AC 余弦的定义表达式cos A＝ 也可变形为 AB AC AC＝ABcos A或AB＝ . cos A
（来自《点拨》）
知2－练
1
如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的 顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图
冀教版九年级数学上册
知2－讲
例2 如图，在Rt△ABC中， ∠C＝ 90°，AC＝12，
BC＝5，求sin A，cos A的值．
导引：在Rt△ABC中，已知两直角边长，可先用勾股定理求 斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A的值． 解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共24张PPT)
本节课你有什么收获呢？
本节课你有什么收获呢？
3.正弦的定义
如图 28-1-2,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角 A
的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sin A,
即
sin
A=
A的对边 斜边
a c
.
1
当∠A=30°时,有 sin A=sin 30°= 2 ;
2
当∠A=45°时,有 sin A=sin 45°= 2 .
图 28-1-8
A. 3
B. 3
C. 4 D. 4
4
5
5
3
4.如图 28-1-9,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,已知 CD=2,AC=3,则 sin B 的值是( C )
图 28-1-9
A. 2
B. 3
C. 3
D. 4
3
2
4
3
5.(江苏中考)如图 28-1-10 所示,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,
九年级(下) 人民教育 数学
意大利的伟大科学家C 伽俐 ．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
1.理解正弦的含义.(难点) 2.会求某个锐角的正弦值,能根据正弦概念进行计算.(重点)
一、知识回顾 1.如图 28-1-1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若 BC=10 m, 则 AB= 20m;若 AB=20 m,则 BC= 10 m.
3
图 28-1-5
A.3
B.4
C.5
D.6
6.如图 28-1-6,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm,sin A= 3 ,
4.1正弦和余弦课件数学九年级上册
(1)求∠ B 的余弦值； 解：由题意得 b＝12(a＋c)．∵a2＋b2＝c2， ∴a2＋14(a＋c)2＝c2， (a＋c)(a－c)＋14(a＋c)2＝0， (a＋c)(54a－34c)＝0. ∵a＋c≠0，∴a＝35c，∴cosB＝ac＝35.
(2) 当 b=20 时， 求 c的值．
解：当 b＝20 时，a＋c＝2b＝40. ∵a＝35c， ∴35c＋c＝40，解得 c＝25.
2 3.
归纳总结
定义
特殊角的 正弦值和 余弦值
正弦和余弦
正弦和 同角 正弦和余 余弦 互余角 弦的关系
特别警示 利用同角三角函数间的关系求三角函数值时， 需注意各个锐角三角函数值的范围，即 0<sin α <1， 0< cosα<1，对于不在其范围内的函数值， 应舍去.
课堂新授
例6
解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解.
3 5
课堂新授
例 7 计算：sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°. 解题秘方：紧扣sin A＝cos(90°－∠A)将原式变形， 再根据sin2A＋cos2A＝1 求解.
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 那么 sin B 的值是_________ ．
解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正 弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边， 直接求得 sin B 的值 .
42
课堂新授
例2
解题秘方：紧扣特殊角的正弦值，直接代入并计算.
课堂新授
例4
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
(2) 当 b=20 时， 求 c的值．
解：当 b＝20 时，a＋c＝2b＝40. ∵a＝35c， ∴35c＋c＝40，解得 c＝25.
2 3.
归纳总结
定义
特殊角的 正弦值和 余弦值
正弦和余弦
正弦和 同角 正弦和余 余弦 互余角 弦的关系
特别警示 利用同角三角函数间的关系求三角函数值时， 需注意各个锐角三角函数值的范围，即 0<sin α <1， 0< cosα<1，对于不在其范围内的函数值， 应舍去.
课堂新授
例6
解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解.
3 5
课堂新授
例 7 计算：sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°. 解题秘方：紧扣sin A＝cos(90°－∠A)将原式变形， 再根据sin2A＋cos2A＝1 求解.
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 那么 sin B 的值是_________ ．
解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正 弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边， 直接求得 sin B 的值 .
42
课堂新授
例2
解题秘方：紧扣特殊角的正弦值，直接代入并计算.
课堂新授
例4
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
最新湘教版九年级数学(初三)上册4.1 正弦和余弦 第1课时正弦课件
丽，感谢你的阅读。 二年7、〇七放二月眼〇十前年二方七日，月只十要二我日们继续，收获的季节就在前方。20.7.1220.7.1220.7.12。2020年7 8月、1熟勇2日读气星唐通期诗往日三天二百堂〇首，二，怯〇不懦年会 通七作往月诗地十也狱二会。日吟09。:050099:0:0550:90:3075.:1023.72.0120.2S0u2n0dSauyn, dJauyly, J1u2l,y21022,02020 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。09:0509:05:037.12.2020Sunday,
2
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题2：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝
∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 BC 与 B'C' 有什么
AB A'B'
关系？你能解释一下吗？
A
A'
α
α
C
C'
B'
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
A
A'
α
α
C
C'
B'
B
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 BC ＝ AB B'C' A'B' 即 BC ＝ B'C' AB A'B'
丽生，活感像谢春你天的一阅样读阳。光，心情像桃花一样美 6Ju、莫ly吾愁1生前2,也路20有无20涯知7/，已12而，/2知天02也下0 无 谁涯人。不识9时君5。分99时时55分分91时2-5Ju分l-1220-7J.u1l2-2.20072.102.2020 丽，感谢你的阅读。 76、纸人生上生命得贵太来相过终知短觉，暂浅何，，用今绝金天知 与 放此钱弃事。了要明20躬天.7.行不12。一20定2.07能..71.得212到02.0。7..719.2时1。2522分00.792.时01年25。分7月210212-2J0日u年l星-72月0期71日.122日二.2星〇02期二0日〇
2
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题2：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝
∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 BC 与 B'C' 有什么
AB A'B'
关系？你能解释一下吗？
A
A'
α
α
C
C'
B'
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
A
A'
α
α
C
C'
B'
B
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 BC ＝ AB B'C' A'B' 即 BC ＝ B'C' AB A'B'
丽生，活感像谢春你天的一阅样读阳。光，心情像桃花一样美 6Ju、莫ly吾愁1生前2,也路20有无20涯知7/，已12而，/2知天02也下0 无 谁涯人。不识9时君5。分99时时55分分91时2-5Ju分l-1220-7J.u1l2-2.20072.102.2020 丽，感谢你的阅读。 76、纸人生上生命得贵太来相过终知短觉，暂浅何，，用今绝金天知 与 放此钱弃事。了要明20躬天.7.行不12。一20定2.07能..71.得212到02.0。7..719.2时1。2522分00.792.时01年25。分7月210212-2J0日u年l星-72月0期71日.122日二.2星〇02期二0日〇
1新北师版初中数学九年级下册精品课件.1.2 正弦和余弦
即 BC = 0.6 200
∴BC=200×0.6=120.
（来自教材》）
知1－练
1 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐 角A的正弦值( A ) A．不变
B．缩小为原来的 1 3
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
（来自《典中点》）
知1－练
2 【中考·日照】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝
1. 2
2 常见错解：方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1, 2
此时忽略了cos α(α为锐角)的取值范围是0＜cos α＜1，而错
得cos α＝2或cos α＝ 1 . 2
请完成《点拨训练》P4-5对应习题！
5
又∵AC＝ AB2 BC2 502 402 30,
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC的面积为 1 BC·AC＝ 1 ×40×30＝600.
2
2
知2－讲
总结
正弦的定义表达式sin A＝
BC AB
可根据解题需要变形为
BC＝ABsin A或AB＝
BC sin A
余弦的定义表达式cos A＝
AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的
是( A )
A. sin A 12 13
B. cos A 12 13
C. tan A 5 12
D. tan B 12 5
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2， ∠A＝α，则AC的长为( D ) A．2sin α B．2cos α C．2tan α D. 2 tanα
AC AB
也可变形为
AC＝ABcos A或AB＝ AC . cos A
∴BC=200×0.6=120.
（来自教材》）
知1－练
1 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐 角A的正弦值( A ) A．不变
B．缩小为原来的 1 3
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
（来自《典中点》）
知1－练
2 【中考·日照】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝
1. 2
2 常见错解：方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1, 2
此时忽略了cos α(α为锐角)的取值范围是0＜cos α＜1，而错
得cos α＝2或cos α＝ 1 . 2
请完成《点拨训练》P4-5对应习题！
5
又∵AC＝ AB2 BC2 502 402 30,
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC的面积为 1 BC·AC＝ 1 ×40×30＝600.
2
2
知2－讲
总结
正弦的定义表达式sin A＝
BC AB
可根据解题需要变形为
BC＝ABsin A或AB＝
BC sin A
余弦的定义表达式cos A＝
AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的
是( A )
A. sin A 12 13
B. cos A 12 13
C. tan A 5 12
D. tan B 12 5
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2， ∠A＝α，则AC的长为( D ) A．2sin α B．2cos α C．2tan α D. 2 tanα
AC AB
也可变形为
AC＝ABcos A或AB＝ AC . cos A
26.1 第2课时 正弦与余弦-2020秋冀教版九年级数学上册课件(共20张PPT)
AB1 AB2
B
等.
B2
B1
A
C1 C C
2
课程讲授
1 正弦与余弦
由于∠C1＝∠C2＝90°，∠A＝∠A， 所以Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2.
即
B1C1 AB1
＝
B2C2 AB2
AC1 AC2
A
AB1 AB2
B B2 B1
C1 C C
2
课程讲授
1 正弦与余弦
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不 管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个 固定值．
弦、余弦和正切，叫作 ∠A的锐角三角函数 .
课程讲授
3 锐角三角函数
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，
求sinA，cosA，tanA的值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：由勾股定理得
AC AB2 BC2 102 62 8
因此
sinA=
BC AB
=
3 5
,
B 10
6
cosA=
AC AB
5
C. 3
4
D. 4
3
课程讲授
2 特殊角的正弦值、余弦值
问题1：根据所学知识，请将下表内容补充完整。
A
2 1 45°
C1
B
A
锐角A 锐角三角函数
sin A
cos A
30°
1 2
3 2
45°
2 2 2 2
60°
3 2
1 2
30° 2 3
C
1B
课程讲授
2 特殊角的正弦值、余弦值
例 求下列各式的值：
(1) cos260°+sin260°；
B
等.
B2
B1
A
C1 C C
2
课程讲授
1 正弦与余弦
由于∠C1＝∠C2＝90°，∠A＝∠A， 所以Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2.
即
B1C1 AB1
＝
B2C2 AB2
AC1 AC2
A
AB1 AB2
B B2 B1
C1 C C
2
课程讲授
1 正弦与余弦
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不 管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个 固定值．
弦、余弦和正切，叫作 ∠A的锐角三角函数 .
课程讲授
3 锐角三角函数
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，
求sinA，cosA，tanA的值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：由勾股定理得
AC AB2 BC2 102 62 8
因此
sinA=
BC AB
=
3 5
,
B 10
6
cosA=
AC AB
5
C. 3
4
D. 4
3
课程讲授
2 特殊角的正弦值、余弦值
问题1：根据所学知识，请将下表内容补充完整。
A
2 1 45°
C1
B
A
锐角A 锐角三角函数
sin A
cos A
30°
1 2
3 2
45°
2 2 2 2
60°
3 2
1 2
30° 2 3
C
1B
课程讲授
2 特殊角的正弦值、余弦值
例 求下列各式的值：
(1) cos260°+sin260°；
《正弦与余弦》PPT课件
【答案】B
6．[中考·丽水]如图，点 A 为∠α 边上的任意一点，作 AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，下列用线段比表示 cos α 的值，错． 误．的是( C ) A．BBDC B．BACB C．AADC D．CADC
7．[2019·芜湖模拟]在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴SS△△BADCOO＝AOOB2，根据反比例函数的几何意义，
得 S△BDO＝0.5，S△ACO＝3，
∴SS△△BADCOO＝AOOB2＝03.5＝6，∴AOOB＝ 6.
设 OB＝x，则 AO＝ 6x，∴AB＝ 7x，
∴cos∠OBA＝OABB＝
x＝ 7x
7 7.
【答案】
7 7
16．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，E 为 AC 的中点，如果 AD＝9，CD＝3，求∠ADE 和∠EDC 的正弦值．
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
6．[中考·丽水]如图，点 A 为∠α 边上的任意一点，作 AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，下列用线段比表示 cos α 的值，错． 误．的是( C ) A．BBDC B．BACB C．AADC D．CADC
7．[2019·芜湖模拟]在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴SS△△BADCOO＝AOOB2，根据反比例函数的几何意义，
得 S△BDO＝0.5，S△ACO＝3，
∴SS△△BADCOO＝AOOB2＝03.5＝6，∴AOOB＝ 6.
设 OB＝x，则 AO＝ 6x，∴AB＝ 7x，
∴cos∠OBA＝OABB＝
x＝ 7x
7 7.
【答案】
7 7
16．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，E 为 AC 的中点，如果 AD＝9，CD＝3，求∠ADE 和∠EDC 的正弦值．
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
新湘教版九年级上4.1正弦和余弦第3课时余弦课件ppt
（３） sin260cos260.
解
（１） sin230cos2301 22 2
2
2321.
（２）
sin245cos245
2 2
2 2
1.
（３）sin260cos260
2321 221.
考虑
对于任意角α是不是总有
sicos 键:
例如：求cos16°,cos42°的值.
4.1 正弦和余弦 第3课时 余 弦
探究
如图，△ABC 和 △DEF都是直角三角形，
它们都有一个锐角等于α，即∠D =∠A = α．在
Rt △ABC 中， ∠A的相邻的直角边（简称邻边）
为AC，斜边为AB；在Rt △DEF中，∠D的邻边
为DF，斜边为DE．
D
问 A C D F ．成立吗？
AB DE
α
分析 ∠B =90°－α＝∠E ，
B F
E
AC 是∠B的对边，DF是∠E的对边，
依据正弦定理
sinBACsinEDF. C
AB
DE
α
A
结论成立
这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形 中，角α的邻边与斜边的比值等于角90°－α的对边与 斜边的比值．
定义 在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α
B
答案：co s A 6 , co s B 3 , s i n A 3 ,s in B 6 .
3
3
3
3
3 ．对于任意锐角α， 0 ＜ cos ＜1
都有你能说出道理吗？
答案： ∵
cos AC ,
AB
AC＜AB
∴
C
A
0＜ cos＜1．
4．求下列各式的值
苏科版数学九年级下7.2锐角三角函数—正弦、余弦课件(共16张PPT)
B
在△ABC中, ∠C=90°.
A C
我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦,记作sinA. 我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦,记作cosA.
∠A的对边 a sinA = = 斜边 c
∠A的邻边 b cosA = = 斜边 c
整合提升
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D若AC= 5 BC=2 ， 求∠A的三角函数值和sin∠ACD的值.
AD 4 tan B . BD 3
个性展示
3. 在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求: △ABC 的周长和面积
5 4 .在△ABC中，∠C=90°，sinA= 13 ，△ABC的周长
为60，求△ABC的面积。
课堂小结
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数
例1.根据图中数据,分别求出∠A, ∠B 的正弦,余弦.
A
C
3
C
3
4 ①
B
A
4 ②
B
已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D
(1)sinA ( AC ) BC (
( AB
A
)
)
C D B
CD (2)sinB ( )
(3)cosACD
(4)tanA CD (
CD (
( AC
)
, cosBCD
) , tanB (
( BC
)
)
A计算器 ,求值（精确到0.01）:
α sinα 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º
0.17 0.34 0.5 0.87 0.64 0.77 0.77 0.64 0.87 0.5 0.94 0.34 0.98 0.17
在△ABC中, ∠C=90°.
A C
我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦,记作sinA. 我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦,记作cosA.
∠A的对边 a sinA = = 斜边 c
∠A的邻边 b cosA = = 斜边 c
整合提升
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D若AC= 5 BC=2 ， 求∠A的三角函数值和sin∠ACD的值.
AD 4 tan B . BD 3
个性展示
3. 在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求: △ABC 的周长和面积
5 4 .在△ABC中，∠C=90°，sinA= 13 ，△ABC的周长
为60，求△ABC的面积。
课堂小结
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数
例1.根据图中数据,分别求出∠A, ∠B 的正弦,余弦.
A
C
3
C
3
4 ①
B
A
4 ②
B
已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D
(1)sinA ( AC ) BC (
( AB
A
)
)
C D B
CD (2)sinB ( )
(3)cosACD
(4)tanA CD (
CD (
( AC
)
, cosBCD
) , tanB (
( BC
)
)
A计算器 ,求值（精确到0.01）:
α sinα 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º
0.17 0.34 0.5 0.87 0.64 0.77 0.77 0.64 0.87 0.5 0.94 0.34 0.98 0.17
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共32张PPT)
A
C 30°
1.5
D
10
B
例 操场有一旗杆,老师让小明去测量旗杆高度.小明站在 离旗杆底部10米的位置,目测旗杆的顶部,视线与水平线的 夹角为30度,并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆 的高度了.你知道小明怎样算出的吗？
A
C 30°
1.5
D
10
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
你知道小明怎样算出的吗？ ∵CD⊥DB，AB⊥DB
三角形
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.
初三的学习既是机遇也是挑战，只有团结一致，相互帮助，互相追赶，才能到达理想的彼岸。
过点C作CH⊥AB于点H
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
锐角三 ∴CH=DB=10,HB=CD=1.
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
作业布置：课本78页 7、8、9
谢谢聆听！
∠ACH＝30°，CD=1.5
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
∠ACH＝30°，CD=1.5
过点C作CH⊥AB于点H
？
H
B
A
解：由题意可知：DB＝10，
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
∠ACH＝30°，CD=1.5
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.Leabharlann C1.53300°°
D
10
A
？
H B
解：由题意可知：DB＝10， ∠ACH＝30°，CD=1.5
C 30°
1.5
D
10
B
例 操场有一旗杆,老师让小明去测量旗杆高度.小明站在 离旗杆底部10米的位置,目测旗杆的顶部,视线与水平线的 夹角为30度,并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆 的高度了.你知道小明怎样算出的吗？
A
C 30°
1.5
D
10
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
你知道小明怎样算出的吗？ ∵CD⊥DB，AB⊥DB
三角形
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.
初三的学习既是机遇也是挑战，只有团结一致，相互帮助，互相追赶，才能到达理想的彼岸。
过点C作CH⊥AB于点H
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
锐角三 ∴CH=DB=10,HB=CD=1.
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
作业布置：课本78页 7、8、9
谢谢聆听！
∠ACH＝30°，CD=1.5
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
∠ACH＝30°，CD=1.5
过点C作CH⊥AB于点H
？
H
B
A
解：由题意可知：DB＝10，
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
∠ACH＝30°，CD=1.5
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.Leabharlann C1.53300°°
D
10
A
？
H B
解：由题意可知：DB＝10， ∠ACH＝30°，CD=1.5
九下数学课件正弦、余弦(课件)
键，再按度的数字键，再按
按秒的数字键，再按
，最后
键，按分的数字键，再按
依次按键；
3.利用计算器计算锐角的余弦值的步骤与求正弦值的步骤大致相同.
，
题型 用计算器计算锐角三角函数值
【例5】利用计算器求下列正弦值或余弦值(精确到0.01).
(1)sin 72°； (2)cos 11° 22′ 30″．
解：(1)sin 72°≈ 0.95.
AB
3 3 10
AC 1
10
， cosA= =
，
=
=
10
AB
10
10
10
1
10
BC 3 3 10
，cosB= =
；
=
=
10
AB
10
10
10
如图(2)，
∵ DF=4，EF=3，∴ DE= 7，
DE 7
EF 3
∴sinF= = ，cosF= = ，
DF 4
DF 4
EF 3
DE 7
，
sinD= =
cosD= = .
(1)平方关系：sin2A+cos2A=1.
sinA
(2)商除关系：
=tanA.
cosA
4. 互余两角的三角函数之间的关系
sinA=cos(90°－∠ A).
cosA=sin(90°－∠ A).
tanA•tan(90°－∠ A)=1.
题型一 比较函数值的大小
【例3】比较大小：
＞
＜
(1)cos35°___cos45°，tan50°___tan60°；
DF 4
DF 4
题型一 求一个角的正弦或余弦值
按秒的数字键，再按
，最后
键，按分的数字键，再按
依次按键；
3.利用计算器计算锐角的余弦值的步骤与求正弦值的步骤大致相同.
，
题型 用计算器计算锐角三角函数值
【例5】利用计算器求下列正弦值或余弦值(精确到0.01).
(1)sin 72°； (2)cos 11° 22′ 30″．
解：(1)sin 72°≈ 0.95.
AB
3 3 10
AC 1
10
， cosA= =
，
=
=
10
AB
10
10
10
1
10
BC 3 3 10
，cosB= =
；
=
=
10
AB
10
10
10
如图(2)，
∵ DF=4，EF=3，∴ DE= 7，
DE 7
EF 3
∴sinF= = ，cosF= = ，
DF 4
DF 4
EF 3
DE 7
，
sinD= =
cosD= = .
(1)平方关系：sin2A+cos2A=1.
sinA
(2)商除关系：
=tanA.
cosA
4. 互余两角的三角函数之间的关系
sinA=cos(90°－∠ A).
cosA=sin(90°－∠ A).
tanA•tan(90°－∠ A)=1.
题型一 比较函数值的大小
【例3】比较大小：
＞
＜
(1)cos35°___cos45°，tan50°___tan60°；
DF 4
DF 4
题型一 求一个角的正弦或余弦值
湘教版九年级(初三)数学上册正弦和余弦_课件1
3.学习角a的正弦函数时，用到了什么主要的数学思想方法？
中考试题
1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正
弦函数值（ A ）
A．不变 C．扩大为原来的3倍
1 B．缩小为原来的 3
D．不能确定
中考试题
．
2.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA( B )
10 A． 10
AC DF = ∠A ＝ ∠D ＝α ，∠C =∠F = 90°，则 AB DE
成立吗？ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么？
∵ ∠A =∠D =α， ∠C =∠F = 90°， ∴ ∠ B =∠ E .
从而sinB = sinE.
AC DF = AB DE
归纳
通过上面问题的探讨，谈谈收获是什么？ 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，对于
锐角α的每一个确定的值, 角α的对边与斜边的比都
有唯一确定的值与它对应， 所以可把角α的对边与斜
边的比值看成角α的函数.
结论
定义 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边 的比叫作角α的正弦函数，记作sinα，即 角 的对边 sin= 斜边
.
说明
角 的对边 sin= 斜边
正弦和余弦
上图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法测 量出该塔的高度吗？测量高度或者距离之类的问题，一般 可以用本章锐角三角函数的知识来解决．
问题一
画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65° 角的对边长度和斜边长度，计算
650 的对边 =? 斜边
与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是相等 （精确到0.01）的吗？
通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角
（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角α 的正弦值，则可以利用计算器来求. 例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键，
九年级数学初三上册(湘教版)4.1 正弦和余弦 课件
课堂小结
1.锐角的余弦的概念. 2.熟记：30°,45°,60°这些特殊角的正弦余弦值 . 3.理解：0°~90°间正弦值、余弦值的变化规律：
（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1；
（2）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增 加反而减小.
亲爱的读者：
1、生盛活年不相重信来眼，泪一，日眼难泪再并晨不。代及表时软宜弱自。勉，20岁.7.月14不7.待14人.2。02。02200:.371.12407:3.114:4.210J2u0l-20:2301:2301:31:41Jul-2020:31
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
新课引入
画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出 65° 角的对边长度和斜边长度，计算：
65角的对边
斜边 =
=
与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值 是否相等（精确到0.01）.
如图，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形， 其中∠A=∠A′= 65°， ∠C=∠C′= 90°.
（1）
（2）
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
于是 AB= 2BC.
因此
sin45
=
BC AB
=
BC = 2BC
1= 2
2 2
.
如何求 sin 60°的值？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
操作：
1.建立一个直角坐标系； 2.以原点为圆心，选取适当的长度为一个单位长度 ， 作出在第一象限内的圆弧。 3.把一个点从原点出发，沿着50°线移动一个单位的 长度到达圆弧上。 4.请你量出这个点在竖直方向上升的长度和水平方向前 进的长度。
你能利用上面的操作计算出50°正弦和余弦值吗？
几何画板链接
2.sinA,cosA,tanA是一个比值（数值）.
3.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关.
课后作业 探究与训练：P162练习与评 价
再见
实践与探索
如图，小明沿着斜坡向上行走了13m，
他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜
坡行走了20m，那么他的相对位置升高了
多行少走？了a m呢？
P1
P
5m
O
M
M1
在上面的情形中，小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少？
Rt△OPM∽Rt△OP1M1
B P1
P
O
M
M1
A
所以
PM = OP
P1M1 OP1
苏科版九年级数学(下)第七章
7.2 正弦、余弦（1）
徐州市第三十六中学
复习回顾
如果直角三角形的 一个锐角的大小确定, 那么这个锐角的对边 与邻边的比值也确定.
在Rt△ABC中, ∠A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切,记作tanA,即
tanA=A的对边
A的邻边
=
a b
想一想
当直角三角形的一个锐角的大小确定时， 其对边与斜边、邻边与斜边的比值也是惟 一确定的吗？
小结 回顾
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA=A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA=A的对边
A的邻边
=
a b
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.
回味 无穷 ▪ 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
B D
A
C
(1) sinA =
(CD) =
AC
BC
(AB )
(2) sinB=
(AC )
AB
=
CD
(BC )
试一试：
B D
A
C
( CD )
(3) cos ∠ACD = AC
CD cos ∠BCD =
(BC )
(4) tanA=
( CD )
AD
=
BC
(AC )
( CD )
tanB= BD
=
AC
(BC )
试一试：
2.根据下面图中所给出的条件，求锐角A 、B 的正弦、余弦值。
A
① 1 C
B 3
C
3
② A
B 4
试一试：
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边
同时扩大100倍,sinA的值（ C）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
B
┌
A
C
思考： 怎么计算任意一个锐角的正弦、余弦值呢？
OM = OM1 O P OP1
可见：如果直角三角形的一个锐角的大小确 定,那么它的对边与斜边的比值、邻边与斜边 的比值也就确定.
正弦的定义
在△ABC中, ∠C＝90º.我们把锐角A的对边
a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
余弦的定义
在△ABC中, ∠C＝90º.我们把锐角A的邻边
b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
cosA=A的邻边 = b
A的斜边
c
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA=A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA=A的对边
A的邻边
=
a b
锐角A的正弦、余弦、正切ห้องสมุดไป่ตู้是∠A的三角函数.
试一试：
1.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 指出∠A和∠B的对边、邻边.
1.建立一个直角坐标系； 2.以原点为圆心，选取适当的长度为一个单位长度 ， 作出在第一象限内的圆弧。 3.把一个点从原点出发，沿着50°线移动一个单位的 长度到达圆弧上。 4.请你量出这个点在竖直方向上升的长度和水平方向前 进的长度。
你能利用上面的操作计算出50°正弦和余弦值吗？
几何画板链接
2.sinA,cosA,tanA是一个比值（数值）.
3.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关.
课后作业 探究与训练：P162练习与评 价
再见
实践与探索
如图，小明沿着斜坡向上行走了13m，
他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜
坡行走了20m，那么他的相对位置升高了
多行少走？了a m呢？
P1
P
5m
O
M
M1
在上面的情形中，小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少？
Rt△OPM∽Rt△OP1M1
B P1
P
O
M
M1
A
所以
PM = OP
P1M1 OP1
苏科版九年级数学(下)第七章
7.2 正弦、余弦（1）
徐州市第三十六中学
复习回顾
如果直角三角形的 一个锐角的大小确定, 那么这个锐角的对边 与邻边的比值也确定.
在Rt△ABC中, ∠A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切,记作tanA,即
tanA=A的对边
A的邻边
=
a b
想一想
当直角三角形的一个锐角的大小确定时， 其对边与斜边、邻边与斜边的比值也是惟 一确定的吗？
小结 回顾
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA=A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA=A的对边
A的邻边
=
a b
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.
回味 无穷 ▪ 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
B D
A
C
(1) sinA =
(CD) =
AC
BC
(AB )
(2) sinB=
(AC )
AB
=
CD
(BC )
试一试：
B D
A
C
( CD )
(3) cos ∠ACD = AC
CD cos ∠BCD =
(BC )
(4) tanA=
( CD )
AD
=
BC
(AC )
( CD )
tanB= BD
=
AC
(BC )
试一试：
2.根据下面图中所给出的条件，求锐角A 、B 的正弦、余弦值。
A
① 1 C
B 3
C
3
② A
B 4
试一试：
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边
同时扩大100倍,sinA的值（ C）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
B
┌
A
C
思考： 怎么计算任意一个锐角的正弦、余弦值呢？
OM = OM1 O P OP1
可见：如果直角三角形的一个锐角的大小确 定,那么它的对边与斜边的比值、邻边与斜边 的比值也就确定.
正弦的定义
在△ABC中, ∠C＝90º.我们把锐角A的对边
a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
余弦的定义
在△ABC中, ∠C＝90º.我们把锐角A的邻边
b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
cosA=A的邻边 = b
A的斜边
c
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA=A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA=A的对边
A的邻边
=
a b
锐角A的正弦、余弦、正切ห้องสมุดไป่ตู้是∠A的三角函数.
试一试：
1.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 指出∠A和∠B的对边、邻边.