第二章线性规划的对偶理论总结
《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
b2 bm
x1, x2 , , xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 y1 c1
am2 y2 amn ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0， x2 0， x3无 约 束
（2.4a） （2.4b） （2.4c） （2.4d）
先转换成对称形式，如下：
的 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
定
义
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1n xn (,)b1
a2
1x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2 x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
问 题 的 导 出
例2-1
我们引用第一章中美佳公司的例子，如表1
的
x1, x2, , xn 0
对
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
线性规划中的对偶规划模型及对偶理论
MaxZ 2x1 x2
s.t.53xx11
4x 2x
2 2
15 10
x1, x2 0
MinW 15y1 10y2
3y1 5y2 2 s.t.4y1 2y2 1
y1, y2 0
2、非对称形式的对偶关系：
（1） 原问题
n
MaxZ c j x j j 1 n
s.t. j1 aij x j bi i 1,2, , m x j 0 j 1,2, , n
(特点：等式约束)
对偶问题
m
MinW bixi i 1
m
s.t. i1 aij yi 来自cjj 1,2, ,n
yi符号不限， i 1,2, ,m
（特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置）
（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？ 把一个等式约束写成两个不等式约束， 再根据对称形式的对偶关系定义写出；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7
s.t.182x1x191x32 x2
10x3 14
11
x1 0, x2符号不限, x3 0
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
MaxW 7 y1 11y2 14y3 MaxW 7 y1 11y2 14y3
x2
第二章 线性规划的对偶理论
对偶问题： Min f = 65 y1 + 40 y2 + 75 y3
s.t. 3y1 + 2 y2
y1, y2 , y3
min
≥1500
≥ 0
2y1 + y2 + 3y3 ≥2500
b=
65 40 75
A=
3 2
2 1
0 3
b=
1500 2500
1500 2500
例：
Min z= 5x1+ 25x2 7x1+ 75x2 ≤98 s.t. 5x1 + 6x2 = 78 24x1+ 12x2≥54 x1≥0 、x2 ≤ 0
怎么样， 没问题吧！
Max w= 98y1+ 78y2 + 54y3 7y1+ 5y2 + 24y3 ≤ 5 s.t. 75y1+ 6y2 + 12y3 ≥25 y1 ≤ 0 、y2无限制、 y3≥0
二、对偶规划问题的求解
1、利用原问题的最优单纯形表
3x1 x2 3x3 ≤100 x1, x2 , x3 ≥0 解: 对偶问题为
min w 100y1 100y2
max z 4 x1 3x2 7 x3 s.t. x1 2 x2 2 x3≤100
s.t.
2 y1 y2 ≥3 2 y1 3 y2≥7
原问题检验数与对偶问题的解的总结
•在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值 •容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问 题对应变量的检验数的绝对值 •由于原问题和对偶问题是相互对偶的，因此对偶问题 的检验数与原问题的解也有类似上述关系。 •更一般地讲，不管原问题是否标准，在最优解的单纯 型表中，都有原问题虚变量(松弛或剩余) 的检验数对应 其对偶问题实变量 (对偶变量)的最优解，原问题实变量 (决策变量) 的检验数对应其对偶问题虚变量 (松弛或剩 余变量)的最优解。因此，原问题或对偶问题只需求解 其中之一就可以了。
第二章线性规划的对偶理论
2.1 写出线性规划问题的对偶问题，并进一步写出其对偶问题的对偶问题(a) min z=2x1+2x2+4x3(b) max z=5x1+6x2+3x3s.t. x1+3x2+4x3≥2 s.t. x1+2x2+2x3=52x1+x2+3x3≤3 -x1+5x2-3x3≥3x1+4x2+3x3=5 4x1+7x2+3x3≤8x1, x2≥0, x3无约束x1无约束,x2≥0, x3≤0解：(a)对偶问题的原问题为max w=2y1+3y2+5y3s.t. y1+2y2+y3≤23y1+y2+4y3≤24y1+3y2+3y3=4y1≥0, y2≤0, y3无约束(b)原问题的对偶问题为min w=5y1+3y2+8y3s.t. y1-y2+4y3=52y1+5y2+7y3≥62y1-3y2+3y3≤3y1无约束, y2≤0, y3≥02.3 已知线性规划问题：max z=x1+x2s.t. -x1+ x2+ x3 ≤2-2x1+x2- x3 ≤1x1, x2, x3≥0试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。
解：原问题的对偶问题为min w=2y1+ y2s.t. -y1- 2y2 ≥12y1+ 5y2 ≥1y1- y2 ≥0y1, y2≥0由于约束条件3可得y1-y2 ≥0 →y1≥y2 →-y1≤-y2 且y2≥0所以-y1-2y2 ≤-3y2≤0 （1）由于约束条件1可得-y1- 2y2 ≥1 （2）（1）（2）不等式组无解所以其对偶问题无可行解,又知点X=(1,1,1)为原问题一个可行解,即原问题有可行解, 现在其对偶问题无可行解。
根据对偶理论性质3原问题无界.2.4 已知线性规划问题：max z=2x 1+4x 2+ x 3+x 4 s.t. x 1+ 3x 2 +x 4 ≤8 2x 1+ x 2 ≤6 x 2+ x 3 +x 4 ≤6 x 1+ x 2+ x 3 ≤9 x j ≥0 (j=1,…4)要求(a)写出其对偶问题;(b)已知原问题最优解X=(2,2,4,0),试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解. 解:对偶问题: min w=8y 1+ 6y 2+6y 3+9 y 4 s.t. y 1+ 2y 2 +y 4 ≥2 3y 1+ y 2 + y 3 +y 4 ≥4 y 3+ y 4 ≥1 y 1 +y 3 ≥1 y 1, y 2,y 3, y 4≥0将最优解X=(2,2,4,0)代入原问题的约束条件得: x 1+ 3x 2 +x 4 =8 2x 1+ x 2 =6 x 2+ x 3 +x 4 =6 x 1+ x 2+ x 3 =8<9根据对偶理论性质5， 如果∑=<ni i j ij b xa 1ˆ，则0ˆ=i y 。
第二章 线性规划的对偶理论
第二章 线性规划的对偶理论随着线性规划应用的逐步深入，人们发现线性规划有一个有趣的特性，就是每一个线性规划问题都存在另一个与之配对、两者有密切联系的线性规划问题.称其中一个为原问题，则另一个被称为对偶问题，这个特性称为线性规划的对偶性，这不仅仅是数学上具有的理论问题，由对偶问题引伸出来的对偶解有着重要的经济意义，也是经济学中重要的概念与工具之一. 对偶理论充分显示出线性规划理论逻辑上的严谨性与结构上的对称性，它是线性规划理论的重要成果.§1 对偶问题的提出一、对偶问题的实例在第一章的例1.1中，讨论了某工厂资源的合理利用问题，建立了LP 问题模型： 2125001500max x x z += s.t. 2123x x +≤65 212x x +≤4023x ≤75 （2.1） 21,x x ≥0已知最优解为：70000,25,5**2*1===z x x .现从另一个角度考虑这个问题.假定该厂的决策者考虑自己不生产甲、乙两种产品，而把原拟用于生产这两种产品的资源A,B,C 全部出售给外单位，则应如何确定这三种资源的价格.显然，该厂的决策者要考虑两个原则：第一，每种资源所收回的费用应不低于自己生产时可获得的利润；第二，定价不能太高，要对方容易接受.设321,,y y y 分别表示三种资源出售的价格，则由第一个原则，应有如下约束条件： 2123y y +≥1500 32132y y y ++≥2500 321,,y y y ≥0而把原拟用于生产甲、乙产品的三种资源全部售出，总收入为： 321754065y y y w ++=当然，对厂方而言，w 越大越好，但根据第二个原则，在保证上述条件下，应考虑使总收入即对方的总支出尽可能少才比较合理，因为只有这样，厂方不会吃亏，对方也容易接受.于是，该问题的数学模型归结为：321754065min y y y w ++= s.t. 2123y y +≥150032132y y y ++≥2500 （2.2） 321,,y y y ≥0这也是一个LP 问题，用单纯形法解之得最优解为：500,0,500*3*2*1===y y y及相应的目标函数最优值 *w =70000.如果称（2.1）给出的LP 问题为原问题，则称（2.2）式为（2.1）式的对偶问题.二、对偶问题的形式以上从一个资源利用问题，引出了对资源的估价问题，得到了对偶规划.原问题与其对偶问题之间通常有三种不同的关系形式，以下将原问题记作（P ）问题，对偶问题记作（D ）问题.1、对称型对偶问题 定义2.1 设原LP 问题为n n x c x c x c z +++= 2211max s.t. n n x a x a x a 1212111+++ ≤1bn n x a x a x a 2222121+++ ≤2b （2.3） ………………n m n m m x a x a x a +++ 2211≤m b j x ≥0 （n j ,,2,1 =） 则称下列LP 问题m m y b y b y b w +++= 2211min s.t. m m y a y a y a 1212111+++ ≤1cm m y a y a y a 2222121+++ ≤2c （2.4） ………………m m n n n y a y a y a +++ 2211≤n c i y ≥0 （m i ,,2,1 =）为其对偶问题.其中i y （m i ,,2,1 =）称为对偶变量，并称（2.3），（2.4）为一对对称型对偶问题.如果用矩阵形式来表示模型（2.3），（2.4），则可更清楚地看出两者之间的对称性. cx z =max（P ） s.t. Ax ≤b （2.5） x ≥0 yb w =min（D ） s.t. yA ≤c （2.6） y ≥0其中),,,(21m y y y y =是一行向量.即（P ）问题求极大化，（D ）问题求极小化；（P ）的约束为“≤”，（D ）的约束为“≥”；（P ）的价值系数c ，在（D ）中成为约束右端项；（P ）的约束右端项b ，在（D ）中恰好价值系数；在（P ）中，约束方程左端为Ax ，而在（D ）中，约束方程左端为yA ，决策变量x 、对偶变量y 都是非负的.例2.1 写出（P ）问题321432max x x x z +-= s.t. 321532x x x -+≥2 32173x x x ++≤3 32164x x x ++-≥5 j x ≥0 （ j = 1,2,3） 的（D ）问题.解：首先将问题化为式（2.3）的形式：321432max x x x z +-= s.t. 321532x x x +--≤－2 32173x x x ++≤3 32164x x x --≤－5 j x ≥0 （ j = 1,2,3） 再根据定义2.1，写出其（D ）问题：321532min y y y w -+-= s.t. 32132y y y ++-≥2 32143y y y -+-≥－3 321675y y y -+≥4 i y ≥0 （i = 1,2,3） 2、非对称型对偶问题如果原问题是LP 问题的标准形式，则其对偶问题形式是怎样呢？记（P ）问题为cx z =maxs.t. Ax =b （2.7） x ≥0为了利用对称型（D ）问题的结论，先将问题（2.7）等价地化为：cx z =max s.t. Ax ≤b Ax -≤－b x ≥0再引入对偶向量（u ,v ），其中),,,(21m u u u u =为对应于第一组不等式约束Ax ≤b 的对偶变量，),,,(21m v v v v =为对应于第二组不等式约束Ax -≤－b 的对偶变量，按对称型的结论，可写出其（D ）问题为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=b b v u w ),(min s.t. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-A A v u ),(≥c u ,v ≥0 即 b v u w )(min -= s.t. A v u )(-≥c u ,v ≥0令 v u y -=为m 维行向量，则以上模型又可写成： yb w =mins.t. yA ≥ c （2.8） y 无符号限制将问题（2.7）与问题（2.8）称为一对非对称型的对偶问题.要注意的是：（P ）问题（2.7）中约束为等式，则其（D ）问题（2.8）中对偶变量无符号限制.例2.2 写出（P ）问题32123max x x x z --= s.t. 6323321=-+x x x 42321=+-x x x j x ≥0 （ j = 1,2,3） 的（D ）问题.解：由式（2.8）知其（D ）问题为 214min y by w += s.t. 213y y +≥3 2122y y -≥－1 213y y +-≥－2 21,y y 无符号限制 3、混合型对偶问题 考虑更一般的LP 问题:2211max x c x c z += s.t. 212111x A x A +≤1b2222121b x A x A =+ （2.9） 232131x A x A +≥3b1x ≥0，2x 无符号限制其中ij A 为j i xn m 矩阵，i b 为i m 维列向量，j c 为j n 维行向量，j x 为j n 维列向量，i = 1,2,3；j = 1,2，且m m m m =++321，n n n =+21.为利用非对称型（D ）问题的结论，令22212x x x -=0,2221≥x x ，引入松弛变量 t s x x ,，其中t s x x ,分别为 31,m m 维列向量. 将问题（2.9）化为标准形式：)(max 2221211x x c x c z -+=s.t. 1222112111)(b x I x x A x A s s =+-+ 2222122121)(b x x A x A =-+3222132131)(b x I x x A x A t t =--+ t s x x x x x ,,,,22211≥0再按式（2.8）写出它的（D ）问题为332211min y b y b y b w ++= s.t. 313212111A y A y A y ++≥1c 323222121A y A y A y ++≥2c 333222121A y A y A y ---≥－2c s I y 1≥0， t I y 3-≥0 即 332211min y b y b y b w ++= s.t. 313212111A y A y A y ++≥1c323222121A y A y A y ++=2c （2.10） 1y ≥0，2y 无符号限制，3y ≤0将问题（2.9）与问题（2.10）称为一对混合型对偶问题.从以上三种形式的对偶关系中，可以总结（P ）问题与（D ）问题相关数据之间的联系，即对偶规则见表2-1.显然，有了对偶规则表2-1，则上述任一形式的问题的对偶问题都可以直接利用表2-1得到.例2.3 写出（P ）问题43212max x z += s.t. 4321234x x x x +-+≥5421723x x x +-≤4 64324321=++-x x x x 1x ≤0，32,x x ≥0，4x 无符号限制 的（D ）问题.解：根据对偶规划表2-1，可直接写出上述（P ）问题的（D ）问题. 321645min y y y w ++= s.t. 321234y y y -+≤2 32132y y y +-≥3 3143y y +-≥－5 172321=++y y y1y ≤0，2y ≥0，3y 无符号限制§2 对偶问题的基本性质这一节给出对偶问题的一些性质，为叙述方便，仅在对称形式下即对（P ）问题：（D ）问题： cx z =max yb w =min s.t. Ax ≤ bs.t. yA ≥ cx ≥ 0y ≥ 0讨论.对其它形式的对偶问题也有类似结论，请读者给出并加以证明.一、对偶规划的若干问题定理2.1（对称性定理） 对偶问题的对偶是原问题. 证明： 先将（D ）问题化成原问题形式 TT y b w )('max -= s.t. T T y A )(-≤Tc - Ty ≥0由定义2.1设Tx 为它的对偶变量，写出它的对偶问题.)('min T T c x z -=s.t. )(T T A x -≥Tb -Tx ≥0即 cx z =max s.t. Ax ≤b x ≥0这就是（P ）问题. 证毕. 根据对称性定理，在一对对偶问题中，可以把其中任何一个称为原问题，则另一个称为其对偶问题.定理2.2（弱对偶定理） 设0x 和0y 分别是（P ）问题和（D ）问题的可行解，则必有0cx ≤b y 0.证明： 因为0x 是（P ）问题的可行解，故必有0Ax ≤b ，0x ≥0 （2.11）又0y 是（D ）问题的可行解，于是有A y 0≥ c ，0y ≥0 （2.12） 用0y 左乘不等式（2.11）两边，得 00Ax y ≤b y 0 用0x 右乘不等式（2.12）两边，得 00Ax y ≥0cx从而有 0cx ≤b y 0 证毕. 推论2.1 如果*x 和*y 分别是（P ）问题和（D ）问题的可行解，且*cx =b y *，则*x 、*y 分别是（P ）问题和（D ）问题的最优解.证明： 由定理2.2知，对于（P ）问题的任意一个可行解x ，必有 cx ≤b y *但*cx =b y *，故对（P ）问题的所有可行，有 cx ≤*cx 由定义知，*x 为（P ）问题的最优解.同理可证，*y 是（D ）问题的最优解. 证毕. 推论2.2 在一对对偶问题中，如果其中一个问题可行，但目标函数无界，则为另一个问题不可行.证明： 用反证法.设（P ）问题可行，但目标函数无界，而（D ）问题可行，即存在可行解0y ，则由定理2知对（P ）问题的任一可行解x 有 cx ≤b y 0即 （P ）问题的目标函数有上界，与条件矛盾. 证毕. 注意推论2.2的逆命题不一定成立，当（P ）问题（（D ）问题）无可行解时，其（D ）问题（（P ）问题）或具有无界解或无可行解.推论2.3 如果一对对偶问题都有可行解，则它们都有最优解.证明： 设0x 、0y 分别是（P ）问题与（D ）问题的可行解，对（P ）问题的任一可行解x ，由定理2.2知，必有cx ≤b y 0，即对于求极大值（P ）问题，目标函数值有上界，故必有最优解，同理，对（D ）问题的任一可行解y 有0cx ≤yb ，即对于求极小值的（D ）问题，目标函数值有下界，故必有最优解. 证毕.定理2.3（对偶定理） 如果（P ）问题（（D ）问题）有最优解，那么（D ）问题（（P ）问题）也有最优解，且目标函数值相等.证明： 先证明当（P ）问题有最优解时，（D ）问题也有最优解.设 *x 是（P ）问题的最优解，它对应的基矩阵为B ，引入松弛变量T m n n n s x x x x ),,,(21+++= ，将（P ）问题化为标准形式s ox cx z +=max s.t. b Ix Ax s =+ s x x ,≥0显然，该问题也有最优解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=***s x x x由第一章定理1.7（最优性判别定理）必有检验数 ),(),,(1I A B c o c B -=σ≤0 令1*-=B c y B ，则有),(**y A y c --≤0， 即 A y *≥c *y ≥0.这表明1*-=B c y B 是（D ）问题的可行解，对应的目标函数值为： b B c b y w B 1**-==又因为*x 是（P ）问题的最优解，其目标函数的值为 b B c cx z B 1**-== 所以有 b y b B c cx B *1*==-.则由推论2.1知（D ）问题有最优解，且两者的目标函数的最优值相等.同理可证，当（D ）问题有最优解时，（P ）问题也有最优解且目标函数相等. 证毕. 推论2.4（单纯形乘子定理） 如果（P ）问题有最优解，最优基为B ，则1*-=B c y B 就是（D ）问题的一个最优解.证明： 由定理2.3的证明过程，已得到此推论的结论.推论 2.5 对于对称形式的（P ）问题，如果有最优解，则在其最优单纯形表中，松弛变量m n n n x x x +++,,,21 的检验数),,,(21m n n n +++σσσ 的负值即为（D ）问题的一个最优解.证明： 当（P ）问题取得最优解时，有),,,(),,,(),,,(2112121m n n n B m n n n m n n n P P P B c c c c +++-++++++-= σσσ 已知 021====+++m n n n c c c ，I P P P m n n n =+++),,,(21如果记 ),,,(**2*11*m B y y y B c y ==-则 **21)0,,0,0(),,,(y I y m n n n -=-=+++ σσσ 式 ),,,(21*m n n n y +++---=σσσ由推论2.4可知，*y 是（D ）问题的一个最优解. 证毕.在矩阵形式的最优单纯形表上更能清楚地得到推论2.5的结论.设松弛变量为初始可行基对应的基变量，B 为最优基，表2-2表示（P ）问题的初始单纯形表，表2-3表示（P ）问题的最优单纯形表.在表2-3中，还可以看到在约束方程的系数矩阵中，松弛变量对应的m ×m 子矩阵中，记录了最优基矩阵B 的逆矩阵1-B ，它在灵敏度分析中是很有用的.综上所述，（P ）问题与（D ）问题的解之间只有以下三种可能的关系：（1）两个问题都有可行解，从而都有最优解，分别设为**,y x ，则必有****w b y cx z ===； （2）一个问题为无界解，另一个问题必无可行解； （3）两个问题都无可行解.定理2.4（互补松弛定理） 设*x 和*y 分别是（P ）问题和（D ）问题的可行解，则它们分别是（P ）、（D ）问题的最优解的充要条件是：0)(**=-Ax b y ；0)(**=-x c A y 同时成立.证明： 必要性 设*x 、*y 分别是（P ）问题和（D ）问题的最优解. 则 *Ax ≤b ，*x ≥0； A y *≥c ， *y ≥0；b y cx **=， 所以由 *cx ≤**Ax y ≤b y *推出*cx =**Ax y =b y *，于是 0)(**=-Ax b y ，0)(**=-x c A y 充分性 由0)(**=-Ax b y ，0)(**=-x c A y 得 *cx =**Ax y =b y *又*x 、*y 分别是（P ）问题和（D ）问题的可行解，所以*x 、*y 分别是（P ）问题和（D ）问题的最优解. 证毕.因为，*y ≥0，*Ax ≤b ，由0)(**=-Ax b y ，有 0)(1*=-∑=nj jiji ix a b y ，i = 1,2,…, m由*x ≥0，A y *≥c ，0)(**=-x c A y ，有 0)(1=-∑=j mi j i ijx c y a，j = 1,2,…, n即一个规划的某个约束成立严格不等式（约束条件为松），对应的对偶规划中变量取0（变量是紧），当某个变量不为0时（变量是松），对应的对偶规划中约束成立等式（约束条件是紧）.二、对偶规划的求解对偶规划作为一个线性规划，自然可以用前面介绍的单纯形法求解. 但是，由本节关于对偶规划的若干定理的讨论，可以看到原问题及其对偶问题之间有着紧密的联系，那么，能否通过求解原问题找出对偶问题的解，或者相反，在此介绍两种求对偶最优解的方法.1、利用原问题的最优单纯形表求对偶最优解的方法由推论2.4已得到1*-=B c y B 是（D ）问题的一个最优解，又由推论2.5在对称形式的（P ）问题，如果有最优解，则在其最优单纯形表中，松弛变量m n n n x x x +++,,,21 的检验数),,,(21m n n n +++σσσ 的负值即为（D ）问题的一个最优解，见表2-3，所以，对对称形式的对偶问题，当用单纯形法求得（P ）问题的最优解的同时，得到了（D ）问题的最优解.例2.4 求如下LP 问题321734max x x x z ++= s.t. 32122x x x ++≤100 32133x x x ++≤100 321,,x x x ≥0 的对偶问题的最优解.解: 对偶问题为 21100100min y y w += s.t. 213y y +≥4 212y y +≥3 2132y y +≥721,y y ≥0对原问题引入松弛变量54,x x ，将原问题化为标准形式，由单纯形法求解得最优单纯形表（表2-4）.则原问题的最优解为： Tx )25,25,0(*= 其相应的目标函数最优值 250*=z由推论2.5，在表2-4中可得，对偶问题的最优解为：)2,21(*=y 其相应的目标函数最优值 250*=w .如果（P ）问题为： cx z =max s.t. b Ax = x ≥0此时矩阵A 中没有现成的单位矩阵I ，但可以通过引进人工变量，使之出现单位矩阵，再用大M 法或两阶段法求解（结果保留所有人工变量位置），那么，这时如何从最优单纯形表中，求得对偶规划的解？设 I 为初始可行基，对应的基变量I x 在目标函数中的系数向量为I c ，B 为最优基，参考 表2-3,在最优单纯形表中,I x 对应的检验数为1--=B c c B I I σ,因此1*-=-=B c c y B I I σ.例2.5 （第一章例1.10）已知（P ）问题 3213max x x x z --= s.t. 3212x x x +-≤11 32124x x x ++-≥3 1231=+-x x 321,,x x x ≥0 试求其（D ）问题的最优解.解：该问题的（D ）问题为321311min y y y w ++=s.t. 32124y y y --≥3 212y y +-≥-1 3212y y y ++≥-11y ≥0，2y ≤0，3y 无符号限制对（P ）问题，在第一章例1.10中，引进松弛变量54,x x ，人工变量76,x x ，用大M 法已解得（见表1.9）T x )9,1,4(*=，2*=z .在表1-9 Ⅳ 的检验数行中，可以看到初始基变量764,,x x x 对应的检验数为 314-=σ，M -=316σ，M -=327σ， 而764,,x x x 在原问题的目标函数中相应的系数分别为0,-M ,-M ，故（D ）问题的最优解为：31)31(004*1=--=-=σy ； 31)31(6*2-=---=--=M M M y σ；32)32(7*3-=---=--=M M M y σ，即对偶问题的最优解为：)32,31,31(*--=y其相应的目标函数最优值 2*=w .2、利用互补松弛定理求对偶最优解. 通过例子来介绍此方法. 例2.6 已知（P ）问题2134max x x z += s.t. 212x x +≤2 212x x -≤3 2132x x +≤5 21x x +≤2 213x x +≤3 21,x x ≥0 试求其（D ）问题的最优解.解：该问题的（D ）问题为5432132532min y y y y y w ++++= s.t. 5432132y y y y y ++++≥4 54321322y y y y y +++-≥3 54321,,,,y y y y y ≥0由于（P ）问题只含两个决策变量，故可用图解法求解，得最优解为：)53,54(*=x其相应的目标函数最优值 5*=z .将*x 代入约束条件，知第2、3、4个约束条件成立严格不等式，由互补松弛定理，对偶规划最优解中相应的变量有 0*4*3*2===y y y ，又因为*2*1,x x 不为0，在对偶规划中对应的约束条件为紧，因此，得到43*5*1=+y y ，32*5*1=+y y ，解得1*5*1==y y ，故（D ）问题的最优解为：)1,0,0,0,1(*=y 其相应的目标函数最优值 5*=w .注意：从前面的讨论可知，原问题与对偶问题是对称的，即互为对偶问题. 求解一个有m 个约束条件n 个变量的LP 问题，可以转化为求解一个有n 个约束条件m 个变量的对偶问题. 因此在求解一个LP 问题时，往往需要先考虑一下，究竟是解它的原问题还是解它的对偶问题比较省事，一般来说，求解一个LP 问题的计算量，是同这个问题所包含约束条件的个数有密切关系的，如果约束条件的个数愈多，则基可行解中基变量的个数也随之增多，相应地迭代变换的计算量也愈大，根据经验，单纯形法的迭代次数大约是约束条件个数的1～1.5倍，因此，当m < n 时，用原问题求解较好；当m > n 时，则用其对偶问题求解较好. 但当m=2时，对偶问题可用图解法求解，可简化求解过程.例2.7 求解LP 问题4321342min x x x x z --+= s.t. 432122x x x x ++-≤2 43212x x x x +-+≥0 21,x x ≥0，43,x x ≤0 解： 对偶规划为2132max y y w += s.t. 21y y +≤2 212y y +-≤4 212y y -≥-3 212y y +≥-1 1y ≤0，2y ≥0 用图解法解之，得：)2,0(*=y ，6*=w .将*y 代入约束条件，第3、4个条件成立严格不等式，所以，0*4*3==x x ，又因为*2y ＞0，所以原规划第二个约束条件为等式约束，即：⎩⎨⎧=+≤-322*2*1*2*1x x x x 此时，原规划最优解不唯一，由上述不等式组得：23*2≤x ， 31*2≥x 所以，原规划有两个最优基可行解.T x )0,0,31,37(*=, )0,0,23,0('*=x原规划的最优解为：')1(**x x λ-+λ，其中0≤λ≤1，相应的目标函数最优值 6*=z .§3 对偶问题的经济解释——影子价格一、影子价格的概念 考虑一对对称的对偶问题. cx z =max yb w =min （P ） s.t. Ax ≤ b （D ） s.t. yA ≥ cx ≥ 0y ≥ 0从上节对偶问题的基本性质可知，当（P ）问题求得最优解*x 时，其（D ）问题也得到最优解*y ，且有*11***w yb xc z nj mi ii j j ===∑∑== （2.13）i b 代表第i 种资源的拥有量；对偶变量*i y 的意义代表在资源最优利用条件下对单位第i 种资源的估价.这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价，称之为影子价格.资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数.由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变.不同企业，即使是相同的资源，其影子价格也不一定相同，就是同一个企业，在不同的生产周期，资源的影子价格也不完全一样.在（2.13）式中对z 求i b 的偏导数，得**iy b z =∂∂，这说明*i y 的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，i b z 的增量，所以，影子价格是一种边际价格例2.8 用线性规划来确定最优的产量方案.三种资源的单位消耗及资源的现有数量如表用单纯形法解这个LP 表（表2-6）.这说明最优生产方案为甲产品生产35件，乙产品生产10件，总产值达到最大为215.由上节讨论，在最优单纯形表中，不难得到对偶解，即影子价格：资源A 的影子价格01=y ；资源B 的影子价格12=y ；资源C 的影子价格33=y .资源A 的影子价格为零，说明增加这种资源不会增加总的产值，如在表2-6的初始表中的90改为91，则最优单纯形表为表2-7Ⅰ，这说明资源A 的增加不改变产品生产方案，也不增加总的产值.如果资源C 增加一个单位从45改为46，最优单纯形表为表2-7（Ⅱ）.这说明增加一个单位的资源C 以后， 最优生产方案为甲产品生产34件，乙产 品生产12件，总产值由原来215件增加 到218，增加了3个单位，即为该资源 的影子价格格或边际价格.由上节，对偶问题的互补松弛定理中有∑=<nj i jij b xa 1*时，0*=i y ；当0*>i y 时，有∑==nj i jij b xa 1*，这表明生产过程中，如果某种资源i b 未得到充分利用时，该种资源的影子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕.二、影子价格在经营管理中的应用影子价格在经营管理中的用处很多，可提供以下几个方面的信息.1、影子价格说明增加哪一种资源对增加经济效益最有利.如例2.8中的三种资源的影子价格为（0,1,3），说明首先应考虑增加资源C ，因为相比之下它能给收益带来的增加最大.2、影子价格又是一种机会成本. 企业经营决策者可以把本企业资源的影子价格与当时的市场价格进行比较，当年i 种资源的影子价格高于市场价格时，则企业可以买进该种资源；而当某种资源的影子价格低于市场价格时（特别是当影子价格为零时），则企业可以卖出该种资源，以获得较大的利润.3、企业在新产品投产之前，可利用影子价格，通过分析新产品使用资源的经济效果，以决定新产品是否应该投产.如在例2.8中，企业要生产一新产品，单件消耗三种资源的数量是（2,3,2）单位，则新产品的定价一定要大于9232)310(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛，才能增加公司的收益，如果售价低于9的话，生产是不合算的.4、利用影子价格分析现有产品价格变动时资源紧缺情况的影响，如在例2.8中，产品的售价不是（5,4），而是（5,5），则从最优单纯形表中，可计算出影子价格)500(210110521)550(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---这说明如果产品乙的价格增加的话，资源C 将变得更紧俏了.5、利用影子价格可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益. 如在例2.8中，工艺过程改进后，使资源C 能节约2%，则带来的经济收益将是3×45×2%=2.7.值得指出的是，以上的分析都是在最优基不变的条件下进行的，如果最优基有变化，则应结合§5灵敏度分析的方法进行分析.正是由于影子价格在经济管理中对收益能提供大量的信息，所以对偶理论中的影子价格概念正日益受到管理人员的重视.影子价格虽然被定义为一种价格，但是还应对它有更为广义的理解，影子价格是针对约束条件而言的，并不是所有的约束条件都代表了资源的约束，如在例2.8中，还可以列入一个产量约束：两种产品的数量不超过市场上的需要量，这样的约束也有个影子价格，如果这个影子价格算出来比前面几种影子价格更大，则应理解为扩大销售量能比增加资源带来更大的经济效益.§4 对偶单纯形法一、对偶单纯形法的基本思路对偶单纯形法是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来求解线性规划问题的一种方法（而不能简单的将它理解为是求解对偶问题的方法），前面介绍的单纯形法可称为原始单纯形法.从理论上说原始单纯形法，可以解决一切线性规划问题，但正因为它适用范围广泛，必有不足之处，如它对于某些特殊问题，虽然也可解决，但计算量较大.例如线性规划问题cx z =max 化为标准形式 cx z -='max s.t. Ax ≥b s.t. b x Ax s =- x ≥0 s x x ,≥0在约束方程中出现了一个负单位矩阵，若将剩余变量s x 取作初始基变量，则初始基m m n n n I P P P B -==+++),,,(210 ，初始解b b I b B x m B -=-==-10)(0≤0不满足可行性.因此不能将m I -取作初始基，为了求得初始基本可行解，在第一章§6中已讲述，需在约束方程左边增加一组人工变量，通过大M 法或两阶段法进行计算，这就显得很不方便，且（m I -）也没能利用上.考察一般的标准形式的线性规划问题及其对偶问题：cx z =max yb w =min （P ） s.t. Ax=b （D ） s.t. yA ≥c x ≥0 y 无符号限制 设B 为原问题（P ）的一个基，不妨设 ),,,(21m P P P B = 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01)0(b B x x xN B （2.14）为原问题（P ）的一个基本解；且当b B x B 1-=≥0 （2.15） 时，则)0(x 为一个基可行解，B 为可行基；进一步若检验数满足A B c c B 1--=σ≤0 （2.16） 则)0(x为原问题（P ）的一个最优解，这时B 称为最优基.以上概念都是对原问题（P ）而言的，因此，我们更将条件（2.15）称为原始可行性条件；条件（2.16）称为原始最优性条件.原始单纯形法的基本思路是：从满足原始可行性条件（2.15）的一个基可行解出发，经过换基运算迭代到另一个基可行解，即总是保持解的可行性不变（满足条件（2.15）），变化的只是检验数向量σ，它从不满足σ≤0，逐步迭代到σ≤0成立，一旦达到σ≤0，也就得到了原问题的最优解.再从对偶的观点来解释这个问题，令1-=B c y B 代入式（2.16）得yA ≥c （2.17）即y 是对偶问题（D ）的一个可行解.条件（2.17）称为对偶可行性条件，即原始最优性条件（2.16）与对偶可行性条件（2.17）是等价的，因此，如果一个原始可行基B 是原问题（P ）的最优基，则1-=B c y B 就是对偶问题（D ）的一个可行解，此时对应的目标函数值1-==B c yb w B ，等于原问题（P ）的目标函数值，可知1-=B c y B 也是对偶问题（D ）的最优解.定义2.2 若原问题（P ）的一个基本解⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-01b B x 对应的检验数向量满足条件（2.16）， 即）（N B c c B N N B 1,0),(--==σσσ≤0 则称x 为（P ）的一个正则解.于是可知，原问题（P ）的正则解x 与对偶问题（D ）的可行解y 是一一对应的，它们由同一个基B 所决定，我们称这一基为正则基.因此，我们可以设想另一条求解思路，即在迭代过程中，始终保持对偶问题解的可行性，而原问题的解由不可行逐渐向可行性转化，一旦原问题的解也满足了可行性条件，也就达到了最优解.也即在保持正则解的正则性不变条件下，在迭代过程中，使原问题解的不可行性逐步消失，一旦迭代到可行解时，即达到了最优解.这正是对偶单纯形法的思路，这个方法并不需要把原问题化为对偶问题，利用原问题与对偶问题的数据相同（只是所处位置不同）这一特点，直接在反映原问题的单纯形表上进行运算.二、对偶单纯形法的计算步骤 求解如下标准形式线性规划问题： cx z =max s.t. Ax = b x ≥0 对偶单纯形法的计算步骤：（1）找一个正则基B 和初始正则解)0(x；将原问题化为关于基B （不妨设),,,(21m P P P B =）的典式，列初始对偶单纯形表，见表2-8.（2）若b B b 1'-=≥0，则停止计算，当前的正则解b B x 1-=，即为原问题的最优解；否则转下一步.（3）确定离（换出）基变量：令 {}m i b b i r ≤≤=1|'min '，（显然0'<r b ） 则取相应的变量，r x 为离（换出）基变量.（4）若rj a '≥0，（j = 1,2,…, n ），则停止计算，原问题无可行解.否则转下一步.（5）确定进（换入）基变量；若rkk rj rjja n j a a '1,0'|'min σσθ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=，则取相应的变量k x 为进（换入）基变量.（6）以rk a '为主元进行换基运算，得到新的正则解，转（2）. 例2.9 用对偶单纯形法求解32111515min x x x z ++= s.t. 321223x x x ++≥532125x x x ++≥4321,,x x x ≥0解：先将问题化为32111515'max x x x z ---= s.t. 52234321-=+---x x x x 4255321-=+---x x x x j x ≥0 （j = 1～5） 其中54,x x 为松弛变量，取初始正则基254),(I P P B ==则问题已化为关于基B 的典式，初始正则解为：T x )4,5,0,0,0()0(--= 及目标函数值0)0(=z.列对偶单纯形表并进行迭代见表2-9，由表2-9（Ⅰ）可知，因为 {}54,5min -=- 故应取4x 为换出基变量，又因为5.2211,25,315min =⎭⎬⎫⎩⎨⎧------=θ 故应取2x 为换入基变量，以212-=a 为主元作换基运算，得表2-9（Ⅱ），又由该表可知.因为 2323,25min -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧- 故应取5x 为换出基变量，又因为7152125,16,22215min =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧------=θ故应取1x 为换入基变量，以27'21-=a 为主元作换基运算，得表2-9(Ⅲ)，至此，基变量的取值已全部非负，检验已全部非正，故已求得最优解T x )0,0,0,713,73(*=及相应的目标函数最优值7110'*-=z ，原问题的目标函数最优值7110*=z . 由表2-9(Ⅲ)还可以看出，其对偶问题的最优解为)715,710(*=y及目标函数最优值7110*=w .例2.10 用对偶单纯形法求解321642min x x x z ++=s.t. 3212x x x +-≥1032122x x x ++≤ 322x x -≥ j x ≥0，（j = 1,2,3）.解：先将问题化为:321642'max x x x z ---= s.t. 1024321-=+-+-x x x x 12225321=+++x x x x42632-=++-x x x j x ≥0，j = 1,2,…,6其中654,,x x x 正则基3654),,(I P P P B == 则问题已代为关于基B 始正则解为：T x )4,12,10,0,0,0()0(--=及标函数值0')0(=z .用对偶单纯形法求解、迭代过程如表2-10.由表2-10（Ⅲ）可知，基变量的取值已全部非负，检验数已全部非正，故已求得最优解:T x )0,2,0,0,2,6(*=及原问题目标函数最优值20*=z .从以上求解过程可以看到，对偶单纯形法有以下优点：（1）初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量，因此，可以简化计算；（2）当变量多于约束条件，对这样的线性规划问题，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量，因此，对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解；（3）在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法，这样可以使问题的处理简便.对偶单纯形法要求初始解满足正则性（对偶可行性），而对大多数线性规划问题，这个条件得不到满足，这时，需通过引入人工约束构造一个扩充问题（有兴趣的读者可查阅有关书籍），但这样可能使问题求解变繁，这是对偶单纯形法的局限性.后面介绍的交替单纯形法是对此的一个弥补.对偶单纯形法与原始单纯形法的计算步骤类似，但又有所不同，其内在的对应关系可归结为表2-11之中.三、交替单纯形法 例2.11 求解如下LP 问题2163max x x z += s.t. 212x x +≥6 213x x + ≥9 2157x x +≤35 21,x x ≥0 解：引进松弛变量543,,x x x ，得2163max x x z +=s.t. 62321-=+--x x x 93421-=+--x x x 3557521=++x x x j x ≥0，j = 1,2,…,5 初始基本解：T x )35,9,6,0,0()0(--=此解既非原始可行，又非对偶可行.建立表2-12（Ⅰ），第一次用单纯形法迭代，第二次用对偶单纯形法迭代，得最优解：T x )0,0,423,421,45(*=及相应的目标函数最优值：。
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
第2章线性规划的对偶理论
max z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
(1)
s.t
.
4xx1 175xx223xx33
3 8
x2 0, x3 0
n
max z c j x j j1
n
aij x j
bi
(i 1,, m1 m)
-15 y3 1/5 0 -4/5 1
zj - cj
0 4 0
原问题松 弛变量
00
y4 y5 -1/2 0
1/5 -1/5
3 3
原问题 变量
第19页
说明：1)只需求解其中一个问题, 从最优解的单纯形表中同时得
到另一个问题的最优解.
2)单纯形法迭代的每一步中, 原问题及对偶问题解的关系
目标函数值
n)
m
min w bi yi i 1
yi 0 (i 1,, m1 )
yi无约束(i m1 1,, m)
m
aij yi c j ( j 1,, n1 )
i 1 m
aij yi c j ( j n1 1,, n)
i 1
第10页
写出下列线性规划的对偶问题
m i 1
aij
yi
c
j
(
j
1,, n)
yi 0 (i 1,, m)
min w bY
AY C
s.t.
Y 0
第4页
2-2 原问题与对偶问题
对应关系： (1) max
min
= (2)
约束条 件个数
变量的 个数
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
第二章对偶理论
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 7 x3 3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单
纯型表中只保证 而j 不0 保证
=（1.1），分别是
（P_）_ 和__（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有
C X ＜ Y b ，弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最
小值不能小于10，Z 的最大值不能超过40。
例二、已知
p : max Z x1 2x2
D : minW 2 y1 y2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
n
j 1
aij
yi
cj
（对偶问题）
yi 0
目标函数 约束条件
原问题
对偶问题
max
min
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2
2
≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
原问题 问题无界
无可 行解
对偶问题 无可 行解
问题无界
（对）
y1 y1
y1
y2 y2 0, y2
2 1 0
无可 行解
推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可 行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的 问题无界。
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
第二章 线性规划的对偶理论1-对偶问题
矩阵表达形式：
min w Y b AY C Y 0
对偶的经济解释
1、原问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1 x1 c2 x2 cnx n b1 s.t. a11 x1 a12 x2 a1n xn xn 1 xn 2 b2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn m bm am1 x1 am 2 x2 amn xn x1 x2 xn xn 1 xn 2 xn m ≥ 0 消耗的资源（吨）
第二章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出
一个问题的解的时候，同时也给出了另一问题的解。
例：某公司计划生产甲、乙两种产品，已知各生产一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间和调试工序每天可用于 这两种产品的能力、各销售一件时的获利情况，如下表所示。 问该公司应生产两种产品各多少件，使获取的利润为最大。
A
b
约束系数矩阵
约束条件右端项向量
约束系数矩阵的转置
目标函数中价格系数向量
C
目标函数
目标函数中价格系数向量
max z
约束条件右端项向量
min w
c
j 1
n
j
xj
b
i 1
m
i
yi
变量 xj (j=1,·,n) · ·
约束条件有n个
xj ≥0
xj ≤0 xj 无约束 约束条件有m个 ≤bi ≥bi =bi
min z 2 x1 3x 2 5 x3 x 4
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
第2章 线性规划的对偶理论
≤9
y1≤0， y2≥0， y3无约束
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
1.本节以实例引出对偶问题; 2.介绍了如何写规范与非规范问题的对偶问题;
作业：教材P61 T 1、2 下一节：对偶性质
2.2 对偶性质
Dual property
2.2 对偶性质 Dual property
时得到最优解，C CB B 1 A 是 X＝（X B，X N）的检验数 CB CB B 1B 和
CN CB B1N 的合并。
令 Y CB B1 ,由 C CB B 1 A 0与 CB B 1 0 得
YA C Y 0
可见，这是Y是对偶问题的一个可行解。 思考：Y右边的部分是什么？
C X°≤Y°AX≤Y°b
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的 线性规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划 的任一目标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶 问题的目标值。
2.2 对偶性质 Dual property
由这个性质可得到下面几个结论：
（1）（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下界； （DP）的任一可行解的 目标是（LP）的最优值的上界；
【例2.3】 写出下列线性规划的对偶问题
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6 7x1x135x2x2108 x1 0, x2 0
【解】这是一个规范形式的线性规划，它的对偶问题求 最小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8 y2 10 y3
5yy1172yy22
y3 3y3
4
3
yi 0,i 1,2,3
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
线性规划的对偶理论(第2部分)
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
对偶问题的解可以用于分析原问题参数变化对最优解的影响。通过对偶问题的灵敏度分析，可以 了解原问题解的稳定性以及参数调整对最优解的影响程度。
Part
05
目标规划与多目标决策
目标规划基本概念
目标函数
在目标规划中，目标函数表示决策者希望优化的目标，可以是最 大化或最小化某个或多个变量的函数。
约束条件
约束条件限制了决策变量的取值范围，确保解在实际可行域内。
优先级与权重
不同目标之间可能存在冲突，通过设定优先级和权重可以权衡各 个目标的重要性。
分支定界法的步骤
分支定界法主要包括分支、定界和剪枝三个步骤。首先，将原问题分解为若干个子问题；其次，对每个子问题分别求 解，并更新上下界；最后，通过剪枝策略删除不可能得到最优解的子问题，以减少计算量。
分支定界法的优缺点
分支定界法具有适用范围广、可求得全局最优解等优点；但同时也存在计算量大、求解效率不高等缺点。 因此，在实际应用中需要根据问题的特点和要求选择合适的算法。
多目标决策方法
线性加权法
将多个目标函数线性加权为一个综合目标函数，通过求解该综合目 标函数的最优解来实现多目标决策。
理想点法
先确定每个目标的理想值，然后构造一个评价函数来衡量实际解与 理想解之间的差距，通过最小化该评价函数来求解多目标决策问题。
分层序列法
将多个目标按照重要程度排序，依次求解各层目标的最优解，最终得 到综合考虑所有目标的满意解。
要点三
混合整数规划的应用 案例
混合整数规划在实际应用中有着广泛 的应用，如生产调度中的任务分配问 题、物流运输中的路径优化问题等。 通过运用混合整数规划方法，可以有 效地解决这些问题，提高生产效率和 运输效率。
运筹学第二章——第八节—线性规划的对偶理论
四、对偶问题经济学含义——影子价格
因为Z*=Y*=Yb 所以：Δ Z/ Δ b=Y b——资源的量 Z——目标函数 经济学含义：资源每变动一个单位，目标函 数（利润、总产值等）变动的大小。 资源对生产做出的贡献。（影子价格） 是对现有资源实现最大效益的一个评价，叫 机会成本。
V*X=0， Y*U=0，其中V是对偶问题的剩余变量，U是 原问题的松弛变量。
（七）原问题在单纯性法迭代过程中的检验 数对应于对偶问题的一个基本解。（对应性 定理） 原问题 XB XN 对应基B检验数 0 CN-CBB-1BN 对偶问题的变量 -YS1 -YS2 XS –CBB-1 -Y
对偶问题性质的启示
原问题 有最优解 无可行解 有可行解无上界 无有限最优解 对偶问题 有最优解 无可行解 无有限最优解 有可行解但无下界
由互补松弛性定理可知： 当U>0，即AX <b时，资源未充分利用时，影 子价格为0。
二、原问题与对偶问题之间的转化
1、目标函数 MAX——Min 2、约束条件——变量 约束条件n个——变量n个 约束条件≥0 ——变量≤ 0 约束条件≤ 0 ——变量 ≥ 0 约束条件=0——变量无约束 要点：max为反向关系（约束条件——变量）
二、原问题与对偶问题之间的转化
3、变量——约束条件 变量m个——约束条件m个 变量≥0——约束条件≥ 0 变量≤ 0 ——约束条件≤ 0 变量无约束——约束条件=0 4、目标函数中变量的系数C为对偶问题中约 束条件的右端常数项b，个数对等变动。
（五）若原问题和对偶问题具有可行解，若 原问题或对偶问题之一有最优解，则另一个 对偶问题也必有最优解，且最优值相同。 （主对偶性定理） 证明 含义： 若原问题有一个对应于基B的最优解，则 CBB-1为对偶问题的最优解。
第二章对偶规划
1. 对偶规划的定义 2. 对偶规划定理 3. 互补松弛关系 4. 对偶单纯形法
对偶规划应掌握的主要内容
对偶规划的意义 对偶规划与原问题的关系 对偶规划的定理 对偶单纯形法 影子价格 灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出 例2.1:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的机时数如下表所示。求获最大利润的方案。
推论1
如果X0 、Y0 分别是原问 题和对偶问题的可行解，并 且它们对应的目标函数值相 同CX0 = Y0b，则X0 、Y0 分别是 原问题和对偶问题的最优解。
推论2：
如果原始问题和对偶问题中 的任一个目标函数无界，则另一 个必定无可行解。 请注意推论2之逆命题不存在 即一个问题无可行解，不能推得 另一个问题目标函数无界。
原 问 题
有最优解
一定
不可能
不可能
无界解
不可能
不可能
可能
无可行解
不可能
可能
可能
定理四、互补松弛定理
对偶问题 Min W=Yb s.t. YA≥C Y≥0
设X0 、Y0 分别为原问题和对偶问题的可行解,则X0 、Y0分别为原问题和对偶问题最优解的充要条件是： YSX0=0 和 Y0XS =0
∵ CX` ≥ CX0 ∵ Y`b ≤ Y0 b CX0 ≤ Y0b ∴ CX` ≥ CX0 ≤ Y0 b≤ Y`b CX` = Y`b 换句话说：当对偶问题和原问题目标函 数值相同时 Z = W ，则 X`和 Y`一定是 对偶问题和原问题的最优解。或者说如 果对偶问题和原问题有最优解，那么它 们的目标函数值一定相等。
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解：首先将问题化为如下形式：
max z 2 x1 3x2 4 x3
s.t.
2 x1 3x2 5 x3 2 3 x1 x2 7 x3 3 x1 4 x2 6 x3 5 x j 0( j 1, 2,3)
再根据定义2.1， 写出其（D）问题：
max z cx
s.t.
Ax b x0
为了利用对称型问题的结论，先将问题等价地化为：
max z cx
s.t.
Ax
≤b ≤－b x≥0
Ax
再引入对偶向量（u,v），其中u为对应于第一组不等式约束 的对偶变量， v为对应于第二组不等式约束的对偶变量，按 对称型的结论，可写出其（D）问题为：
b min w (u, v) b
s.t.
A (u, v) c A u, v 0
即 s.t.
min w (u v)b
(u v) A c u, v 0
令y=u-v为m维行向量，则以上模型又可写成：
min w yb
s.t.
yA c y无符号限制
例2.3
s.t.
写出（P）问题的（D）问题.
max z 2x1 3x2 5x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5 3 x1 2 x2 7 x4 4 2 x1 3 x2 4 x3 x4 6 x1 0, x2 , x3 0, x4无符号限制
max z cx
考虑对称形式下
（P）问题：
（D）问题：
min w yb
max z cx
s.t.
s.t. Ax ≤ b x≥0
yA ≥ c y≥0
§2
对偶问题的基本性质
一、对偶规划的若干问题
定理2.1（对称性定理） 对偶问题的对偶是原问题.
定理2.2（弱对偶定理） 设x0和y0分别是（P）问 题和（D）问题的可行解，则必有cx0 ≤ y0b
*
s.t.
Ax Ixs b
c
推论2.4（单纯形乘子定理） 如果（P）问题有最优解，最优基为B， 则y* ＝ CBB-1 就是（D）问题的一个最优解.
如何求对偶问题的最优解
c
cB s x B s
cB
cN
xN
o
b
c
cB xB cB xB
cB
Hale Waihona Puke cNobxB
xs
I b
xB
xN
B 1 N
xs
B 1
* * * yb y Ax cx 得
*
* * 又 x 、y 分别是（P）问题和（D）问题的可行 * 解，所以 x 、 y* 分别是（P）问题和（D）问题的最优 解. 证毕.
二、对偶规划的求解
1、利用原问题的最优单纯形表求对偶最优解的方法 如何求对偶问题的解？
例2.4 s.t.
求如下LP问题的对偶问题的最优解.
例2.2 写出（P）问题的（D）问题.
max z 3x1 x2 2x3
s.t. 3x1 2 x2 3x3 6
x1 2 x2 x3 4 x j 0( j 1, 2, 3)
解：
s.t.
min w by1 4 y2
3 y1 y2 3 2 y1 2 y2 1 3 y1 y2 2 y1 , y2无符号限制
第二章
线性规划的对偶理论
§1 对偶问题的提出 一、对偶问题的实例 LP问题模型： max z=1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤65 2x1+x2≤40 3x2≤75 x1，x2≥0 已知最优解为： x1*=5，x2*=25，z* =70000
现从另一个角度考虑这个问题 .假定该厂的决策者 考虑自己不生产甲、乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的资源A,B,C全部出售给外单位，则应如何 确定这三种资源的价格. 显然，该厂的决策者要考虑两个原则：第一，每 种资源所收回的费用应不低于自己生产时可获得的利 润；第二，定价不能太高，要对方容易接受. 设y1，y2， y3分别表示三种资源出售的价格，则由 第一个原则，应有如下约束条件： 3y1+2y2≥1500 2y1+y2 +3y3≥2500 y1，y2 ，y3 ≥0 而把原拟用于生产甲、乙产品的三种资源全部售出， 总收入为：w= 65y1+40y2 +75y3
min w yb
（D） s.t.
yA ≥ c
y≥0
y ( y1, y2 ,, ym ) 是一行向量.
例2.1
写出以下（P）问题的（D）问题
max z 2 x1 3x2 4 x3
s.t.
2 x1 3 x2 5 x3 2 3 x1 x2 7 x3 3 x1 4 x2 6 x3 5 x j 0( j 1, 2, 3)
cx y*b cx* yb
定理2.3（对偶定理） 如果（P）问题（（D）问题）有 最优解，那么（D）问题（（P）问题）也有最优解，且 目标函数值相等.
证明:先证明当（P）问题有最优解时，（D）问题也有最优解. * 设 是 x （P）问题的最优解，它对应的基矩阵为B，引入松弛变量， 将（P xs）问题化为标准形式 ( xn1 , xn2 ,, xnm )T
3 混 合 型 对 偶 问 题
约 束 条 件 变 量
.
原问题
对偶问题
目标函数max
目标函数min
m个 ≤ ≥ ＝ n个 ≥0 ≤0 无符号限制 目标函数的系数 约束条件右端常数 系数矩阵A
m个 ≥0 ≤0 无符号限制 n个 ≥ ≤ ＝ 约束条件右端常数 目标函数的系数 系数矩阵AT
变 量 约 束 条 件
0 x 证明： 因为是 （P）问题的可行解，故必有
（2.11） Ax0 ≤b， x ≥0 0 又 y 是（D）问题的可行解，于是有 0 y 0 A ≥ c， y ≥0 （2.12） 0 0 y Ax0 ≤ y 0b y 用 左乘不等式（2.11）两边，得 0 0 0 y Ax x 用 右乘不等式（2.12）两边，得 ≥ cx 0 0 y 0b cx 从而有 ≤
解：根据对偶规划表，可直接写出该问题的（D）问题.
min w 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 －5 2 y1 7 y2 y3 1
s.t.
y1 0, y2 0, y3无符号限制
max z cx oxs
x x, xs ≥0 x * * x 显然，该问题也有最优解 s 由第一章定理1.7（最优性判别定理）必有检验数 (c, o) cB B1 ( A, I ) ≤0 * 1 y * ) ≤ 0， 令 y cB B ，则有 (c y* A, * 即 y A ≥ , y * ≥0. 这表明 y * cB B 1 是（D）问题的可行解，对应的目标函数值为： w* y *b cB B 1b 又因为 x * 是（P）问题的最优解，其目标函数的值 为 z * cx* cB B 1b * 1 * 所以有 cx c .B B b y b 则由推论2.1知（D）问题有最优解，且两者的目标函数的最优值 相等.
min w 2 y1 3 y2 5 y3
s.t. 2 y1 3 y2 y3 2
3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 yi 0(i 1, 2,3)
2、非对称型对偶问题 如果原问题是LP问题的标准形式，记（P）问题为：
当然，对厂方而言，w越大越好，但根据第二个原 则，在保证上述条件下，应考虑使总收入即对方的总 支出尽可能少才比较合理，因为只有这样，厂方不会 吃亏，对方也容易接受.于是，该问题的数学模型归结 为： min w= 65y1+40y2 +75y3 s.t. 3y1+2y2≥1500 2y1+y2 +3y3≥2500 y1，y2 ，y3 ≥0 这也是一个LP问题，用单纯形法解之得最优解为： y1*=500，y2*=0， y3* =500 及相应的目标函数最优值： w *=70000
a1n y1 a2n y2 amn ym
c1
c2
≥
cn
yi
≥0 （ i 1,2, ）, m
其中yi(i=1,2,…m)称为对偶变量，并称以上两式为一 对对称型对偶问题。
如果用矩阵形式来表示模型，则可更清楚地看出两者 之间的对称性.
max z cx
（P） s.t.
Ax b x 0
对原问题引入松弛变量 x4,x5,将原问题化为标准 形式，由单纯形法求解 得最优单纯形表(左图) 原问题的最优解和目标值：
x* (0, 25, 25)T
2
z* 250
w* 250
* * 当bi ai1 x1 ain xn 时yi* 0
* * 当a1 j y1 amj ym c j时x* j 0 * * 当x* 0 时 a y a y j 1j 1 mj m c j
* * * * ( y A c ) x 0 y ( b Ax ) 0 充分性 由 ，
0
即最大值比最小值小
推论2.1 如果x*和y*分别是（P）问题和（D）问题的可 行解，且cx* = y*b ，则 x*、y*分别是（P）问题和（D） 问题的最优解. * cx y b 证明:对于（P）问题的任意一个可行解x，必有 但 cx* = y*b ，故对（P）问题的所有可行，有 cx y*b cx*