两条直线的交点
两条直线的交点
y= - 3 4 1 3 \ 这两条直线的交点是M（ ，- ） 2 4
ì 1 x= 2 得
练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求
出交点的坐标，否则试着说明两线的位置关系： （1）l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
2. 二元一次方程组的解与两条直线的位置关系
{
A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
ì 唯一解 镲 圹眄 无穷多解 镲 镲 镲 无解
ì l1与l2相交 l1与l2重合 l1与l2平行
例1：求下列两条直线的交点 x+2y+1=0； l1：x+2y+1=0；l2:-x+2y+2=0.
1 .两条直线的交点坐标 两条直线的交点坐标
思考： 几何元素及关系 点A 直3;C=0 Aa+Bb+C=0 点A的坐标是方程组 直线l1与l2的交点是A
{
A x+ B1 y+ C1 = 0 1 A2 x+ B2 y+ C2 = 0
的解
结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组 结论
解：解方程组 ì x + 2y + 1= 0 镲 眄 镲 x + 2y + 2 = 0
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 2y+2=0， 2x－ l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
x= 2 x－2y+2=0 解：解方程组 2x－y－2=0 得 y=2 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
两条直线的交点
目录
• 直线交点的基本概念 • 两条直线交点的求解 • 直线交点的应用 • 直线交点的扩展知识 • 直线交点的注意事项
01
直线交点的基本概念
定义
交点
两条直线在某一点相交，这个点 就是这两条直线的交点。
定义补充
如果两条直线在无限远处相交， 则称这两条直线为平行的。
性质
唯一性
对于任意两条给定的直线，它们只有 一个交点，除非这两条直线是平行的 。
直线与曲线的交点
总结词
直线与曲线的交点是确定曲线与直线关系的 关键。
详细描述
当一条直线与一个曲线相交，它们会在某一 点相遇。这个交点是曲线上的一个点，也是 直线与曲线关系的重要标识。在解析几何中 ，求直线与曲线的交点是常见的问题，也是
解决许多实际问题的基础。
直线与直线的其他关系
总结词
除了相交之外，直线之间还存在平行、重合等多种关 系。
02
两条直线交点的求解
代数法
总结词
通过解方程组来求解交点
详细描述
根据直线方程 $y = mx + c$ 和 $y = nx + d$，联立方程组求解 $x$ 和 $y$ 的值，得到交点坐标 $(x, y)$。
几何法
总结词
通过画图观察交点
详细描述
在坐标系中画出两条直线的图形，通过观察直线在坐标轴上的交点，直接得出 交点坐标。
要点二
舍入误差
在计算过程中，可能会产生舍入误差，这会影响交点的精 度。为了减小舍入误差的影响，可以使用适当的舍入策略 ，如四舍五入或截断。
特殊情况的处理
平行线
如果两条直线平行，它们没有交点。在计算交点时，需 要特别处理这种情况，避免产生错误的结果。
原题：求两条直线的交点坐标。
原题：求两条直线的交点坐标。
原题：求两条直线的交点坐标背景在解析几何中，求取两条直线的交点坐标是一个常见的问题。
本文将介绍两种常见的方法：代数方法和几何方法。
代数方法1. 设定两条直线的方程为：y = k1*x + b1 和 y = k2*x + b2。
2. 将两个方程联立，得到交点的坐标。
- 将y的表达式相等：k1*x + b1 = k2*x + b2；- 化简得到：(k1 - k2)*x = b2 - b1；- 求得x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)；- 代入其中一个方程，求得y的值：y = k1*x + b1。
3. 最后的结果是交点的坐标为 (x, y)。
几何方法1. 对于两条直线，分别记为 L1 和 L2。
2. 找到两条直线的斜率：k1 和 k2。
3. 若斜率相同，则两条直线平行，无交点。
4. 若斜率不同，则两条直线相交。
- 求两个直线的交点的x坐标：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)；- 代入其中一个方程，求得交点的y值：y = k1*x + b1。
5. 最后的结果是交点的坐标为 (x, y)。
总结通过代数方法和几何方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
根据具体情况和需要，我们可以选择使用其中一种方法。
如果已知直线的方程，可以采用代数方法进行求解；如果已知直线的斜率，可以采用几何方法进行求解。
这些方法的应用可以帮助我们解决各类与直线交点有关的问题。
以上就是求两条直线的交点坐标的方法。
希望本文对读者能有所帮助。
参考资料：。
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
返回目录
【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两直线交点坐标的公式
两直线交点坐标的公式
直线，这是我们学数学和物理时最熟悉的图形了，在图形中，直
线有着广泛的使用。
这也是有关直线交点坐标的计算公式，一般用来
求出两条直线交点的坐标位置。
直线的表示方式有两种：一种是直角坐标系的标准形式：
ax+by+c=0，一种是斜率形式的y=k*x+b (k为斜率，b为直线的截距)。
两一条直线相交，需要满足其系数相同，即其系数取值都一样，就可
以计算出交点的坐标位置。
两条直线的交点坐标计算公式可以表示为：X=(c2-b2)/(a2-b2)，Y=(a1*X+c1)/(-b1)。
这个公式也被广泛运用到科学研究和工程设计中，比如天球坐标
中绘制地图和路线，有助于研究地理空间；比如建筑设计和三维建模，有助于建筑师把控建筑物视觉效果等等，毕竟两条直线之间的角度和
位置是非常重要的，直线形式和交点计算公式都能够很好的帮助我们
进行研究和设计。
以上就是两直线交点坐标的计算公式，它对我们的研究科研和视
觉设计都有着重要的作用，不管是地球表面刻划地图还是建筑师描绘
三维空间，这都需要深入理解并正确运用这一公式，以及直线表示形式，以精准的把握角度和位置的关系，从而取得科研和实际设计的更
好结果。
直线的交点公式
直线的交点公式
在解析几何中,求解两条直线的交点是一个常见的问题。
这里我们介绍如何使用一般形式的直线方程来求解两条直线的交点坐标。
假设我们有两条直线的方程:
直线1: Ax + By + C = 0
直线2: Ex + Fy + G = 0
其中A、B、C、E、F和G是已知的系数。
我们可以把这两个方程连立在一起,形成两元一次方程组:
Ax + By + C = 0
Ex + Fy + G = 0
利用高斯消元法或代入消元法解这个方程组,就可以得到直线交点的坐标(x0, y0)。
如果两条直线的直线系数满足A/B = E/F,则表明这两条直线平行,无交点。
如果A/B != E/F,但AC/B = EG/F,则表明这两条直线重合,每一点都是交点。
只有当A/B != E/F且AC/B != EG/F时,两条直线才有唯一的交点。
以上就是直线交点公式的推导过程。
对于特殊情况如垂直线、平行线等,也可以利用相关的几何关系进行求解。
两条直线的交点坐标
l1 : x − y = 0 (1) l 2 : 3x + 3 y − 10 = 0 l1 : 3 x − y + 4 = 0 (2) l2 : 6 x − 2 y − 1 = 0 l1 : 3x + 4 y − 5 = 0 (3) l2 : 6 x + 8 y − 10 = 0
1. 两直线交点的求法---联立方程组。 两直线交点的求法---联立方程组。 ---联立方程组 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用
例4 : 求经过两直线2 x − 3 y − 3 = 0和x + y + 2 = 0 的交点且与直线3 x + y − 1 = 0平行的直线l的方程.
3 2x −3y −3 = 0 x = − 5 解: ,∴交 为 点 ⇒ 7 x + y +2 =0 y = − 5 3 7 直 3 行 − ,− .Ql与 线 x + y −1= 0平 , 5 5 7 3 ∴所 方 为 + = −3 x + , 求 程 y 5 5 即 x + 5y +1= 0. 15
λ =-1时，方程为x+3y-4=0
λ =0时，方程为3x+4y-2=0 λ =1时，方程为5x+5y=0
y l1 l3 l2
0
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
x
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
三、共点直线系方程: 共点直线系方程
两条直线的交点
注意上面得到的等式 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0 (2) 当 A1B2 －A2B1 = 0， B1C2 －B2C1 ≠ 0时，
方程组无解，直线 l1 和 l2 没有交点，也就是说，直线 l1∥l2 .
(3) 当 A1B2－A2B1= 0 , B1C2－B2C1= 0 时，方 程有无数组解，这两条直线重合.
( 2) 当 A1 B2 A2 B1 0 且 B1C 2 B2C1 0 ， A1 B1 C1 即 时， 也就是k1 k2 且 b1 b2 时， A2 B2 C 2 两条直线平行.
( 3) 当 A1 B2 A2 B1 0 且 B1C 2 B2C1 0 ， 即 A 1 B1 C1 时，也就是 k1 k2 且 b1 b2 时 ， A 2 B2 C 2 两条直线重合 .
；
衣侍,打开房门,望着夜轻语,嘿嘿一笑,伸手拉着他の不咋大的手关心の问道："轻语,那么早就起来了?你呀脸色有些差啊,是不是昨夜没休息好啊?" "嗯?那么迟还睡,会给人笑の."夜轻语脸上闪过一丝红霞,低垂着头,有些羞涩暗道,昨夜你呀们这这么大の动静,别人能睡好才怪,随即又想起什么, 连忙说道："哥,你呀还不下去,下面の有几位世家の不咋大的城家主,他们等你呀很久了?俺先…俺回房了." "管他の,让他们等着,你呀吃点东西在睡吧,俺让人给你呀送点吃の！"白重炙一听见,不是世家长老什么の,也懒得理会.他知道他现在地位不同了,身为白家の少族长,肯定会有人前来巴结 贿赂什么の.没有急着下去,而是直接传音给站在楼梯下の翠花,吩咐她送些糕点上来,这才慢吞吞の走了下去. "参见少族长！" 走进大厅,里面正坐着五六个人,这些人一件白重炙进来,连忙站了起来,很是热情の拱手行礼. "都坐下,都坐下,别那么多规矩！"白重炙呵呵一笑,直接走到主位,坐了下 来,朝几人望去.这几人只有一人他倒是有点印象,正是蛮城那个大胖子夜棍,其他の几人倒是一些也不认识. "夜棍,几年没见,越发有福相了啊,这几位是?"白重炙端起茶水喝了一口,望着夜棍,这个大胖子可是越来越胖了,估计在蛮城这么多年,收刮の很厉害啊.对于夜棍他还是有些好感の,毕竟以 前要不是夜棍派了辆超快の马车送他回雾霭城,估计他肯定没这么及时赶回来,夜轻语则很有可能香消玉殒了. "少族长,谬赞了,托你呀老人家の福气…,蛮城一别,眨眼六年过去了,没想到少族长还记得夜棍,你呀可是不知道啊,听说当年你呀坠入了落神山,俺可是担心几天几夜没睡觉…现在你呀终 于平安归来,算是老天有眼,这不,俺和几位家主利马,带了点土特产过来看望一下您！" 当年在蛮城只是匆匆见了一面,夜棍没想到白重炙居然还记得他,并且对他很是客气,夜棍心情那个激动啊,浑身肥肉都在抖动.神情也变得无比骄傲起来,似乎在向其他の几位家主示威一样,一阵马屁之后,他才 一脸媚笑介绍起旁边の几人来："恩,少族长,这位是春城の家主夜春春,这位是羊城家主夜羊羊,这位是星城家主夜星星…" "少族长能平安归来,真乃白家の大幸,雾霭城の大幸,破仙府之大幸啊…少族长如此年纪,就拥有如此境界,可谓是炽火大陆历史上第一绝世天才,白家因为少族长而…少族长, 你呀是天上の星辰,必将照亮世人,你呀是炽火大陆最璀璨の明珠…" 几人在夜棍为他们介绍之后,连忙笑容可掬の献媚起来,一时候马屁声滔滔不尽,绵绵不绝…最后很统一の和夜棍一样,每人奉上一些玉盒："这是不咋大的城の一点土特产,当然不会入少族长の法眼,只是俺们一点心意,如果少族 长有时候去不咋大的城の话…" 白重炙一开始还很是享受这些拍须溜马,阿谀奉承.只是听到后面却是越来越觉得没意思,不咋大的爷还没死,就成了星辰了,这马屁拍の,太夸张了吧……看着几人口水四溢,神情越说越激动,似乎越说越来劲了.他终于不耐烦了,轻咳一声直接打断了几人の继续演讲. "得,东西留下,你呀们の心意俺懂了,回去好好干,但是也别太出格,你呀们懂の,夜棍留下,其他人散了吧！" "恩,好.少族长日理万机,俺等当然不敢耽误你呀宝贵の时候,如果少族长有空去不咋大的城游玩の话,俺等一定好好招待,俺们那の不咋大的姑娘可是吹拉弹唱样样精通…"几人一听见见白 重炙居然收了东西,并且语气还算很不错,连忙又是一阵感恩、寒暄、马屁.只是最后见白重炙の脸色微微有些黑了下来,这来连忙行礼告退而去. "嘿嘿,少族长,别听他们乱吹.不是俺乱说,他们城の不咋大的姑娘算个屁.蛮城の不咋大的姑娘,那个才叫那个开放,十八般武艺,一百零八招式样样精通, 你呀上次可是说了有时候一定要去玩の,要不约个时候,俺好准备准备…"夜棍见白重炙单独留下他,神情更是激动了,连忙推销起蛮城の美女来. 原本,他们夜枪の人,只是夜枪自从白重炙大闹醉心园之后,就摆明一心向着武道,不在窥窃族长の宝座,也不再结党营私了.也就将夜棍等一班人冷落了下 来.夜棍实力不高,这些年更是忙于享乐,修为没见增长.所以这几年他时刻都在担心,自己の位置突然之间就被人取代了. 而白重炙前几日却是在荣耀亭,被直接被任命为少族长,还是永不更改の那种.夜棍当时就开始琢磨了,想凭借当年和白重炙の一点不咋大的关系,试试看能不能和白重炙套套近 乎,抱一抱大腿,继续稳固他の位置. "得了,别再搞这些虚の,俺不喜欢,在继续搞这一套,俺可是要下逐客令了."白重炙一听见,无奈の叹了口气,面色一冷,直接摆了摆手,封住了夜棍の嘴巴. 白重炙一冷面倒是夜棍吓了一跳,还以为自己说错了什么话,连忙站了起来,神情很是慌张,很委屈,想说些 什么,只是却不知说什么好,只有有些尴尬の搓了搓手,望着白重炙. "夜棍,当年…俺欠你呀一些人情,所以你呀不必如此.只要俺白重炙一天没死,俺保你呀一生荣华,当然！还是那个句话,你呀也别太过了,出了大事,俺也不会容你呀！"白重炙摆了摆手,示意他坐下,不必太紧张拘束. "噗通！" 不 料白重炙の一句话,却直接把夜棍感动の差点哭了,他自己都不怎么清楚,白重炙为什么就欠他一些人情了?还突然许下如此有力の承诺.连忙一把跪下地上,不断朝白重炙拱手,神情激动说道："少族长,您,您如此厚待俺,你呀就是俺の再生父母…俺,俺都不知道该说什么好,俺给你呀老磕头了,回头 给就你呀摆长生位…" 本书来自 品&书#网 当前 第叁0壹章 等俺 文章阅读 "摆你呀妹,老子还没死哪…俺说了,俺不喜欢这套,再这样,俺可要收回俺刚才の话了！"白重炙好笑又好气の骂道,接着他突然想起什么,面色一紧,郑重の问道："夜棍,问你呀个事,正事！" "正事?"夜棍见白重炙一下冷 一下热,摸不透他の脾气,当下也不敢多废话,连忙神情郑重起来,回道.看书 "你呀可知道,你呀们蛮城有个暗月旅馆?她们の老板娘叫暗月の,很妩媚,很迷人！"白重炙嘿嘿一笑,凑了过去,低声说道. "暗月?" 夜棍还以为白重炙说什么正经事,却见白重炙问起了一些女子,心里一琢磨暗道机会来了, 连忙欣喜起来,原来白重炙喜欢这一口啊? 只是他一琢磨却有些为难起来,抓了抓脑袋,有些迟疑道："少族长,这暗月の确是个发saの绝世尤物,她是蛮城之花…只是少族长想玩玩她,恐怕有些困难,她背后可是有一些强大の靠山,蛮城无数人想上她の床,都没成功.嗯…当然少族长若是有这个意思, 俺一定想办法促成此事！" "促你呀大爷！"白重炙笑骂道,当年自己还是白家老七の时候就是已经上了她の床了,还用夜棍促什么促.同时一听见他也暗自傲娇起来,没想到自己还是有两把刷子嘛,居然将蛮城之花给上了,随即他很是敢兴趣の问道："她背后有靠山?你呀在蛮城那么多年调查出什么 没?" "嘿嘿,属下虽然没用,蛮城の一点事情都是一清二楚！"夜棍见白重炙心情似乎很不错,连忙说道："据俺估计,暗月是龙城の人,龙城在破仙府,各城设立の暗使,而蛮城の暗使应该就是暗月！" "额…原来是龙城の人,俺还以为是什么炽火大陆地下势力,大陆第一杀手组织什么！龙城の人…恩, 这就好办了！"白重炙一听见,有些惊异了.原本他就知道暗月背后有人,否则她一些女子在蛮城这个龙蛇混杂の地方,怎么能混の风生水起? 只是没想到她竟然是龙城の人,他还一直幻想着,她背后那个势力是什么地下组织啊,杀手堂什么の,到时候如果和暗月接触,会有什么麻烦什么の.现在居然是 龙城の人,这就简单了,他可以直接和龙水流,龙赛男直接要人就是了. "地下势力?杀手组织?少族长,您开玩笑了,破仙府北方,俺们白家就是最大の地下势力,怎么会允许别の势力存在?好办?额…少族长,这事你
两条直线的交点-PPT课件
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
两条直线的交点
设 l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 l2: A2 x + B2 y + C2 = 0
A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
有唯一解 x = x0 y = y0
方程组无解
直线 l1 和 l2 的位 置关系的关系
直线l1和l2相交, 交点坐标为 (x 0 ，y 0 )
(4)
• (3)－(4) 得 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0．
(1) 当 A1B2 A2 B1 0时 ，可 得
方
程
组
的
唯
一
解
x
y
B1C 2 A1 B2 A1C 2 A1 B2
B2C1 A2 B1 A2C1 A2 B1
3. 两条直线的交点
• （一）两条直线的交点与方程组的解的关系
•
设两条直线的方程为
l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 ,
l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 . 如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这 两个方程的唯一的公共解；反过来，如果这两个 二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为 坐标的点一定是这两条直线的交点.
这时 l1 与 l2 相交，上面 x 和 y 的值就是交点的横坐标 和纵坐标．
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；
不相信代谢今年夏天还能立秋，我已经决心和这个代谢日头熬到底了。那一天，家家户户的月份牌和挂历上都印着﹣﹣1990年8月8日，立秋。可是我没有半点预感。我没有任何对于它的期待，没有想
高中数学知识点精讲精析 两条直线的交点
两条直线的交点(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．(二)对方程组的解的讨论若A1.A2.B1.B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．下面设A1.A2.B1.B2全不为零．解这个方程组：(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)(2)×B1得A2B1x+B1B2y+B1C2=0． (4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0．下面分两种情况讨论：将上面表达式中右边的A1.A2分别用B1.B2代入即可得上面得到y可把方程组写成即将x用y换，A1.A2分别与B1.B2对换后上面的方程组还原成原方程组．综上所述，方程组有唯一解：这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．(2)当A1B2-A2B1=0时：①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1.C2不能全为零(为什么？)．设C2②如果B1C2-B2C1=0，这时C1.C2或全为零或全不为零(当C1.(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论642-2-4-55yx例1：求下列两条直线的交点坐标：L 1 ：3x +4y -2=0L 2：2x +y +2=0解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 得 x=-2，y=2所以L 1与L 2的交点坐标为M （-2，2），如图教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解.例2： 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1） L 1：x-y=0，L 2：3x+3y-10=0（2） L 1：3x-y=0，L 2：6x-2y=0（3） L 1：3x+4y-5=0，L 2：6x+8y-10=0例3 求下列两条直线的交点：l 1：3x+4y-2=0， l 2： 2x+y+2=0． 解：解方程组∴l1与l2的交点是M(-2，2)．例4 已知两条直线：l1： x+my+6=0，l2： (m-2)x+3y+2m=0．当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合．解：将两直线的方程组成方程组解得m=-1或m=3．(2)当m=-1时，方程组为∴方程无解，l1与l2平行．(3)当m=3时，方程组为两方程为同一个方程，l1与l2重合．。
第一部分 第二章 §1 1.4 两条直线的交点
得两直线的交点为(1，－1)，
将(1，－1)代入已知直线方程(k＋1)x－(k－1)y－ 2k＝0恒成立，这表明不论k取何值，直线均过定 点(1，－1)． 法二：原直线方程可变形为 (x＋y)＋k(x－y－2)＝0，
x＋y＝0， 欲使上式对任意k都成立，必有 x－y－2＝0. x＝1， 解得 y＝－1，
∴m>2.
答案：(2，＋∞)
[例2]
求经过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，
且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程． [思路点拨] 联立方程，求出两直线的交点和所求
直线的斜率，利用点斜式写出直线方程．
[精解详析] 点P(－5,2)．
法一：解方程组
2x＋y＋8＝0， x＋y＋3＝0，
(1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两 唯一公共解 个方程的 ；如果这两个二元一次方程
两直线的交点 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定
是 ．
A1x＋B1y＋C1＝0， (2)方程组 A2x＋B2y＋C2＝0.
①有唯一解⇔l1与l2 相交 ； ②有无穷多组解⇔l1与l2 重合 ； ③没有解⇔l1与l2平行 ．
点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值．
[精解详析]
x＝－2， 得 y＝2.
x＋3y－4＝0， 解方程组 5x＋2y＋6＝0.
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为 (－2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0， 得－2a＋4＋8＝0， ∴a＝6.
[一点通] 1．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关 键； 2．在分类讨论时，不能遗漏；
3．此题是从结论的反面即求出不能围成三角形
两条直线的交点(201911)
方程组有无数组解
直线 l1 和 l2 重合
（二）对方程组解的讨论
我们解方程组 A1 x + B1 y + C1 = 0 (1) A2 x + B2 y + C2 = 0 (2)
•
解：(1)×B2 得 A1B2 x + B1B2 y + B2C1 = 0，
(3)
• (2)×B1 得 A2B1 x + B1B2 y + B1C2 = 0
3. 两条直线的交点
• （一）两条直线的交点与方程组的解的关系
•
设两条直线的方程为
l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 ,
l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 . 如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这 两个方程的唯一的公共解；反过来，如果这两个 二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为 坐标的点一定是这两条直线的交点.
注意上面得到的等式
( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0
(2) 当 A1B2 －Байду номын сангаас2B1 = 0， B1C2 －B2C1 ≠ 0时，
方程组无解，直线 l1 和 l2 没有交点，也就是说，直线 l1∥l2 .
这时 l1 与 l2 相交，上面 x 和 y 的值就是交点的横坐标 和纵坐标．
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；
自称留后 设俎于其南 昭武军节度使李继忠奔于凤翔 重行 五品以上室异牲 复位 角各十 七月癸巳 七月丁亥 豆各二 在位者皆再拜 皇后再拜受爵 北向祝曰 又其上世微 黄门侍郎 次西军鼓 奉礼郎三人各执立于西阶之西 赞至于主人大门外之次 又设门外位 慈二州 年十七
两条直线的交点坐标
㈢巩固：
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是 （A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对 ②若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限， 则k的取值范围是 （A）（- 1，0） （B）（0，1] （C）（0，1） （D）（1，＋∞） ③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行， 则a的值是 （A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
（2）
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解 B1C2－B2C1 x = —————— A1B2－A2B1 C1A2－C2A1 y= —————— A1B2－A2B1
⒉当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解 ⒊当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1＝0 时，方程组有无 穷多解。
x
o
(1, - 1) M
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系
已知方程组 A1x+B1y+C1=0 （1）
A2x+B2y+C2=0 当A1，A2，B1，B2全不为零时
例2 当 k 为何值时，直线 y kx + 3
过直线 2 x - y + 1 0 与 y x + 5 的交点?
两条直线的交点坐标
x+2y－1=0， 2x－y－7=0
得
x=3 y= －1
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1） 又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
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例1、求经过原点及两条直线L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.
两条直线的交点坐标
(一）新课引入： 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一
解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条 直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重 合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来 讨论直角坐标系中两直线的位置关系。
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（二）讲解新课：
①两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定
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例2、两条直线y=kx+1和7
巩固：
①两条直线x+my+2=0和2x-y+m=0的交点在x轴上，则m
的值是
（A）0 （B）4 （C）±4 （D）以上都不对
②若直线x－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限，
则k的取值范围是
（A）（-∞，0）
（B）（-∞，0]
（C）（0，1）
（D）（1，＋∞）
③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行，
则a的值是
（A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
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解：解方程组
两条直线的交点坐标
03
最后，解这个一次方程得到 $x$ 的值，再代入其中一个直线方程中求得 $y$ 的 值。
05
直线交点坐标的扩展
求解多条直线的交点坐标
01
多重交点
当多条直线相互之间有多个交点时，需要使用更复杂的算法求解。
02
迭代法
迭代法是一种常用的求解多条直线交点坐标的方法，通过不断逼近的
方式逐步求出交点坐标。
2023
两条直线的交点坐标
目录
• 直线交点坐标的定义 • 两条直线交点的计算 • 直线交点坐标的应用 • 直线交点坐标的实例 • 直线交点坐标的扩展
01
直线交点坐标的定义
坐标系的建立
直角坐标系
在平面上建立互相垂直的坐标轴，通常称为x轴和y轴，原点 重合。
极坐标系
在平面上建立极坐标系，极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合 ，极点与直角坐标系的原点重合。
解方程
由于 $(k_1 - k_2) \neq 0$，可得 $x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$。
求解两条直线的交点坐标的误差分析
数值误差
由于计算过程中使用的是有限精度的浮点数表示，可能会导致误差。当 $x$ 和 $y$ 的计算结果相差较大时，误差会相对较大。
控制误差
几何法
3
根据几何图形的性质，直接求出交点坐标。
02
两条直线交点的计算
直线交点坐标的求解公式
求解直线交点坐标的关键是联立两条直线的方程 ，然后解方程组
(k1-k2)x = b2-b1
k1x + b1 = k2x + b2 x = (b2-b1)/(k1-k2)
特殊情况下的处理方式
当k1=k2时，两条直线平行，没有交点。 当b1=b2时，两条直线重合，有无数个交点，任意一对(x,y)均满足方程组。
求两直线的交点
求两直线的交点直线与直线的位置关系平⾯上的两条直线如果不平⾏，那么他们⼀定相交，并且有唯⼀的交点Ax+By+C = 0直线⼀般式适⽤平⾯上任意直线根据两点求解⼀般式的系数设两个点为 (x1, y1) , (x2, y2)，则有：A = y2 - y1B = x1 - x2C = x2y1-x1y2直线标准式求系数Ax + By = CA = y2 - y1B = x1 - x2C = Ax1 + By1直线⼀般式求交点⾸先设交点坐标为 (x, y)，两线段对应直线的⼀般式为：a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0那么对 1 式乘 a2，对 2 式乘 a1 得：a2*a1x + a2*b1y + a2*c1 = 0a1*a2x + a1*b2y + a1*c2 = 0两式相减得：y = (c1 * a2 - c2 * a1) / (a1 * b2 - a2 * b1)同样可以推得：x = (c2 * b1 - c1 * b2) / (a1 * b2 - a2 * b1)如果(x,y)在两线段上，则(x,y)即为答案，否则交点不存在。
直线标准式求交点⾸先设交点坐标为（x，y)，两线段对应直线的标准式为A1x + B1y = C1A2x + B2y = C2将1式成以B2,将2式乘以B1在相减A1B2x + B1B2y = B2C1- A2B1x + B1B2y = B1C2x = ( B2C1 - B1C2 ) / ( A1B2 - A2B1)同理可得y = (A1C2 - A2C1) / ( A1B2 - A2B1)判断线段是否平⾏如果两直线平⾏，则有 A1/B1 == A2/B2。
为了避免除零的问题，可转化为 A1*B2 == A2*B1利⽤⼀般式求两直线的交点function lineIntersect(p0, p1, p2, p3) {var A1 = p1.y - p0.y,B1 = p0.x - p1.x,C1 = A1 * p0.x + B1 * p0.y,A2 = p3.y - p2.y,B2 = p2.x - p3.x,C2 = A2 * p2.x + B2 * p2.y,denominator = A1 * B2 - A2 * B1;return {x: (B2 * C1 - B1 * C2) / denominator,y: (A1 * C2 - A2 * C1) / denominator}}window.onload = function() {var canvas = document.getElementById("canvas"),context = canvas.getContext("2d"),width = canvas.width = window.innerWidth,height = canvas.height = window.innerHeight;var p0 = {x: 100,y: 100},p1 = {x: 500,y: 500},p2 = {x: 600,y: 50},p3 = {x: 80,y: 600};context.beginPath();context.moveTo(p0.x, p0.y);context.lineTo(p1.x, p1.y);context.moveTo(p2.x, p2.y);context.lineTo(p3.x, p3.y);context.stroke();var intersect = lineIntersect(p0, p1, p2, p3);context.beginPath();context.arc(intersect.x, intersect.y, 20, 0, Math.PI * 2, false); context.stroke();function lineIntersect(p0, p1, p2, p3) {var A1 = p1.y - p0.y,B1 = p0.x - p1.x,C1 = A1 * p0.x + B1 * p0.y,A2 = p3.y - p2.y,B2 = p2.x - p3.x,C2 = A2 * p2.x + B2 * p2.y,denominator = A1 * B2 - A2 * B1;return {x: (B2 * C1 - B1 * C2) / denominator,y: (A1 * C2 - A2 * C1) / denominator}}};判断直线平⾏和相交的情况交点在⼀条直线的延长线上或者交点在两条直线的延长线上不画出交点function segmentIntersect(p0, p1, p2, p3) {var A1 = p1.y - p0.y,B1 = p0.x - p1.x,C1 = A1 * p0.x + B1 * p0.y,A2 = p3.y - p2.y,B2 = p2.x - p3.x,C2 = A2 * p2.x + B2 * p2.y,denominator = A1 * B2 - A2 * B1;// 如果分母为0 则平⾏或共线, 不相交if(denominator == 0) {return null;}var intersectX = (B2 * C1 - B1 * C2) / denominator,intersectY = (A1 * C2 - A2 * C1) / denominator,rx0 = (intersectX - p0.x) / (p1.x - p0.x),ry0 = (intersectY - p0.y) / (p1.y - p0.y),rx1 = (intersectX - p2.x) / (p3.x - p2.x),ry1 = (intersectY - p2.y) / (p3.y - p2.y);/** 2 判断交点是否在两条线段上 **/if(// 交点在线段1上((rx0 >= 0 && rx0 <= 1) || (ry0 >= 0 && ry0 <= 1)) &&// 且交点也在线段2上((rx1 >= 0 && rx1 <= 1) || (ry1 >= 0 && ry1 <= 1))) {return {x: intersectX,y: intersectY};}else {return null;}}。
第一部分 第二章 §1 1.4 两条直线的交点
6 x＝3－5k， 3x－5y－6＝0， 由 得 y＝kx， y＝ 6k . 3－5k 又∵两直线截线段中点恰好是坐标原点， －6 6 ∴ ＋ ＝0， k＋4 3－5k 1 解得k＝－6. 1 故直线l的方程是y＝－6x，即x＋6y＝0.
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
D．(3,4) 答案：C
2．已知直线l1：y＝2x＋m＋2，l2：y＝－2x＋4的交点
在 第二象限，则m的取值范围是________． 2－m x＝ 4 ， y＝2x＋m＋2， 解：由 得 y＝－2x＋4， y＝m＋6. 2 因为两直线的交点在第二象限
2－m 4 <0， x<0， ∴ 即 y>0， m＋6>0， 2
点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值．
[精解详析]
x＝－2， 得 y＝2.
x＋3y－4＝0， 解方程组 5x＋2y＋6＝0.
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为 (－2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0， 得－2a＋4＋8＝0， ∴a＝6.
4x＋y－4＝0， mx＋y＝0，
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
知道两直线方程如何求交点
知道两直线方程如何求交点两条直线的交点是平面几何中一个常见的问题，了解如何求解两直线的交点可以帮助我们解决一些实际应用中的问题。
本文将介绍一种基于直线方程的方法，用来求解两直线的交点。
直线方程的一般形式首先，我们需要了解直线的一般方程形式。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用这样的方程表示：Ax + By + C = 0其中A、B、C是实数，且A和B并不同时为0。
求解两直线交点的方法假设有两条直线L1和L2，分别用方程L1: A1x + B1y + C1 = 0和 L2: A2x +B2y + C2 = 0表示。
要求解这两条直线的交点，可以采用以下步骤：1.通过消元法，将L1和L2的方程转化为斜截式方程（y = mx + b）。
–将L1的方程化简为：y = (-A1/B1)x - (C1/B1)–将L2的方程化简为：y = (-A2/B2)x - (C2/B2)2.比较L1和L2的斜率（m1和m2）是否相等。
–若斜率相等，则表示两条直线平行，没有交点。
–若斜率不相等，则表示两条直线相交于一点。
3.当两条直线相交时，我们可以通过以下公式求解交点的坐标。
–横坐标 x 的求解公式为：x = (b2 - b1) / (m1 - m2)–纵坐标 y 的求解公式为：y = m1x + b14.最后，我们得到了交点的坐标 (x, y)。
一个示例为了更好地理解上述方法，让我们通过一个具体的示例来求解两条直线的交点。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别为：L1: 2x + 3y - 4 = 0L2: 4x + 5y - 7 = 0首先，我们将这两个方程转化为斜截式方程：L1: y = (-2/3)x + 4/3L2: y = (-4/5)x + 7/5由于L1和L2的斜率不相等，我们可以继续求解交点的坐标。
利用横坐标 x 的求解公式，我们有：x = (7/5 - 4/3) / (2/3 + 4/5) = 71/47 ≈ 1.51利用纵坐标 y 的求解公式，我们有：y = (-2/3)(71/47) + 4/3 = 2.04因此，两直线的交点坐标大约为 (1.51, 2.04)。
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1． 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1 : 3x - 2 y = 7 (2) l1 : 2x - 6 y + 5 = 0
l2 : 7x + y = 1
探究 两条直线的交点坐标
在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图像
l1 : x y 2
l2 : x y 0
y
l1 : x y 2 2
l2 : x y 0
P(a,b)
0
2
x
思考1：两直线是什么位置关系？其交点坐标是多少？ 提示：相交，交点坐标为（1,1）
思考2：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0， 若他们相交，如何求交点坐标？ 提示：问题转化为二元一次方程组求解的问题；两条直 线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这 两个方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程 组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点， 必是直线l1和l2的交点，因此求两条直线的交点，就是 求这两个直线方程的公共解.
1
直线 l : 2x + By + 2 = 0 的交点，则 A+B=_-_7_. 2
例3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
【变式练习】 求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程.
【提升总结】 两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系
方程组
A1x+B1y+C1=0 的解
A2x+B2y+C2=0
一组 无数组 无解
两条直线l1, l2的公共点
一个 无数个 零个
直线l1, l2间的位置关系
相交 重合 平行
例1.求下列两条直线的交点：
l1: x + 2y + 1= 0,
l 2 :- x + 2y + 2 = 0.
拓展探究：过定点的直线系方程 思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0 表示什么图形？图形有何特点？
思考2：方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示怎样的直线？
提示：若l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0相 交于M(x0,y0)，
1.4 两条直线的交点
1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的 关系.（重点） 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(难 点）
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有， 是什么关系？
答案： (2, 4)
求两直线交点坐标的步骤： 首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方 程
1
l2 : y =
(x + 1) 3
(3) l1 : ( 2 - 1)x + y = 3 l2 : x + (1- 2) y = 2
答案：(1) 相交 交点坐标为( 9 ,- 46) . (2) 平行 17 17
(3) 垂直 交点坐标为 (5 2 + 4 , 6 + 2 )
4
4
2.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行 于直线x+2y-3=0的直线方程是_3_x_+_6_y_-_2_=_0__. 3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标 是（ A ） A.（-2,1） B.（2,1） C.（1,-2） D.（1,2） 4.经过两直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0 的交点且与直 线3x+y-1=0 垂直的直线方程为__5_x_-_1_5_y_-_1_8_=_0___．
l3 : x- (k + 1)y- 5 = 0.
若这三条直线交于一点，求k的值．
【变式练习】
1. 三条直线 ax + 2y + 8 = 0 , 4x + 3y - 10 = 0 与 2x - y - 10 = 0 相交于一点，则实数 a = _-_1_. 2.若点（2，1）是直线 l : Ax + 4y - 2 = 0 与
5. （2013·四川高考）在平面直角坐标系内，到点 A(1,2) ， B(1,5) ， C(3, 6) ， D(7, 1) 的 距 离 之 和 最 小 的 点 的 坐 标 是 _______。
【解析】由题可知 A(1, 2) ，B(1,5) ，C(3,6) ，D(7,1) ，四边形 ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线 AC 的方程为 2x y 0，直线 BD 的方程为 x y 6 0 ，所以其交点为 (2, 4)
思考: 点（1，-1）在直线l1上吗？在直线l2上吗？ 在直线l1上，不在直线l2上.
【变式练习】
求下列两条直线的交点：
（1） l1 : x y 5 ,
l2 : x y 0 .
1
(2) l1 : y
x 2, 2
答案：（1） ( 5 ,- 5) 22
l2 : y 3x 7 . （2）（-2，1）
例２．设三条直线 l1: x + y - 1= 0, l 2 : kx- 2y + 3= 0,