集合论习题课答案

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| |A∩B| = |A|+|B|-|A∪B|=3+6-8=1， 所以 |A∩B|＝1 |A-B|=|A|－|A∩B|=3-1=2 |AB|=|A∪B|－|A∩B|=8－2=6
5.集合的证明
a)证明 (A∩B)∪C=A∩(B∪C) iff CA
证明；充分性 已知CA (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) =A∩(B∪C) (∵ CA ∴ A∪C=A) 必要性 已知(A∩B)∪C=A∩(B∪C) x∈C ， x∈C x∈(A∩B)∪C x∈A∩(B∪C) x∈A 所以 CA
SA∨ S B S(A ∪B) Sρ(A∪B)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
c) AB iff ρ(A) ρ(B)
证明：
必要性：若AB证明ρ(A) ρ(B)
S ：Sρ(A ) 即 SA
∵ AB ∴ SB
即 Sρ(B)
∴ ρ(A) ρ(B)
充分性：若ρ(A) ρ(B)证明AB
x ： xA
b)证明 (A-B)-C=(A-C)-B x：
x∈(A-B)-C x∈(A-B)∧xC (x∈A∧xB)∧xC (x∈A∧xC)∧xB x∈(A-C)∧xB x∈(A-C)-B 所以(A-B)-C=(A-C)-B
c)证明以下各式彼此等价： A∪B=U, ~AB, ~BA
= A∩~(B∩C)=A-(B∩C)=A 所以满足此式的充要条件是：A∩B∩C= Φ b) (A-B)∪(A-C)=Φ (A-B)∪(A-C)= A-(B∩C)=Φ 所以满足此式的充要条件是：A B∩C
c) (A-B)∩(A-C)=Φ
(A-B)∩(A-C)= (A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C)=A-(B∪C)=Φ 所以满足此式的充要条件是: A B∪C
必S，SA，使得xS
∵ ρ(A) ρ(B) ∴ 由SA即Sρ(A )可得到Sρ(B )
也就是说SB ∴ xB
∴ AB
综上所述： AB iff ρ(A) ρ(B)
7.笛卡尔积 A={0,1} B={1,2} 求A2×B A2×B={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>} ×B
集合论习题课
1. 判断下面命题的真值(真的话证明，假的话举反例)
a)如果A∈B，BC ，则 A∈ C T
b)如果A∈B，BC，则 AC
F
举反例A={1} B={{1}} C={{1},2}
c)如果AB，B∈C，则 A∈C
F
举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}}
d)如果AB，B∈C，则 AC
d) (A-B)(A-C)=Φ 因为 当且仅当A=B ，才有AB=Φ 所以满足此式的充要条件是: A-B=A-C
4.集合的基数 A,B是有限集合,已知|A|=3,|ρ(B)|=64,|ρ(A∪B)|=256, 则
|B|=( ),
|A∩B|=( ),|A-B|=( ),|AB|=( ) 解： 由|ρ(B)|=64=26，得 |B|=6 由|ρ(A∪B)|=256＝28，得|A∪B|=8 由容斥原理得
A∪B=U x(x∈A∪B x∈U) x(x∈A∪B) (x∈U为T) x(x∈A∨x∈B) x(xAx∈B) x(x∈~Ax∈B) ~AB 同理A∪B=U ... x(x∈A∨x∈B) x(xBx∈A) x(x∈~Bx∈A) ~BA 所以A∪B=U ~AB ~BA.
={<<0,0>,1>,<<0,0>,2>,<<0,1>,1>,<<0,1>,2>, <<1,0>,1>,<<1,0>,2>,<<1,1>,1>,<<1,1>,2>}
注意： A2×B= (A×A)×B≠ A×A×B
6.幂集 设A,B是集合，证明以下命题成立
a) ρ(A∩B)=ρ(A) ∩ρ(B) S：
Sρ(A∩B) SA∩B SA∧ S B Sρ(A )∧Sρ(B )
Sρ(A )∩ρ(B ) b) ρ(A) ∪ρ(B)ρ(A∪B)
S： S ρ(A) ∪ρ(B) Sρ(A )∨Sρ(B )
F
举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}}
2.集合计算
a) Φ∩{Φ}= Φ
b) {Φ}∩{Φ}= {Φ}
c) {Φ,{Φ}} –Φ= {Φ,{Φ}}
d) {Φ,{Φ}}-{Φ}= {{Φ}} e) {Φ,{Φ}}-{{Φ}}= {Φ}
3.在什么条件下，下面命题为真？ a) (A-B)∪(A-C)=A (A-B)∪(A-C)= (A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C)