高等代数实践小论文

高等代数实践小论文

代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

《高等代数I 》主要介绍了多项式、行列式、矩阵以及线性方程组的相关知识并建立了联系。

其相关具有代表性的习题如下：

1.设a,b 为两个不相等的常数，则多项式f(x)被(x-a)(x-b)除所得余式为_____.

解答：设r(x)=cx+d,其中∂(r(x))<2.

f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+cx+d,

f(a)=ca+d,f(b)=cb+d,

联立可解得c=

f (a )−f(b)a−b ,d=f(a)-a f (a )−f(b)a−b 故r(x)= f (a )−f(b)a−b x + f(a)-a f (a )−f(b)a−b .

Thoughts of mine:

已知除式为2次则可由余式的次数小于除式得到余式的次数，进而带入已知数求解。

2.设f(x)=3x 4-41x 3-53x 2-101x+7,求f(15).

解答：由余数定理,f(15)即为f(x)除以15所得的余数.

做综合除法可得f(15)=67.

Thoughts of mine:

余数定理即可得此时的值,没有必要将15代入求解.

3.求f(x)=x 7+2x 6-6x 5-8x 4+17x 3+6x 2-20x+8的根.

解答:f ’(x)= 7x 6+12x 5-30x 4-32x 3+51x 2+12x-20.

则(f(x),f ’(x))= x 5+x 4-5x 3-x 2+8x-4.

f(x)((f (x ),f ′(x ))

=x 2+x-2=(x+2)(x-1). 根据f(x)的常数项可以得到,f(x)=(x +2)3(x −1)4.

故f(x)的根为1,-2.

Thoughts of mine:

对于有些多项式来说,单看公因子判别是否为有理根的情况很多且很复杂,先去掉次数的方法相对容易.

4.已知f(x)=x 3+a x 2+bx+c,a,b,c ∈Z.

求证:若ac+bc 为奇数,则f(x)无整数根.

证:假设f(x)有整数根α,则有α|c.

由于(a+b)c 为奇数,故a+b,c 均为奇数,故α也为奇数.

则x-α|f(x),设f(x)=(x-α)q(x),其中q(x)为整系数多项式.

f(1)=(1-α)q(1)=1+a+b+c,而1+a+b+c 为奇数,但1-α为偶数,矛盾. 故f(x)无整数根.

Thoughts of mine:

奇偶矛盾是反证法常用的一种矛盾,不管是次数矛盾还是根的奇偶都容易得到,也就容易推出矛盾.

5.已知x+y+z=0,xyz ≠0,,求x 2yz +y 2xz +z 2xy 的值.

解答: x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz .

令f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3,首项为x 3.

故f(x,y,z)=σ13+a σ1σ2+b σ3,其中σ1= x+y+z=0.

故f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3=-6=-2b,故b=3.

则x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz =3σ3

σ3=3.

Thoughts of mine:

表成初等对称多项式可以解决很多对称多项式的求值问题或求方程组的解的问题.

例如：解方程组{x +y +z =2,

(x −y)2+(y −z)2+(z −x)2=14,x 2y 2z +x 2yz 2+xy 2z 2=2.

解答:σ1=x+y+z=2=-a 1,

对方程组作加减变换,可得x 2+y 2+z 2-(xy+xz+yz)=7,

xyz(xy+yz+xz)=2,

x 2+y 2+z 2+2(xy+xz+yz)=4,

故xy+xz+yz=σ2=-1=a 2,xyz=σ3=-2=-a 3.

故x,y,z 为方程f(x)=x 3-2x 2-x+2的三个根,易得x=1为一个有理根. 用综合除法可得f(x)=(x-1)(x+1)(x-2),故f(x)的三个根为1,-1,2.

6.已知5阶行列式512345

22211

273124511122

43150

D ==.求414243A A A ++ 和

4445A A +.

解答:设x=414243A A A ++,y=4445A A +

则D 5=414243A A A +++2（4445A A +）=x+2y=27,

若将第四行换成与第二行相同的数字,则有D′5=|1 2 3 4 52 2 2 1 1

3 1 2

4 52 2 2 1 14 3 1

5 1

|=0,

则D′5=2x+y=0.

联立可解得x=-9,y=18.

Thoughts of mine:

因为A ij 为代数余子式,故可看成按某一行全为1或2展开即行列式的值.

类似地,还有| 2 1 5 41 2 3 1−1 0 2 3 3 1 0 −1

|,求M 13-M 23-2M 43的值.

简解: M 13-M 23-2M 43=1∙A 13+1∙A 23+0∙A 33+2∙A 43=| 2 1 1 41 2 1 1−1 0 0 3

3 1 2 −1

|,即将第三列元素换为代数余子式前的系数.