第十章 强度理论

内摩擦力却取决于剪切面上的正应力σ 的大小。
1.摩尔理论适用于脆性剪断：
2.材料的剪断破坏发生在(t-fσ )值最大的截面上(这里 f 为内摩擦系数)。
①在一定应力状态下，滑移面上为压应力时，滑移阻力增大；为拉应力时，滑移阻力减小； 脆性剪断：在某些应力状态下，拉压强度不等的一些材料也可能发生剪断，例如铸铁的压缩。 强度理论
②由实验确定剪断时的 tjx、σ n 关系： τ jx = F (σ n )
③不考虑σ 2 的影响，每一种材料可通过一系列的试验，作出极限应力圆，它们的包络线就
是曲线，当最大应力圆恰好与包络线相接触时，则材料刚刚达到极限状态；若最大应力圆位 于包络线以内时，则它代表的应力状态是安全的。
极限应力圆：材料达到屈服时，在不同σ 1 和σ 3 比值下所作出的一系列最大应力圆(摩尔圆)。
⎧ ⎪⎪
D3O3
=
σ1
−σ3 2
，
D1O1
=
[σ l 2
]
，
OO3
=
σ1
+σ3 2
⎨
⎪ ⎪⎩
D2O2
= [σ y ] 2
，
OO1
=
[σ l 2
]
，
OO2
=
[σ y 2
]
σ1
−
[σ [σ
l] y]
σ3
≤
[σ
l
]
σ1 −σ 3 −[σ l ] = [σ l ] − (σ1 + σ 3 )
[σ y ] −[σ l ]
强度理论的概念 四个强度理论 摩尔强度理论 各种强度理论的适用范围
强Baidu Nhomakorabea理论
强度理论的概念 1.简单应力状态下强度条件可由实验确定 2.一般应力状态下，材料的失效方式不仅与材料性质有关，且与其应力状态有关，即与各主 应力大小及比值有关； 3.复杂应力状态下的强度准则不能由实验确定(不可能针对每一种应力状态做无数次实验)； 4.强度准则：
4 [σ ]
4 ×160
可以看出，第三强度理论较第四强度理论偏向安全一方。 例三 图示一 T 型截面的铸铁外伸梁，试用摩尔强度理论校核 B 截面胶板与翼缘交界处的
强度。铸铁的抗拉和抗压许用应力分别为[σ l]=30MPa，[σ y]=160MPa。
52 120
20
9kN A
4kN B
1m
1m
1m
80
①金属材料的强度失效分为：屈服与断裂； ②强度准则(强度理论)：材料失效原因的假说
(假说—实践—理论)； ③通过强度准则，利用单向拉伸实验结果建立各种应力状态下的失效判据和相应的设计准 则。 四个强度理论 两类强度理论：
1. 第一类强度理论（以脆性断裂破坏为标志）
2. 第二类强度理论（以塑性屈服破坏为标志） 一、第一强度理论（最大拉应力理论）
准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的最大拉应力σ 1 达到某个共同极限值σ jx。 1.断裂原因：最大拉应力σ 1 （与应力状态无关）
2 破坏条件σ1 = σ b
3 强度条件σ1 ≤ [σ ]
4.应用情况：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；但未考虑其余主 应力影响且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。 二、最大伸长线应变理论 （第二强度理论） 准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的最大伸长线应变
z
O
20
解：由上图易知，B 截面：M=-4kN·M，Q=-6.5kN。
根据截面尺寸求得： I z = 763cm4
，
S
* z
=
67.2cm3
从而算出：
⎪⎪⎧σ ⎨ ⎪⎪⎩τ
= =
My
Iz
QS
* z
Izb
= =
4×106 × 32 = 16.8MPa 763×104
6.5×103 × 67.2×103 763×104 × 20
D2 τ
用 单 向 拉 伸 和 压 压缩 缩极限应力圆作 包络线τjx=F(σn)
O2
O
拉伸 σ
D1
拉伸 σ
O1
D2 τ
D3 D1
E2
[σy]
E3
[σl] σ
O2
O O3 O1
σ3
σ1
E3O3 = O1O3 ⇒ D3O3 − D1O1 = OO1 − OO3 E2O2 O1O2 D2O2 − D1O1 OO1 + OO3
2
屈服条件 (σ1
− σ 2 )2
+
(σ 2
−σ3)2
+
(σ 3
−σ1)2
=
2σ
2 s
3 屈服准则
1 2
[(σ1
−σ
2 )2
+
(σ
2
−σ
3)2
+
(σ 3
−σ1)2
]
≤
[σ
]
4.应用情况：对塑性材料比最大剪应力准则符合实验结果。
摩尔强度理论 一、摩尔强度理论（修正的最大切应力理论）
准则：剪应力是使材料达到危险状态的主要因素，但滑移面上所产生的阻碍滑移的
=
2.86MPa
在截面 B 上，翼缘 b 点的应力状态如上图所示。求出主应 力为：
σ σ
1 3
⎫ ⎬ ⎭
=
16.8 2
±
16.8 (
)
2
2
+ 2.862
=
⎧17.3
⎩⎨−
MPa 0.47
由于铸铁的抗拉、压强度不等，应使用莫尔准则，有：
σ rM
=
σ
1
−
[σ [σ
t c
] ]
σ
3
=
17.3
−
30 160
达到某一共同的极限值 tjx。 1.屈服原因：最大切应力 tmax（与应力状态无关）；
2 屈服条件σ1 − σ 3 = σ s
3 屈服准则σ1 − σ 3 ≤ [σ ]
4.应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。 强度理论 四、第四强度理论（形状改变比能理论） 准则：不论应力状态如何，材料发生屈服的共同原因是单元体中的形状改变比能 ud 达到某 个共同的极限值 udjx。 1.屈服原因：最大形状改变比能 u（与应力状态无关）；
ε 1 达到某个共同极限值 ε jx。 1.断裂原因：最大伸长线应变 ε 1（与应力状态无关）；
2 破坏条件 ε1 = σ1 − μ(σ 2 + σ 3 ) = σ b
3 强度条件σ1 − μ(σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]
4.应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。 三、最大切应力理论（第三强度理论） 准则：无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服流动的原因都是单元体内的最大切应力 tmax
2.莫尔强度准则： ①公式推导：
②强度准则：
σ1
−
[σ l [σ y
]σ ]
3
≤
[σ l
]
[σ l]—拉伸许可应力；[σ y]—压缩许可应力。如材料拉压许用应力相同，则莫尔准则与最
大剪应力准则相同。
τ
τ jx = F(σ n)
σ
极限应力圆
纯剪切 τ
用单向拉伸、压缩
压缩
和纯剪切极限应 力圆作包络线
τjx=F(σn)
由强度理论可以 [σ]推知 [τ]
如纯剪时，由第四强度理论得： [τ] = [σ] = 0.577[σ]
3
二、应用举例
强度准则的统一形式：σ r ≤ [σ ]
⎧σ r1 = σ1 ⎪⎪σ r2 = σ1 −ν (σ 2 + σ 3 )
⎪σ ⎪
r
3
= σ1
−σ3
其中 ⎪⎨σ r4 = ⎪
1 2
[(σ1
按第三强度理论有：σ1 − σ 3
=
pd 2t
≤ [σ ]
t
≥
pd 2[σ
]
=
3.6 ×1000 2 ×160
=
11.25mm
按第四强度理论有： 1 [( pd − pd )2 + ( pd )2 + ( pd )2 ] ≤ [σ ]
2 2t 4t
4t
2t
t ≥ 3 pd = 3 × 3.6×1000 = 9.75mm
σ
2
+
4τ
2
⎫ ⎪
⎪
⎬
σ3
=
σ 2
−
1 2
⎪ σ 2 + 4τ 2 ⎪
⎭
钢材在这种应力状态下会发生屈服失效，故可采用第三和第四强度理论作强度计算。两种理 论的相当应力分别为：
σ r3 = σ1 −σ 3 = σ 2 + 4τ 2 = 169.7MPa
σr4 =
1 2
[(σ1
−σ
2
)2
+
(σ
2
−
σ
3)2
(−0.47)
=
17.4MPa
<
[σ
t
]
故满足摩尔理论的要求。
τ σ
[σ l ] + [σ y ]
⇒
σ1
−
[σ [σ
l]σ y]
3
=
[σ
l
]
各种强度理论的适用范围 1、不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，均会发生脆性断裂，宜采用最大拉应 力理论（第一强度理论）。 2、脆性材料：在二轴拉伸应力状态下，应采用最大拉应力理论；在复杂应力状态的最大、 最小拉应力分别为拉、压时，由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用摩尔强度理论。 3、塑性材料（除三轴拉伸外），宜采用形状改变比能理论（第四强度理论）和最大剪应力理 论（第三强度理论）。 4、三轴压缩状态下，无论是塑性和脆性材料，均采用形状改变比能理论。
+
(σ 3
−σ1)2
]
=
σ 2 + 3τ 2 = 158.7MPa
两者均小于[σ ]=170MPa。可见，无论采用第三或是第四强度理论进行强度校核，该结构都
是安全的。 例二 等厚钢制薄壁圆筒如图所示，其平均直径 d=100cm，筒内液体压强 p=3.6MPa。材料
的许用应力[σ ]=160MPa，试设计圆筒的壁厚。
σt
p σx
t p
∑X =0:
σ xπdt
=
p
πd 2 4
σx
=
pd 4t
y z
σx x
d y
σt
x
∑Y = 0 : 2(σ t Lt) = pdL
σt
=
pd 2t
在 d>>t 的 条 件 下，p与 t相比很小可 略去不计，故主应力为：
z L
σ1 = σt ， σ2 = σ x ， σ3 ≈ 0
钢材在这种应力状态下会发生屈服失效
−
σ
2
)2
+
(σ
2
−
σ
3
)2
+
(σ
3
−
σ1)2
]
⎪ ⎪σ rM ⎪
=
σ
1
−
[σ [σ
l y
] ]
σ
3
⎪⎩
例一 某结构危险点的应力状态如图所示，其中σ ＝120MPa，t=60MPa。材料为钢，许用 应力[σ ]=170MPa，试校核此结构是否安全。
σ
τ
解：
σ1
=
σ 2
+
1 2
主应力为: σ 2 = 0