研究生期末试题矩阵论a及答案

；
验证 是 中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 。
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
.
当 时， ，故
.（10分）
．
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为 ，由坐标变换公式计算 在基(Ⅰ)下的坐标为
．（10分）
四、首先求出A的Jordan标准形
，
所以行列式因子 ；
不变因子 ；（6分）
那么A的初等因子为 ，故A的Jordan标准形为
．(10分)
五、解：求出 的特征根 （二重），计算对角化相似因子 及其逆 为
，
而使 ，令
， ， ，
三、(10分)设4维线性空间 的基(Ⅰ) 和基(Ⅱ) 满足
(1)求由基(Ⅰ)变为基(Ⅱ)的过渡矩阵 ；
(2)求向量 在基(Ⅰ)下的坐标．
四、(10分)设矩阵 ,求 的行列式因子,不变因子,初等因子组，Jordan标准形。
五、(10分)求可对角化矩阵 的谱分解式.
六、(10分)已知
，
试求பைடு நூலகம்.
七、(10分)区间 上全体实值连续函数的集合，按照通常的函数加法运算和数与函数的乘法运算，构成R上的线性空间，记作 ，对于 ，定义实数
1、解1) 的基为 的一个极大无关组．在基 下， 的坐标依次为 ，该列向量组的一个极大无关组为 ．因此， 的一个极大无关组为 ，即 的一个基为 ．（10分）
二、解设 ，则有
，
，
.
当 时， ；当 ，存在 使得 ，从而有
，
因此，该实数是 中 与 的内积.（10分）
三、解(1)解出 ，可得 ，
，
于是，由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为
计算
，
则得谱分解式
+2 （10分）
六、
．
由于 ，
于是有 ，故
（10分）
七、当 时， ；当 不恒等于零时，由其连续性知 必在 的某个子区间 上不等于零，从而有
，
对于 ，有
，
对于 ，有
，
故 是 中的向量范数.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ， ，于是
由此知 的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设 是 的一个基，试求由 ，
， 生成的子空间 的基．
二、(10分)在 中，设 ，定义实数 为 ，判断是否为 中 与 的内积。