2015年普通高等学校招生全国统一考试——数学(江苏卷)(完整解析word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

2015.6.7

数学I

参考公式：

圆柱的体积公式：V Sh =圆柱，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V Sh =圆锥，其中S 是圆锥的底面积，h 为高.

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B 中元素的个数为_______.

【答案】 5 【解析】{1,2,3}{2,4,5}{1,2,3,4,5}A

B ==，5个元素.

【考点】集合运算

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】 6 【解析】465876

66

x +++++=

=

【考点】平均数

3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 【答案】5

【解析】2

2

2

2

345z z ==+=，所以5z = 【考点】复数的模

4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 【答案】 7

【解析】 列表如下：

135714710

S I ，当10I =时，循环结束，此时7S =

【考点】 伪代码，循环结构

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时

间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题

卡的规定位置

3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4. 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答

一律无效。

5. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】

56

【解析】（文科）用穷举法列出可知， 从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色不同的共有5种，所以其概率为

56

. (理科)设“摸出2只球的颜色相同”为事件A ，则2224

C 5P(A)1P(A)1C 6=-=-=

【考点】古典概型

6.已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n -的值为______. 【答案】 3-

【解析】由题意，得29,28,m n m n +=⎧⎨-=-⎩ 解得2,

5,m n =⎧⎨=⎩

所以3m n -=-.

【考点】向量运算 7.不等式22

4x x

-<的解集为________.

【答案】 {|12}x x -<<.

【解析】21222

222

<<-⇔<-⇔<-x x x x

x

.

【考点】解指数不等式、一元二次不等式 8.已知tan 2α=-，()1

tan 7

αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】 3

【解析】tan()tan tan tan[()]31tan()tan αβα

βαβααβα

+-=+-=

=++.

【考点】两角差正切公式

9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 .

【解析】 设新的底面半径为r ，则新的圆锥和圆柱的高分别为4,8. 由22221148542833

r r ππππ⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅，得27r =

，则r =【考点】圆锥和圆锥体积

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】2

2

(1)2x y -+=.

【解析】（法一）由题意得：半径等于

==≤，所以所求圆为22(1)2x y -+=.

（法二）直线210mx y m ---=经过定点(2,1)-.

当圆与直线相切于点(2,1)-时，圆的半径最大，此时半径r 满足2

2

2

(12)(01)2r =-++=. 【考点】直线与圆的位置关系

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*n ∈N ），则数列}1

{

n

a 的前10项和为 . 【答案】

2011

【解析】121321()()()123n n n a a a a a a a a n -=+-+-+

+-=+++

，即(1)

2

n n n a +=

， 12112()(1)1n a n n n n ==⨯-++，122(1)11n n S n n =⨯-=++，102011

S = 【考点】累加法求通项，裂项相消求和

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12

2

=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 .

【答案】

2

【解析】设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以c 的最大值为直线与渐

2=. 【考点】双曲线渐近线，平行线间距离，恒成立问题转化

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩

⎨⎧>--≤<=1,2|4|1

0,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .

【答案】4

【解析】（法一）1当10≤

x e

=；

2 当21<

()()ln 2f x g x x x +=+-单调递减，值域为(ln 22,1)-，

方程()()1f x g x +=无解，方程()()1f x g x +=-恰有一解；

3 当2≥x 时，2

()()ln 6f x g x x x +=+-单调递增，值域[ln 22,)-+∞，

方程()()1f x g x +=恰有一解，方程()()1f x g x +=-恰有一解.