型心计算公式

n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
i1
I
yi
n
I xy I i1 xyi
例I-5 求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。
y
b(y) C
yc
d
解： （1）求形心坐标
b( y) 2 R2 y2
d
xc
Sx
yd A
A
2 yb( y) d y
0
x
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
yc
I xy
xy d A
A
y dA
y
（其值可为正、负或0， 单位:m4 或 mm4)
结论：
O
x
x
截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。
4. 惯性半径
iy
Iy A
ix
Ix A
（单位m 或 mm）
例I-3 试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心 轴）x和y的惯性矩。
解： 取平行于x轴的狭长条，
(Ai 和xi , yi分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）
5. 组合截面的形心坐标公式
n
将 S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
代入 S y A x Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
n
Ai xi
x
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
y
i 1 n
Ai
i 1
cos2
y2 d A sin2
A
x2 d A
A
2sin cos A xy d A
I x cos2 I y sin2 2I xy sin cos
利用二倍角函数代入上式，得转轴公式 ：
I x1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos2
I xy sin 2
I y1
Ix
Iy 2
Ix
Iy 2
Sx A
d 3 12 πd 2 8
2d 3π
（2）求对形心轴xc的惯性矩
πd 4 64 πd 4
Ix
2
128
由平行移轴公式得：
y
b(y)
C
xc
yc
x
d
I xc
Ix
(
yc
)2
πd 8
2
πd 4 128
d4 18π
例I-6 试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。
40
y
解：将截面看作一个矩形和
I xc a 2 A
同理，有：
Ix Ixc a2 A I y I yc b2 A
I xy I xc yc abA
（此为平行移轴公式 ）
注意： •式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。
•等号右边各首项为相对于形心轴的量。
2.组合截面的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一 轴的惯性矩（或惯性积）之和：
20
100
4.43 106 mm 4
（3）求整个截面的惯性矩：
I xc I xc1 I xc2 7.68 10 6 4.43 106 12.11 10 6 mm 4
思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为
过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性
积和惯性矩有四种答案(已知b>a)：
(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。
(5)确定主惯性轴的位置
设0是旧轴x 逆时针转向主惯性轴x0的角度，则 由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得
Ix
2
Iy
sin
2 0
I xy
cos 20
0
可改写为
tan 20
2Ixy Ix Iy
（注：将负号置于分子上有利于确定2 0角的象限）
y
h dy
y
则 dA=b dy
I x
y2d A
A
h
2 h
2
by2
d
y
bh3 12
hb3 同理 I y 12
C
x
b
(a)
y
若截面是高度为h的平行 四边形（图b），则其对形心 轴x 的惯性矩同样为
h
I
x
bh3 12
C
x
b
(b)
例I-4 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴） 的惯性矩。
y 解：
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式
•截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
任意面元dA 在旧坐标系oxy
和新坐标系ox1y1的关系为：
A dA
x1 x cos y sin
C E
y1 y cos x sin
代入惯性矩的定义式：
D
O
x
B
x
I x1 A y12 d A
y
Ix1
2d A
A
y
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
（为正值，单位m4 或 mm4) O
由于 2 y2 x2
dA
x
x
所以
Ip
2 d A
A
(y2
A
x2)
dA
IxIy
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原
点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）
3. 惯性积
附录 截面的几何性质
§ -1 截面的静矩和形心位置
设任意形状截面如图所示。
y dA
1. 静矩（或一次矩）
C
yy
S y
xd A
A
Sx
ydA
A
O
x
x
(常用单位： m3 或mm3 。值：可为正、负或 0 。）x
2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）
x Ax d A A
y A y d A A
x Ax d A
A
y A y d A
A
3. 静矩与形心坐标的关系
Sy Ax Sx A y
结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。
4. 组合截面的静矩
由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应
等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
n
S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
y x
x
由于圆截面有极对称性，
所以 I z I y
由于
Ix Iy Ip
d
所以
Iz
Iy
Ip 2
πd 4 64
§-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
•组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式
y yc x xc dA yc
C
设有面积为A的任意形状的截面。 C 为 其 形 心 ， Cxcyc 为 形 心 坐 标 xc 系。与该形心坐标轴分别平行
cos2
I xy sin 2
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2
I xy
cos2
注：
•上式中的 的符号为：从旧轴x至新轴x1逆时
针为正，顺时针为负。
•将前两式相加得
I x1 I y1I x I y
（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对 相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数， 并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）
A
0h
6
例I-2 试计算图示截面形心C的位置。
y
10
Ⅰ
xⅠ
C (y ,x )
解：将截面分为1、2两个矩形。
建立坐标系如图示。
各矩形的面积和形心坐标如下： 矩形I
A1 10120 1200mm2
120 y1 y
Ⅱ
10
Ⅱ
O xⅡ 80
x1 10 5mm 2
y1
120 2
60mm
x
矩形II A2 10 70 700mm2
两个半圆组成。
（1）矩形对x的惯性矩：
2d 3p
a+
I x1
d 2a 3
12
80 2003 12
C
x
5333104 mm4
a =100
100
（2）一个半圆对其自身形 心轴xc的惯性矩（见上例）
40
d =80
I xc
Ix
(
yc
)2
πd 8
2
πd 4 128
d4
18π
(a)
（3）一个半圆对x的惯性矩：
由平行移轴公式得：
I x2
I xc
a
2d 3π
2
πd 2 8
πd 2 4
d2 32
a2 2
2ad 3π
3467104 mm4
（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：
I x I x1 2I x2 5333104 2 3467104 12270104 mm4
例I-7 试计算组合截面的Ixc.
（A）Ixy＞０ (C) Ixy=０
（B） Ixy<０ （D） Ix=Iy
A
y
bO
x
正确答案是 (C)
Ba
D
思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点
的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:
(1)惯性积Ixy＝＿＿ (2)惯性矩Ix＝＿＿ 、 Iy＿＿＿。
y
a
a
x
答案： 0；a4/24; a4/24
x2 10 70 45mm 2
y2
10 2
5mm
代入组合截面的形心坐标公式
2
Ai xi
x
i 1 2
Ai
i 1
2
Ai yi
y
i 1 2
Ai
i 1
解得：
x 20mm
y 40mm
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
设任意形状截面如图所示。
y
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
I p
的任意坐标系为Oxy ,形心C在在
y
Oxy坐标系下的坐标为(a , b)
任意微面元dA在两坐标系
Ob
x 下的坐标关系为：
x xC b y yC a
I x
y2d A
A
A yc a2 d A
A yc 2 d A 2a A yc d A a2 A d A
I xc 2a A yc a2 A
y
20 140
解：（1）求截面形心位置：
xc
x
_
y
140
20 80
100
20 0
46.67mm
140 20 100 20
100
（2）求个简单截面对形心轴的惯性矩：
I xc1
1 12
20
140 3
(80
46 .67 ) 2
20
140
7.68
10 6 mm 4
I xc2
1 12
100
20 3
46.67 2
（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）
例 I-1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。 y
dy
h
b (y )
y
O
b
x
解： 取平行于x轴的狭长条，易求 b( y) b (h y)
h
因此 d A b (h y) d y 所以对x轴的静矩为
h hb
bh2
S x
y d A (h y)y d y
2.截面的主惯性轴和主惯性矩
由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯
性积将随着角作周期性变化，且有正有负。因此， 必有一特定的角度0，使截面对于新坐标轴x0、y0的
惯性积等于零。
(1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。
(2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。
(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的 形心重合时。
1.093
=113.8°
yc0
bⅡ
20 227 .6 0 113 .8
10
Ⅱ
I xc0
Imax
I xc
I yc 2
1 2
I xc I yc
2
4
I2 xc yc
321 10 4 mm 4
I yc0
Imin
I xc
I yc 2
1 2
I xc I yc
2
4
I2 xc yc
57.4 10 4 mm 4
bⅡ 10 Ⅱ
（2）求对自身形心轴的惯性矩。
I 、 I , I 、 I xc1
yc1
xc 2
yc 2
（3）由平行移轴公式求整个截面的
I xc 、 I yc 、 I xc yc
xc0
yC 120
（4）由转轴公式得
80 aⅡ 20 10
40 C
bⅠ
Ⅰ
aⅠ
tan 20
xC
2I xc yc I xc I yc
(5) 由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后， 再代入惯性矩的转轴公式 ，化简后可得主惯性矩的 计算公式：
Ix0
Ix
Iy 2
1 2
Ix
Iy
2
4
I
2 xy
极大值Imax
I y0
Ix
Iy 2
1 2
Ix
Iy
2来自百度文库
4
I
2 xy
极小值Imin
(6) 几个结论
•若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主 惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心 并与对称轴垂直的轴。
•若截面有二根对称轴，则此二轴即为形 心主惯性轴。
•若截面有三根对称轴，则通过形心的任一 轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。
例I-8 试计算截面的形心主惯性矩。
80 aⅡ 20 10
y C 120
40
bⅠ
Ⅰ
aⅠ C
解：作与上、左边平 行的形心坐标轴xcyc 。
（1）求形心坐标：
xC
(aⅠ, bⅠ) 、 (aⅡ , bⅡ )
作业：I-1(b), I-3(b), I-7(b), I-13(a)