高中数学 2.3.1 平面向量基本定理教案 新人教版必修4

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.3.1 平面向量基本定理教案 新

人教版必修4

教学目标：

1．了解平面向量的基本定理及其意义；

2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；

3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题．

教学重点

平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示． 教学难点：

平面向量基本定理的理解.

教学方法：

引导发现、合作探究.

教学过程：

一、创设情境，揭示课题

问题1 研究火箭升空的某一时刻的速度．

问题2 物理中的力的分解．

二、学生活动

1．火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向前的分速度.

2．l 1→，l 2→是两个不共线的向量，a 是平面内的任一向量，如何将a 分解到l 1→，l 2→方向上去？

三、构建数学

平面向量基本定理：

探索 （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是惟一的？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e ，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表

示？

教师引导学生分析设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量．

−→−OA =1e −→−OM =1λ1e −→−OC =a =−→−OM +−→−ON =1λ1e +2λ2e

−→−OB =2e −→−ON =2λ2e

平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e +2λ2e ．我们把不共线向量1e 、2e 叫

做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．

向量定理. 注意：

（1）1e ,2e 均是非零向量，必须不共线．．．

，则它是这一平面内所有向量的一组基底. （2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；1λ，2λ是被a ，1e ，2e 唯一确定的

实数．

（3）由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；同一平面内任一向．．．

量．

都可以表示为两个不共线向量的线性组合. （4）20λ=时， a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a = ．

基底：我们把不共线的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

正交分解：一个平面向量用一组基底1e ,2e 表示成a 1λ=1e +2λ2e 的形式，我们称它为

向量a 的分解，当1e ,2e 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解．

思考 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？

四、数学运用

1. 例题.

例 1 平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=−→

−AB a ,=−→−AD b ,试用向量a ,b 表示−→−MA ,−→−MB ,−→−MC ,−→−MD ．

例2 如图2-3-4，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的磨擦力→

f ． 例3 已知向量12,e e ，求作向量 2.51e ＋32e

作法：（1）取点O ，作−→

−OA = 251e −→−OB ＝32e ； （2）作 OACB ，−→−OC 即为所求 251e ＋32e

． 例4 设1e ,2e 是平面内的一组基底，如果−→−AB ＝31e -22e ，−→−BC ＝41e ＋2e ,

−→−CD ＝81e -92e ．求证：A ，B ，D 三点共线．

变式 设12,e e 是两个不共线的向量，已知−→−AB ＝21e ＋k 2e ,−→−CB ＝1e ＋32e ,

−→−CD ＝21e -2e ，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．

解 −→−BD ＝−→−CD =−→

−CB (21e -2e )-(1e ＋32e )＝1e -42e ,∵A ，B ，D 三点共线，∴−→−AB 与−→−BD 共线,即存在实数λ,使得−→−AB ＝λ−→

−BD ， 即是12122(4)e ke e e λ+=- . 由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨

=-⎩ ，∴8k =-． 例5 如图，−→−OA 、−→−OB 不共线，t AP =−→−−→−AB )(R t ∈,

用−→−OA 、−→−OB 表示−→−OP .

变式1 如图,−→−OA ，−→−OB 不共线，P 点在AB 上，求证：存在实数1.=+μλμλ且 使−→−−→−−→−+=OB OA OP μλ.

变式2 设−→−OA ,−→−OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且−→

−−→−−→−+-=OB t OA t OP )1()(R t ∈．求证：A 、B 、P 三点共线．

2．巩固：教材P71练习．

五、小结 1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题；

2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示．