28.1锐角三角函数(余弦、正切)
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28.1锐角三角函数特殊角的锐角三角函数值(教案)2023-2024学年人教版数学九年级下册
2.学习特殊(30°、45°、60°)的正弦、余弦、正切值,并能熟练运用这些值进行相关计算。
3.通过实际例题,培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
本节课将结合教材内容,通过讲解、示范、练习等环节,帮助学生掌握特殊角的锐角三角函数值,并为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。
二、核心素养目标
3.增强学生的数学运算与数据分析能力:通过解决实际例题,让学生运用锐角三角函数进行计算和分析,提高数学运算与数据分析能力,为解决复杂问题奠定基础。
本节课将紧密围绕新教材的要求,关注学生核心素养的培养,帮助学生将所学知识内化为自身的数学素养,为未来的学习和生活打下坚实基础。
后的内容###”二、核心素养目标”作为标题标识,再开篇直接输出。
2.逻辑推理:通过特殊角的锐角三角函数值的推导,提高学生的逻辑推理能力。
3.数学运算与数据分析:培养学生运用特殊角的锐角三角函数值进行精确计算和解决实际问题的能力。
三、教学过程
1.导入新课
通过回顾上一节课的内容,引导学生进入锐角三角函数的学习。
2.基本概念与性质
复习锐角三角函数的定义,强调正弦、余弦、正切的概念。
四、教学评价
1.课堂问答:检查学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
2.练习题完成情况:评估学生对知识点的理解和运用能力。
3.课后作业:布置相关作业,巩固所学知识。
五、教学资源
1.教材:人教版数学九年级下册。
2.课件:包含本节课教学内容的PPT。
3.练习题:针对本节课知识点的练习题。
五、教学反思
在上完这节关于特殊角的锐角三角函数值的内容后,我进行了深入的思考。首先,我发现学生们对于锐角三角函数的定义有了较好的理解,但记忆特殊角的函数值还存在一定难度。在教学中,我尝试通过一些记忆方法,如编口诀、画图等,帮助学生记忆。从学生的反馈来看,这些方法还是有一定效果的,但还需在后续教学中继续巩固。
3.通过实际例题,培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
本节课将结合教材内容,通过讲解、示范、练习等环节,帮助学生掌握特殊角的锐角三角函数值,并为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。
二、核心素养目标
3.增强学生的数学运算与数据分析能力:通过解决实际例题,让学生运用锐角三角函数进行计算和分析,提高数学运算与数据分析能力,为解决复杂问题奠定基础。
本节课将紧密围绕新教材的要求,关注学生核心素养的培养,帮助学生将所学知识内化为自身的数学素养,为未来的学习和生活打下坚实基础。
后的内容###”二、核心素养目标”作为标题标识,再开篇直接输出。
2.逻辑推理:通过特殊角的锐角三角函数值的推导,提高学生的逻辑推理能力。
3.数学运算与数据分析:培养学生运用特殊角的锐角三角函数值进行精确计算和解决实际问题的能力。
三、教学过程
1.导入新课
通过回顾上一节课的内容,引导学生进入锐角三角函数的学习。
2.基本概念与性质
复习锐角三角函数的定义,强调正弦、余弦、正切的概念。
四、教学评价
1.课堂问答:检查学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
2.练习题完成情况:评估学生对知识点的理解和运用能力。
3.课后作业:布置相关作业,巩固所学知识。
五、教学资源
1.教材:人教版数学九年级下册。
2.课件:包含本节课教学内容的PPT。
3.练习题:针对本节课知识点的练习题。
五、教学反思
在上完这节关于特殊角的锐角三角函数值的内容后,我进行了深入的思考。首先,我发现学生们对于锐角三角函数的定义有了较好的理解,但记忆特殊角的函数值还存在一定难度。在教学中,我尝试通过一些记忆方法,如编口诀、画图等,帮助学生记忆。从学生的反馈来看,这些方法还是有一定效果的,但还需在后续教学中继续巩固。
28.1 第2课时 余弦 正切
课堂小结
1.通过本节课的学习,我们一共学习了哪几种锐角三角 函数,它们是如何定义的?
余弦
c
B
cos A=
∠A 的邻边 斜边
= b; c
a 正切
A
b
C
tan A=
∠A 的对边 ∠A 的邻边
=a . b
课后作业
教科书第 68 页习题28.1 第 1 题.
AC 2
sinB AC 2 2 13 ,cosB BC 3 3 13C,
2 (2)
A
AB 13 13
AB 13 13
tanB AC 2 BC 3
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果各边长都扩大到原来 的2倍,那么∠A的正弦值、余弦值和正切值有什么 变化?
答:∠A的正弦、余弦和正切值没有变化. 理由:锐角三角函数值与三角形大小无关.
a b
要点提示
• 在sinA,cosA, tanA中,三角函数的符号一定要小写, 不能大写.
• 当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示 时,它的三角函数习惯上省略角的符号“∠”,如sinA, cosα等;当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时, 它的三角函数不能省略角的符号“∠”, 如cos∠ABC, sin∠1等.
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦、正切
学习目标: 1.了解锐角三角函数的概念, 理解余弦、正切的概念. 2.能根据正弦、余弦、正切的定义进行相关的计算.
在Rt△ABC中,∠C=90°,
B
1.锐角正弦的定义:
c
a
∠A的正弦:sinA
=
Байду номын сангаас
∠A的对边 斜边
=
28.1.1锐角三角函数---特殊的三角函数值
?
思考
两块三角尺中有几个不同的锐角? 两块三角尺中有几个不同的锐角? 分别求出这几个锐角的正弦值余弦值正 切值. 切值.
设图中,每个三角尺较 短的边长为1,利用勾股 定理和三角函数的定义可 以求出这些三角函数值.
300、450、600角 的正弦值、余弦值和正切值、余切值如下表:
三角函数 正弦sinα 锐角α
0 ’ ” 键,进一步得到 还可以利用 2nd F 07’08.97 这说明锐角A精确到1 的结果为 08.97”( ∠ A=30007 08.97 (这说明锐角A精确到1’的结果为 的结果为30 9 ). 3007’,精确到1”的结果为3007’9”). ,精确到1 的结果为
怎样验算求出 ∠A=3007’9”的 是否正确?
例4.(1)如图,在Rt△ABC中, 4.(1)如图, Rt△ABC中 如图 ,BC=√3,求 的度数. ∠C=900,AB=√6 ,BC=√3,求∠A的度数.
解: (1)在 中 图 , BC 3 2 Qsin A = = = AB 2 6 0 ∴∠A = 45
(2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 如图 AO OB的 OB的√3倍,求α.
B 一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦( 一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个 锐角的余弦等于它的余角的正弦); 锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切( 一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个 锐角的余切等于它的余角的正切); 锐角的余切等于它的余角的正切); A c a b ┌ C
例4.(1)如图,在Rt△ABC中, 4.(1)如图, Rt△ABC中 如图 ,BC=√3,求 的度数. ∠C=900,AB=√6 ,BC=√3,求∠A的度数. (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 如图 AO OB的√3倍,求α. OB的
28.1.1锐角三角函数
问题
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上 修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数 是30°,为使出水口的高度为35 m,需要准备多长的水管?
这个问题可以归结为:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB . 根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半” 可知:AB=2BC=70m,也就是说,需要70m长的水管 .
已知一个三角函数求其他
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA= ,求sinA、tanA 的值.
设未知数的技巧
如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC,
求证:AC=BD;
若
,BC=12,求AD的长.
答案:
利用三角函数的定义证明. AD=8.
三角函数之间的关系 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:sinA=cosB, sinB=cosA.
2.1m 垂直中心线
塔顶中心点
54.5m 塔身中心线
你知道怎么求角 θ吗?
要解决这个问题,就得研究三角函数
高跟鞋多高合适?
据研究,当高跟鞋的鞋底 与地面的夹角为11度左 右时,人脚的感觉最舒适 .
假设某成年人的脚掌长为15厘米,不难算出鞋跟约在3厘米左 右高度为最佳.
你知道研究人员是怎么计算的吗? 要解决这个问题,就得研究三角函数
B
斜边c
对边a
A
C
领边b
标题 如图:在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F=90°, 与 相等吗? 与 呢?
证明:
余弦和正切的概念
在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定 时,无论这个直角三角形大小如何, ∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的 比都是一个固定值.
28.1 第2课时 余弦函数和正切函数
AB DE 成立吗?为什么?
α
α
讲授新课
一 余弦
互动探究
我们来试着证明前面的问题:
证明:∵∠A=∠D=α ,∠C=∠F=90° ∠B=180°-∠A-∠C ∠E=180°-∠D-∠F
∴ ∠B=∠E.
∴ sin B sin E.
∴ AC DF .
α
AB DE
学案40页自学1
α
学案40页归纳
由此可得,在有一个锐角等于α的所有直角三角 形中,角α的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角 三角形的大小无关.
AB 10 5
AC 8 4
课堂小结
余弦函数 和
正切函数
余弦 正切 性质
在直角三角形中,锐角α的邻边 与斜边的比叫做角α的余弦
在直角三角形中,锐角α的对边 与邻边的比叫做角α的正切
α确定的情况下,cosα,tanα为定 值,与三角形的大小无关
三
正弦
sin
A
A的对边 = 斜边
a c
角 函
余弦
cos A
∴ BC EF . AC DF
α
α
学案41页归纳
由此可得,在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中,角α的对边与邻边的比值是一个常数,与 直角三角形的大小无关.
如下图,在直角三角形中,我们把锐角A的对边 与邻边的比叫作角A的正切,记作tanA, 即
A ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数.
三 锐角三角函数
学案40页交流5
问题 如图, △ABC 和△DEF 都是直角三角形, 其中 ∠A=∠D =α ,∠C =∠F =90°, 则 BC EF 成立吗?
AC DF 为什么?
α
α
学案40页交流5
α
α
讲授新课
一 余弦
互动探究
我们来试着证明前面的问题:
证明:∵∠A=∠D=α ,∠C=∠F=90° ∠B=180°-∠A-∠C ∠E=180°-∠D-∠F
∴ ∠B=∠E.
∴ sin B sin E.
∴ AC DF .
α
AB DE
学案40页自学1
α
学案40页归纳
由此可得,在有一个锐角等于α的所有直角三角 形中,角α的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角 三角形的大小无关.
AB 10 5
AC 8 4
课堂小结
余弦函数 和
正切函数
余弦 正切 性质
在直角三角形中,锐角α的邻边 与斜边的比叫做角α的余弦
在直角三角形中,锐角α的对边 与邻边的比叫做角α的正切
α确定的情况下,cosα,tanα为定 值,与三角形的大小无关
三
正弦
sin
A
A的对边 = 斜边
a c
角 函
余弦
cos A
∴ BC EF . AC DF
α
α
学案41页归纳
由此可得,在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中,角α的对边与邻边的比值是一个常数,与 直角三角形的大小无关.
如下图,在直角三角形中,我们把锐角A的对边 与邻边的比叫作角A的正切,记作tanA, 即
A ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数.
三 锐角三角函数
学案40页交流5
问题 如图, △ABC 和△DEF 都是直角三角形, 其中 ∠A=∠D =α ,∠C =∠F =90°, 则 BC EF 成立吗?
AC DF 为什么?
α
α
学案40页交流5
28.1锐角三角函数定义纯知识点
28.1 锐角三角函数知识点一、锐角三角函数的定义我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦把∠A的对边与邻边的比叫做正切注:(1)正弦、余弦、正切函数反映里直角三角形边角之间的关系,是两条线段的比值,没有单位。
锐角三角函数值只与锐角的大小有关,与三角形的边的长短无关,即与三角形的大小无关。
(2)表示某个角的三角函数时,可直接将角的名称或度数写在符号(“sin”、“cos”、“tan”)后面。
如sin∠ABC,sin∠1,sin60°等。
若角的名称是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的,在表示它的三角函数时,习惯省略“∠”的符号,如“sinA,sinα”等。
(3)三角函数的乘方运算,“(sinA )n”可简写为“sin n A”(4)锐角三角函数只能在直角三角形中应用。
(5)锐角三角函数的取值范围:0<sinA<1,0<cosA<1,tanA >0知识点三、求锐角三角函数值的方法(1)直接利用定义求值:当已知条件为直角三角形的两边长时,利用勾股定理可求第三边长,依据三角函数的定义,直接代入求值。
(2)根据特殊角的三角函数值求值,关键要熟记30°,45°,60°角的三角函数。
(3)求等角的三角函数值:当直接用三角函数的定义求某锐角的三角函数值有困难时,可通过转化求等角的三角函数值。
(4)设参数求三角函数值:当已知某两条线段的比或某一三角函数值,可设参数求解。
知识点四、锐角三角函数的增减性当锐角的度数在0°~90°之间变化时,其正弦值、正切值随角度的增大(或减小)而增大(或减小),其余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
人教版数学九年级下册第28章(教案):28.1锐角三角函数-余弦、正切
2.教学难点
-函数定义的抽象理解:锐角三角函数的定义涉及到从具体的直角三角形中抽象出函数概念的过程,这对于学生来说是一个难点。需要通过直观的图形和具体的例子帮助学生理解。
-函数性质的掌握:理解并记忆余弦和正切函数随角度变化的规律是学生的另一个难点。需要通过图表、动画等多种方式,让学生直观感受函数值的变化。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调余弦和正切函数的定义及其性质。对于难点部分,我会通过具体的直角三角形图形和计算例子来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题,如测量建筑物的高度。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如使用尺子和量角器来实际测量并计算一个物体的余弦和正切值。
3.提高学生的表达能力和逻辑思维,通过组织各类活动,锻炼他们的口才和思维。
4.及时关注学生的学习反馈,调整教学策略,确保每位学生都能跟上教学进度。
2.正切函数的定义:介绍正切函数的定义,分析锐角α的正切值等于直角三角形中,角α的对边与邻边的比值。
3.余弦、正切函数的性质:分析余弦、正切函数随角度变化的规律,探讨它们在0°~90°范围内的变化趋势。
4.应用举例:结合实际问题,运用余弦和正切函数解决一些简单的直角三角形问题。
5.练习与巩固:通过典型例题和练习题,使学生熟练掌握余弦和正切函数的计算及应用。
人教版数学九年级下册第28章(教案):28.1锐角三角函数-余弦、正切
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》中的28.1节,本节课主要围绕余弦和正切两个锐角三角函数展开。内容包括:
1.余弦函数的定义:通过直角三角形中的边长关邻边和斜边的比值关系。
-函数定义的抽象理解:锐角三角函数的定义涉及到从具体的直角三角形中抽象出函数概念的过程,这对于学生来说是一个难点。需要通过直观的图形和具体的例子帮助学生理解。
-函数性质的掌握:理解并记忆余弦和正切函数随角度变化的规律是学生的另一个难点。需要通过图表、动画等多种方式,让学生直观感受函数值的变化。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调余弦和正切函数的定义及其性质。对于难点部分,我会通过具体的直角三角形图形和计算例子来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题,如测量建筑物的高度。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如使用尺子和量角器来实际测量并计算一个物体的余弦和正切值。
3.提高学生的表达能力和逻辑思维,通过组织各类活动,锻炼他们的口才和思维。
4.及时关注学生的学习反馈,调整教学策略,确保每位学生都能跟上教学进度。
2.正切函数的定义:介绍正切函数的定义,分析锐角α的正切值等于直角三角形中,角α的对边与邻边的比值。
3.余弦、正切函数的性质:分析余弦、正切函数随角度变化的规律,探讨它们在0°~90°范围内的变化趋势。
4.应用举例:结合实际问题,运用余弦和正切函数解决一些简单的直角三角形问题。
5.练习与巩固:通过典型例题和练习题,使学生熟练掌握余弦和正切函数的计算及应用。
人教版数学九年级下册第28章(教案):28.1锐角三角函数-余弦、正切
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》中的28.1节,本节课主要围绕余弦和正切两个锐角三角函数展开。内容包括:
1.余弦函数的定义:通过直角三角形中的边长关邻边和斜边的比值关系。
人教版九年级数学下册28.1:锐角三角函数(教案)
4.培养学生的空间观念:借助直角三角形的图形,让学生在实际情境中理解锐角三角函数的几何意义,提高空间想象力。
这些核心素养目标的实现将有助于学生形成完整的数学知识体系,提高数学思维品质,为未来的学习和生活打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义:正弦、余弦、正切函数的概念是本节课的核心,需确保学生理解函数定义的几何意义。
在总结回顾环节,我强调了锐角三角函数在实际生活中的应用,希望学生们能够学以致用。但从学生的反馈来看,他们对这部分内容的掌握程度仍有待提高。为此,我计划在下一节课中增加一些与实际应用相关的练习题,让学生们在实践中巩固所学知识。
最后,我认识到教学过程中要关注学生的个体差异,因材施教。在今后的教学中,我会更多地关注每个学生的学习需求,努力提高教学质量,使每位学生都能在课堂上收获满满。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中,我们探讨了锐角三角函数的概念和应用。回顾整个教学过程,我觉得有几个方面值得反思。
首先,关于导入新课的部分,通过提出与日常生活相关的问题,我发现学生们对锐角三角函数产生了浓厚的兴趣。这样的导入方式有效地激发了学生的好奇心和求知欲,为后续的学习打下了良好的基础。
其次,在新课讲授环节,我尝试以直观的方式解释锐角三角函数的定义和性质,并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。但我也注意到,部分学生对函数名称和函数值之间的对应关系仍存在一定的混淆。在今后的教学中,我需要更加重视这一点,通过丰富多样的教学手段帮助学生更好地理解和记忆。
这些核心素养目标的实现将有助于学生形成完整的数学知识体系,提高数学思维品质,为未来的学习和生活打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义:正弦、余弦、正切函数的概念是本节课的核心,需确保学生理解函数定义的几何意义。
在总结回顾环节,我强调了锐角三角函数在实际生活中的应用,希望学生们能够学以致用。但从学生的反馈来看,他们对这部分内容的掌握程度仍有待提高。为此,我计划在下一节课中增加一些与实际应用相关的练习题,让学生们在实践中巩固所学知识。
最后,我认识到教学过程中要关注学生的个体差异,因材施教。在今后的教学中,我会更多地关注每个学生的学习需求,努力提高教学质量,使每位学生都能在课堂上收获满满。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中,我们探讨了锐角三角函数的概念和应用。回顾整个教学过程,我觉得有几个方面值得反思。
首先,关于导入新课的部分,通过提出与日常生活相关的问题,我发现学生们对锐角三角函数产生了浓厚的兴趣。这样的导入方式有效地激发了学生的好奇心和求知欲,为后续的学习打下了良好的基础。
其次,在新课讲授环节,我尝试以直观的方式解释锐角三角函数的定义和性质,并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。但我也注意到,部分学生对函数名称和函数值之间的对应关系仍存在一定的混淆。在今后的教学中,我需要更加重视这一点,通过丰富多样的教学手段帮助学生更好地理解和记忆。
余弦及正切
AC = AB A’C’ A’B’
B’C’ BC = 即 A’C’ AC
在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A 的对边与邻边,邻边与斜边的比是一个固定值。
如图:在Rt △ABC中,∠C=90°, 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A
的 余弦,记作 cosA。
一个角的 正切表示 定值、比 值、正值。
B
A
┌ C
小结
回顾 及时总结经验,要养成积累 方法和经验的良好习惯!
在Rt△ABC中
A的对边 = sinA= A的斜边 A的邻边 = cosA= A的斜边 A的对边 = tanA= A的邻边
a c b c
a b
回味
无穷
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定 义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三 角形)。
§28.1 锐角三角函数
——余弦 正切
如图:在Rt △ABC中,∠C=90°,
正弦
1、sinA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合, 构造直角三角形)。 2、sinA 是一个比值(数值)。 3、sinA 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无 关。 特殊角的正弦函数值
1 sin 30°= 2
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值(数值)。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小 有关,而与直角三角形的边长无关。
课后作业
习题28.1中1.4.6.
独立完成作业的良好习惯,
是成长过程中的良师益友。
试一试:
下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B 的对边、邻边。 B D (1) tanA =
余弦、正切
28.1 锐角三角函数
观察含30°角和45°角的三角形的邻边与斜边、对 边与邻边的比值,看看你有什么发现?
结论:在 Rt△ABC 中,当锐角 A 的度数为30°和 45°时,无论这个直角三角形大小如何,∠A 的 邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定 值.
人民教育出版社
九年级 数学 下册
推理证明 引出概念
九年级 数学 下册
合作探究 运用新知
28.1 锐角三角函数
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AB=3,求∠A,
B
∠B的正弦、余弦、正切值.
3
2
解:在RtABC中, AB 3, BC 2根据勾股定理得:
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sin A BC 2 ,cos A AC 5 ,tan A BC 2 2 5 .
人民教育出版社
九年级 数学 下册
28.1 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数(第2课时)
—— 余弦 正切
襄城县斌年级 数学 下册
复习回顾 引入新课
28.1 锐角三角函数
请同学们回顾一下,什么叫正弦?我们是怎么探究出 正弦的概念的?
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,当∠A 确定时,∠A 的对 边与斜边比随之确定.除了对边与斜边的比,三角形中还 存在有其他边之间的比吗?此时,其他边之间的比值是否 也随之确定呢?
28.1 锐角三角函数
如图:在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D,∠C=∠F
=90°,
AC AB
与 DF
DE
相等吗? BC 与 EF
AC DF
呢?
解:
AC AB
锐角三角函数——余弦和正切 优质课件
第 二 十 八
第二十八章 锐角三角函数章锐 角 Nhomakorabea 角 函 数
28.1 第2课时 余弦和正切
探究 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,当锐角
A 确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定. B
此时,其他边之间的比是否也确定了 呢?
A
C
28.1 第2课时 余弦和正切
在RtABC和RtA'B'C'中,C C'
A
BC AB
160
3, 5
10 6
cos
A
AC AB
180
54,
tan
A
BC AC
6 8
43.
28.1 第2课时 余弦和正切
练习 1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、 余弦值和正切值.
(1)sin A= 5 , cos A 12 , tan A 5 ; sin B=12 , cos B= 5 , tan B=12.
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ ABC中,∠C =90°,把∠A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
.
c b
a
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的对边与邻边 的比叫做∠A的正切,记作tan A,即
tan
A
A的对边 A的邻边
28.1 第2课时 余弦和正切 3.在Rt△ABC中,∠A的∠正A切的是对边与邻边 __tAa_n______tA_a=_n___AA_的的__邻对_边边_;的记比作_______,即 _________________. 4.在Rt△ABC中,∠A的对边习惯上记作a, ∠B的 对边记作b,斜边记作c, sin A=______, sin B=_______,cos A=______,cos B=_______, tan A=_____,tan B=_____.
第二十八章 锐角三角函数章锐 角 Nhomakorabea 角 函 数
28.1 第2课时 余弦和正切
探究 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,当锐角
A 确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定. B
此时,其他边之间的比是否也确定了 呢?
A
C
28.1 第2课时 余弦和正切
在RtABC和RtA'B'C'中,C C'
A
BC AB
160
3, 5
10 6
cos
A
AC AB
180
54,
tan
A
BC AC
6 8
43.
28.1 第2课时 余弦和正切
练习 1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、 余弦值和正切值.
(1)sin A= 5 , cos A 12 , tan A 5 ; sin B=12 , cos B= 5 , tan B=12.
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ ABC中,∠C =90°,把∠A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
.
c b
a
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的对边与邻边 的比叫做∠A的正切,记作tan A,即
tan
A
A的对边 A的邻边
28.1 第2课时 余弦和正切 3.在Rt△ABC中,∠A的∠正A切的是对边与邻边 __tAa_n______tA_a=_n___AA_的的__邻对_边边_;的记比作_______,即 _________________. 4.在Rt△ABC中,∠A的对边习惯上记作a, ∠B的 对边记作b,斜边记作c, sin A=______, sin B=_______,cos A=______,cos B=_______, tan A=_____,tan B=_____.
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)
B.a·tanα
D. atanA来自aCα
B
【解析】选B.在Rt△ABC中,tanα= AB
AC
所以AB=a·tanα
【规律方法】 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形); 2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示∠A的正弦、余弦,习 惯省去“∠”符号; 3.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形 的边长无关.
A
C
sin A BC 6 3,cos A AC 8 4,tan A BC 6 3
AB 10 5
AB 10 5
AC 8 4
sin B AC 8 4,cos B BC 6 3,tan B AC 8 4 .
AB 10 5
AB 10 5
BC 6 3
延伸:由上面的计算,你能猜想∠A,∠B的正弦、余弦值 有什么规律吗?正切呢?
——余弦 正切
复习与探究:
B
c
a
A
bC
在 RtABC中, C 90
1.锐角正弦的定义
∠A的正弦:
sinA
A的对边 斜边
BC AB
a c
2、当锐角A确定时,∠A的邻边与斜边 的比, ∠A的对边与邻边的比也随之确 定吗?为什么?交流并说出理由。
思考探究
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°,∠A
rldmm8989889
1 tanA
BC
CD
AC (AD)
2 tanB (AC) CD
BC (BD)
A
DB C
练习
1、在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6, 求sinB,cosB,tanB.
A
B
C
D
2.(2010·黄冈中考)在△ABC中,∠C=90°,sinA= 4
则tanB=( )
5
B
A. 4
B. 3
C. 3
余弦(cosine),记作cosA, 即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切(tangent),记作tanA, 即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
注意
▪ cosA,tanA是一个完整的符号,它表示 ∠A的余弦、正切,记号里习惯省去角的符 号“∠”;
D. 4
3.(32010·丹东4 中考)如5 图,小颖5 利用有一
C
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,
已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为 30
1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离),那 °A
D
么这棵树高是(A )
B
E
A.( 5 3 3 )m 32
B.(5 3 3 )m 2
C. 5 3 m 3
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
对于锐角A的每一 个确定的值,sinA有 唯一确定的值与它对 应,所以sinA是A的函 数。
同样地, cosA, tanA也是A的函数。
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,
AB=10,求∠A,∠B的正弦、余弦、正切值. B
解:在RtABC中,
10
6
AC AB2 BC 2 102 62 8,
=∠A’ ,那么 AC 与 A'C' 有什么关系.你能解释一
下吗?
AB A' B'
B'
B
A
C A'
C'
∵∠C=∠C’=90°, ∠A=∠A’
∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
AC AB , A'C' A' B'
即 AC A'C' . AB A' B'
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
D.4m
4.(2010·怀化中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= 4 5
则cosB的值等于( B )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 5
5
5
4
5
5.(2010·东阳中考)如图,为了测量河两岸A.B两点的
距离,在与AB垂直的方向点C处测得AC=a,∠ACB=α,
那么AB等于( A.a·sinα C.a·cosα
例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
BC=6,sin A 3 ,求cosA和tanB的值. B
5
6
解: sin A BC , AB
A
C
AB BC 6 5 10. sin A 3
又AC AB2 BC 2 102 62 8,
cos A AC 4 ,tan B AC 4 .
在Rt△ABC中
sinA A的对边 a A的斜边 c
cosA
A的的邻边 A的的斜边
b c
tanA A的的对边 a A的的邻边 b
28.1锐角三角函数(3)
斜边c
B sinA A的对边 BC a 斜边 AB c
∠A的对边a
cosA A的邻边 AC b 斜边 AB c
A
∠A的邻边b
C
tanA
A 的对边 邻边
BC AC
a b
rldmm8989889
请同学们拿出
自己的学习工具— 1
2
—一副三角尺,思
考并回答下列问题:
3
1
1
2
1、这两块三角尺各有几个锐角?它们分别等于多少度?
30° 60°
45° 45°
2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系?如 果设每块三角尺较短的边长为1,请你说出未知边 的长度。
▪ cosA,tanA没有单位,它表示一个比值, 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对 边与邻边的比;
▪ cosA不表示“cos”乘以“A”, tanA不表 示“tan”乘以“A”
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
结论:一个锐角的正弦等于它余角的余弦,或一个锐角的 余弦等于它余角的正弦。一个锐角的正切和它余角的正切 互为倒数.
结论:一个锐角的正弦等于它余角的 余弦,或一个锐角的余弦等于它余角 的正弦。一个锐角的正切和它余角的 正切互为倒数.
sin A cos(900 A) cos A sin(900 A) tan A tan(900 A) 1
AB 5
BC 3
1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tanA的值 为( )
1
5
25
A.2 B. C.2 D.
5
5
1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值
()
C
B
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
C
2、下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.指出 ∠A和∠B的对边、邻边.