机器人学第七章(机器人动力学的凯恩方法)

第七章 机器人动力学的凯恩方法

7.1 引言

机器人动力学凯恩方程方法是建立在凯恩动力学方程基础上的，因而本章首先介绍凯恩动力学方程。

7.1.1 质点系的凯恩动力学方程

设一质点系具有n 个质点，该质点系的动力学普遍方程为

()[]01

=⋅-∑=n

i i i i i

r a m f

δ （7-1）

式中 i f ——作用于第i 质点主动力矢量；

i m ——质点i 的质量；

i a ——质点i 的加速度矢量；

i r ——质点i 在参考坐标系中的位置矢量；

i r δ——质点i 的微分位移；

“·”——数量积符号。

设质点系为完全系，即它具有l 个自由度和l 个广义坐标，则

()t q q q r r l

i i (21)

= （7-2）

式中 i q ――广义坐标；

t ——时间变量； 质点i 的线速度为

j l

j q i j l j j i i i q v q q r dt r v j ∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂=1

.1 式中

j i j i q i q

v

q r v j ∂∂=∂∂=

. （7-3）

凯恩（kane ）定义,j i q i j v v q =∂∂为质点I 相对于广义速度的偏速度。

微分i r δ可表示为

j l

j q i j l

j j i

i q v q q r r j δδδ∑∑===∂∂=1

.1 （7-4）

将（7-4）代入（7-1）式，得

(), 110j l

l i i i i q j i j f m a v q δ==⎡⎤

-⋅=⎢⎥⎣⎦∑∑ 交换求和符号，得

(), 110j l

n i i i i q j i j f m a v q δ==⎡⎤

-⋅=⎢⎥⎣⎦

∑∑

因为j q 是独立变量，故

(), 10j n

i

i i i q j f

m a v =-⋅=∑ j=1,2,．．．，l （7-5） 或

, , 1

10j j n

n

i

i q i i i q j i f

v m a v ==⋅-⋅=∑∑

这就是质点系的凯恩动力学方程(Kane Dynamics Equation ),可以改写为

'

, 1'

, 101,2,,_______j j j j n

j i i q i n j i i i q i F j l F f v F m a v F ==⎫

⎪

+==⋅⋅⋅⎪

⎪

=⎬⎪⎪=⎪

⎭

⋅⋅∑∑广义主动力广义惯性力 （7-6）

7.1.2 刚体的凯恩动力学方程

如图7-1所示将刚体看成是由n 个质点组成的。设刚体的质心为C ，以C 为力的简化中心并设作用于刚体的主动力的合力为C Q ，合力矩为C N ：

∑==n

i i c f Q 1

（7-7）

()∑=⨯=n

i i i c R f N 1

（7-8）

当刚体以角速度ω旋转时，其中点i 的速度为

c i i v v R ω=+⨯

其中 i R ——点到质心C 的位置矢量；

i v ——质心C 的线速度。

Z 点对广义速度的偏速度为

(), ωj i i c i q j j j

R v v v q q q ∂⨯∂∂=

=+∂∂∂ 或

, , j j j q i q C q i v v R ω=+⨯ （7-9）

式中, j C q v ——质心C 相对于j q

的偏速度： , j c

C q j

v v q ∂=

∂ （7-10） j

q

ω——刚体相对于j q

的偏角速度： ω

ωj q j

q ∂=

∂ （7-11） 于是作用在刚体上相对于j q

的广义力为 ()

(),,111

,1

1

ωωj j j

j j

n n n

j i i q i C q i i q i i i n

n

i C q i i q i i F f v f v f R f v f R ======⋅=⋅+⋅⨯=⋅+⨯⋅∑∑∑∑∑

或

(),11 ωj j j C C q C q n

c i i n c i i i F Q v N Q f N f R ==⎫

⎪

=⋅+⋅⎪

⎪

=⎬⎪⎪=⨯⎪

⎭

∑∑ （7-12）

相对于j q

的广义惯性力为 ()1

1

1

'

,,j j j n n n

j

i i i q i i C q i i i q i i i F m a v m a v m a R ω====-⋅=-⋅-⨯∑∑∑

而 ()()dt dH R v m dt d R a m c

n i i i i n

i i i i =⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯=⨯∑∑==11

式中动量矩c H 用刚体的惯性张量表示为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x zz zy

zx

yz yy yx xz xy

xx

z y x I I I I I I I I I H H H ωωω （7-13）