1.3命题公式及翻译解析

例：
三、翻译
只有你通过了英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以 选修这门课。
我们可以用命题公式表示复合命题，常将这个过程称为 命题的符号化，或称为命题的翻译。命题的翻译可按如下 步骤进行：
①找出复合命题中的简单命题。 ②用英文字母表示这些简单命题。 ③使用命题联结词将这些英文字母连接起来。
例 试翻译下列命题。 (1)这个材料无趣,习题也不难,而且这门课程也不使人喜欢。 (2)如果这个材料无趣,或者习题难,
• 上节介绍了将命题表示为符号串。 • 是否每个符号串都是命题呢？
pq→ • 什么样的符号串才是命题呢？ • 如下定义的符号串才是命题。
下面给出命题公式的递归定义。
(1) 单个命题变元是合式公式，并称为原子命题公式。 (2) 若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。 (3) 若A，B是合式公式，
则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4) 只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式公式。
• 公式（2）、（3）略。
公式的层次
• 定义： （1）若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。 （2）若有下面情况之一的，称A为n+1（n ≧ 0）层公式: （a）A是¬B，B是n层公式； （b）A是B∧C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （c）A是B ∨ C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （d）A是B → C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （e）A是B ↔ C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （3）若公式的层次为k，则称A是k层公式。
§1.3 命题公式与翻译
一、命题公式的定义
一个赋予特定内容的命题的真值是确定的，只有“T”
和“F”两种，即命题常项或称为命题常元。 一个没有任 何意义的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
下面我们正式定义命题变元：
定义：以“真”“假”为其变域的变元称为命题变元。
公式、命题公式（命题形式、合式公式 well-formed formula, wff）
定义 在命题公式A中，对A的每一个赋值，就确定了A的一个真值， 把它们汇列成表，称该表为命题公式A的真值表。
2
赋值
• 命题公式的真值由其中的命题变元的值 完全确定。
• 公式(p∨q)→r
– 若将 p解释成：2是素数 ，T
– q解释成：3是偶数， F
– –
r此解时释公成式：(2p∨是q无)→理r 被数解，释T成
令(p∧q) → (¬(q∨r))为A。 要使A为假，必须p∧q为真且¬(q∨r)为假。 从而p∧q必须为真，且q∨r也必须为真。 故A的成假指派为TTT和TTF. A的成真指派为FFF、TFF、FTF、FFT、FTT、 TFT。
例
• 例 写出下列公式的真值表，并求它们的成真赋值 和成假赋值： （1）（¬p ∧ q）→ ¬r （2）（p ∧ ¬p ） ↔ （q ∧ ¬q ） （3） ¬（p → p） ∧q ∧r
合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称为公式。
下列符号串都是合式公式：
(¬p) (p∧(¬q)) (p ∨(¬p)) (p ↔(¬p)) (p ∧(¬p)) ((p ∧ p) →(¬(p ∨r)))
下列符号串是否为命题公式？
（1）pq → （2）(p¬q) （3）( ( (p∧(¬q)) （4）p∧(¬q) （5）¬p
• 例如： p ∧ (¬ p)为矛盾式，p ∨ (¬ p)为重言式。 (¬ p) ∨q为可满足式。
说明
• A是可满足式：A至少有一个成真赋值。 • 永真式一定是可满足式，反之则不真。 • 真值表可用来判断公式的类型：
– 若真值表最后一列全为T，则公式是永真式（重言式）。 – 若真值表最后一列全为F，则公式是永假式（矛盾式）。 – 若真值表最后一列至少有一个T，则公式是可满足式。
（¬p ∧ q）→ ¬r的真值表
p q r ¬p ¬r
FFF
T
T
FFT
T
F
FTF
T
T
FTT
T
F
TFF
F
T
TFT
F
F
TTF
F
T
TTT
F
F
¬p ∧ q F F T 1 F F F F
（¬p ∧ q）→ ¬r T T T F T T T T
• 从表可知公式(1)的成假赋值为FTT，其他7个赋值都是成 真赋值。
一个真命题。
– 但是若作别的解释，公式(p∨q)→r 也可以被解释成一
个假命题。
• 由定义可知：
– ¬p关于p的成真赋值为F, 成假赋值为T. – p ∧ q关于p、q的成真赋值为T T, 成假赋值为TF, FT, FF. – p ∨ q关于p、q的成真赋值为TT, TF, FT,成假赋值为FF. – 不难给出p→q、p↔q的命题变项的公式共有2n个不同的赋 值。
• 例如，若公式中共有p、q、r三个不同命题变项，则共有 23=8个指派，分别是： （F，F，F）（F，F，T）（F，T，F）（F，T，T） ， （T，F，F）（T，F，T）（T，T，F）（T，T，T） 。
例
求(p∧q) → (¬(q∨r))的成真和成假赋值。 解：
二、真值表的构建
命题公式的真假是由命题公式中所出现的命题变元 的真假惟一确定，命题变元的一组确定的值叫做命题的 一个指派。每个指派对应命题公式的一个确定的值，所 有的指派构成公式的值，即构成了此命题公式的真值表。
定义 设p1,p2,…,pn是出现在公式A中的全部命题符号， 给p1,p2,…,pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。 若指定的一组值使A的真值为T，则称这组值为A的成真赋值； 若使A的真值为F，则称这组值为A的成假赋值。
例
• p，q是0层公式。 • ¬p ∧ q是2层公式。 • (¬p ∧ q) → r 是3层公式。 • (¬(p → ¬q )) ∧((r ∨ s) ↔ ¬p )是4层公式。
命题公式的分类
• 定义 (1) 如果A在它的所有赋值下取值均为真，则称命题公 式A为重言式(或永真式) (2) 如果A在它的所有赋值下取值均为,则称命题公式A 为矛盾式(永假式). （3）若A不是矛盾式，则称A为可满足式。 .