数理方程第二章 有界弦的自由振动-1
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数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
【数理方程】93有界弦的自由振动
r1 r2 0
通解为：X ( x ) Ax B
B0 将条件 X (0) X (l ) 0 代入有 Al B 0 解得：A=B=0
则X（x）=0，不符合非零解的要求，因此 不能等 于零。 ③0
并令 ，为非零数，
2
方程
X ( x ) X ( x ) 0
8）得到满足定解条件的解，除了由上式确定系数 Cn , Dn 之外，还要求上面得到的级数收敛，并且能够对 x，t 微分两次。而这些要求只要对函数 ( x ) 及 ( x ) 加一些 条件，即能满足要求。
说明
当 n 时，它平均收敛于形式解u（x，t）。
始条件，则当n很大时，可以把 Sn ( x, t ) 看成是 u（x，t）的近似解。 在大多数情况下，都是先求形式解，然后在一 定条件下验证这个形式解就是古典解。这个验 证的过程称为综合工作。 我们要求只求形式解，就认为定解问题得到解 决。
【例如1】设有一根长为10个单位的弦，两端固定， x (10 x ) 初速度为0，位移为 ( x ) 1000 ，a 2 10000 求弦作微小横向振动时的位移。
解：设位移函数为u（x，t），其定解问题为：
2u 2u 10000 2 , 0 x 10, t 0 2 t x u x 0 0, u x 10 0， t 0 x(10 x ) u u t 0 , 0 x 10 t 0 0, 1000 t
a 2 n 2 2 ( t ) Tn Tn ( t ) 0 2 l
为二阶常系数线性齐次微分方程。 2 2 2 a n 2 其特征方程为： r 0 2 l an an r1 i r2 i l l nat nat cos sin Dn 通解为：Tn ( t ) C n （n=1，2，…） l l
分离变量法(有界弦的自由振动)
X ( x) ≡ 0
u = XT ≡ 0
λ = 0 也被排除．
（３）
λ >0
（2.5）的解
X ( x ) = C1 cos λ x + C 2 sin λ x
C1 和 C 2 由（2.7）确定，即
⎧ C1 = 0 ⎪ ⎨ ⎪ C 2 sin λ l = 0 ⎩
如 sin
λl ≠ 0
，则仍然解出 C1 = 0, C 2 = 0
1
2 1 = x (1 − x )cos nπ x [− nπa nπ 0 1 1 + ∫0 (1 − 2 x )cos nπ xdx ] nπ 2 1 = [ (1 − 2 x )sin nπ x 2 ( nπ) a nπ 0 2 1 4 n + ∫0 sin nπ xdx ] = (nπ)4a [1 − (−1) ]. nπ
u ( x, t ) = X ( x )T (t )
定解问题的泛定方程变为
′′(t ) − a 2 X ′′( x)T (t ) = 0 X ( x) ⋅ T
X ′′ ( x ) T ′′ ( t ) = 2 X (x) a T (t )
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t, ，只能是它们等于 也不依赖于x的常数，不妨设常数为 偏微分方程分离成两个常微分方程:
定义：
固有(特征)值 不能任意取，只能根据边界条件 λ 不能任意取，只能根据边界条件（2.7）取某 些特定值 固有(特征)函数 对于不同 λ ,（2.5）所对应的解 X ( x ) 固有值问题(施图姆 —刘维尔问题) 求齐次方程带有齐次边界条件的固有值和固有函 数问题
附录:
y 二阶常系数微分方程： + py + qy = 0
数理方程第讲教学教材
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
有界弦的自由振动
•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
2 2u u 2 0 x l, t 0 t 2 a x 2 , t 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) ( x), t ( x), 0 x l X X 0 ▪分离变量 u( x, t ) X ( x)T (t )
l n at n at Tn (t ) C 'n cos D 'n sin (n 1, 2,3,) l l n a n a n un ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) sin x (n 1, 2,3,) l l l
T ''n (t )
na na n t Dn sin t ) sin x l l l
l l m n m Cm Cn sin x sin xdx 0 ( x) sin l xdx 0 2 l l n 1 2 l m Cm ( x) sin xdx 0 l l 2 l n 2 l n Dn ( x) sin xdx Cn ( x) sin xdx 0 na l l 0 l l
T 104 T 0
X X 0, 0 x 10 X (10) 0 X (0) 0, 2 0 x x 2 X ( x ) Ae Be X X 0 X (0) A B 0 X (l ) Ae10 Be10 0 AB0 X ( x) 0 0 X ( x) Ax B X 0 AB0 X ( x) 0 2 0 X ( x) A cos x B sin x X 2 X 0
3-1 有界弦的自由振动
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n 2 π 2 代入方程(4)： ′′( t ) + λ a 2T ( t ) = 0 得: T 将特征值 λ = 2 l
a 2 n2 π2 T ′′( t ) + T (t ) = 0 2 l 此方程的通解为:
nπ a nπ a ′ ′ Tn ( t ) = C n cos t + Dn sin t l l 其中 C n 和 Dn 为任意常数. ′ ′
= X ( x )T ( t )
λ
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设定解问题的特解为:
u( x , t ) = X ( x )T ( t )
代入(1)中,则有 或
⎧ ∂ 2u ⎪ 2 = X ′′( x )T ( t ) ⎪ ∂x ⎨ 2 ⎪ ∂ u = T ′′( t ) X ( x ) ⎪ ∂t 2 ⎩
Dn = 0
因此,所求的解为:
4 u( x , t ) = 3 5π
1 (2n + 1)π ∑ (2n + 1)3 sin 10 x cos10(2n + 1)πt n= 0
∞
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解定解问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , ⎪ 2 ∂x ⎪ ∂t ⎪ ⎨ u | x = 0 = ux | x = l = 0, ⎪ ∂u 2 ⎪ u |t = 0 = x − 2lx , |t = 0 = 0, ⎪ ∂t ⎩
通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x 代入(6)′得
⎧A = 0 ⎨ ⎩ B cos β l = 0
由于 B ≠ 0 ,故 cos β l = 0 ,即
n 2 π 2 代入方程(4)： ′′( t ) + λ a 2T ( t ) = 0 得: T 将特征值 λ = 2 l
a 2 n2 π2 T ′′( t ) + T (t ) = 0 2 l 此方程的通解为:
nπ a nπ a ′ ′ Tn ( t ) = C n cos t + Dn sin t l l 其中 C n 和 Dn 为任意常数. ′ ′
= X ( x )T ( t )
λ
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设定解问题的特解为:
u( x , t ) = X ( x )T ( t )
代入(1)中,则有 或
⎧ ∂ 2u ⎪ 2 = X ′′( x )T ( t ) ⎪ ∂x ⎨ 2 ⎪ ∂ u = T ′′( t ) X ( x ) ⎪ ∂t 2 ⎩
Dn = 0
因此,所求的解为:
4 u( x , t ) = 3 5π
1 (2n + 1)π ∑ (2n + 1)3 sin 10 x cos10(2n + 1)πt n= 0
∞
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解定解问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , ⎪ 2 ∂x ⎪ ∂t ⎪ ⎨ u | x = 0 = ux | x = l = 0, ⎪ ∂u 2 ⎪ u |t = 0 = x − 2lx , |t = 0 = 0, ⎪ ∂t ⎩
通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x 代入(6)′得
⎧A = 0 ⎨ ⎩ B cos β l = 0
由于 B ≠ 0 ,故 cos β l = 0 ,即
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
数学物理方程第二章(波动)
横向： T cos T 'cos ' 得：
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章 波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章 波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式
武汉大学数学物理方法3_1有界弦的自由振动
( n = 0) ( n ≠ 0)
由式<11>得：
a0 b − y 2 b = a cos nπ xsh nπ ( y − b) n a a
(n = 0) ( n ≠ 0)
a0 = A0 D0 , an = An En 其中 2
于是，我们有：
u ( x, y ) = ∑ u n ( x, y )
X ( x )T (0) = ϕ ( x ) X ( x )T ′′(0) = ψ ( x ) 由于ϕ ( x)和ψ ( x)是任意函数， 此二式 不成立
二、本征值问题 1、先考虑定解问题
X ′′ − µX = 0 X (0 ) = 0 X (l ) = 0
得：
n π µ = − 2 a
2
2
, n = 0、 1、 2、 ...
nπ x X n ( x ) = A n cos a n 2π 2 将µ = − 2 代入Y ( y )的方程得： a 2 2 nπ Y ′′ − 2 Y = 0 a
其通解为：
C0 y + D0 , ( n = 0) Y ( y) = nπ nπ nπ Cch y + Dsh y = Esh ( y + F ) , (n ≠ 0) a a a
其中
E = D +C
2
2
a −1 C , F= th nπ D
由边界条件 y (b) = 0 有：
C0b + D0 = 0 nπ Esh (b + F ) = 0 a
故有：
( n = 0) (n ≠ 0)
D0 C0 = − , F = −b( E ≠ 0) b
因此：
数理方程第二章 有界弦的自由振动-1
深圳大学电子科学与技术学院
§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意 初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2 2u u 2 a , 0 x L,t 0 2 2 x t u | x 0 0 , u | x L 0 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
（5） （6）
X ( x) 常数 X ( x)
两边对x求导数：
设这一常数为-，则
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成 方程 X ( x)T (t ) a2 X ( x)T (t ) f ( x, t ) ,不能写 出变量分离的形式（6）。
泛定方程
(1) (2) (3)
边界条件
初始条件
深圳大学电子科学与技术学院
主导思想：
在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，
常微分方程——不但含有未知函数，而且 还含有未知函数的导数，且自变量只有一 个，称之为常微分方程。
求出足够多的形式解
线性迭加这些足够多的形式解
线性——未知函数，以及未知函数的导数 都是一次幂，称之为线性。
深圳大学电子科学与技术学院xlncxunnsin0但是本征解的初始值不能满足任意初始条件但是本征解的初始值不能满足任意初始条件2为了使原定解问题的解满足任意初始条件考虑到原泛定方程是线性的服从叠加原理可以取为了使原定解问题的解满足任意初始条件考虑到原泛定方程是线性的服从叠加原理可以取本征解的叠加构成定解问题的一般解
第 2 章 2.1有界弦的自由振动
6
X ' ' ( x) X ( x) 0,
X (0) X (l ) 0. (9)
若对于 的某些值，问题(9)的非平凡解存在， 则称这种 值为特征值(或固有值)，试求此值； 同时，称相应的非平凡解 X ( x) 为特征函数(或 固有函数),并求出它。这样叙述的问题，通常 叫做施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题. 下面我们对 分三种情形加以讨论：
2 n 2 n
l
bn sin
) sin
l
(16)
n 称为频率。 n 称为初相，
an na 其中 N n a b , n arctan b , n l ; n
18
nx u n ( x, t ) N n sin( n t n ) sin , l
(16)
代入方程(6)得 其通解为
T ' ' (t ) (
nat Tn (t ) C n cos Dn sin l l
na 2 ) T (t ) 0, l nat
(n 1, 2, ). (12)
这样就得到方程(1)的满足齐次边界条件(2)的
变量分离形式的特解 u n ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
n 2 n ( ) l
(10) (11)
9
nx X n ( x) Bn sin (n 1, 2, ). l 特征函数
特征值
现在考虑 将特征值
T ' ' (t ) a 2T (t ) 0,
n 2 n ( ) l (n 1, 2 , ).
(6) (10)
(1) (2)
(3)
X ' ' ( x) X ( x) 0,
X (0) X (l ) 0. (9)
若对于 的某些值，问题(9)的非平凡解存在， 则称这种 值为特征值(或固有值)，试求此值； 同时，称相应的非平凡解 X ( x) 为特征函数(或 固有函数),并求出它。这样叙述的问题，通常 叫做施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题. 下面我们对 分三种情形加以讨论：
2 n 2 n
l
bn sin
) sin
l
(16)
n 称为频率。 n 称为初相，
an na 其中 N n a b , n arctan b , n l ; n
18
nx u n ( x, t ) N n sin( n t n ) sin , l
(16)
代入方程(6)得 其通解为
T ' ' (t ) (
nat Tn (t ) C n cos Dn sin l l
na 2 ) T (t ) 0, l nat
(n 1, 2, ). (12)
这样就得到方程(1)的满足齐次边界条件(2)的
变量分离形式的特解 u n ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
n 2 n ( ) l
(10) (11)
9
nx X n ( x) Bn sin (n 1, 2, ). l 特征函数
特征值
现在考虑 将特征值
T ' ' (t ) a 2T (t ) 0,
n 2 n ( ) l (n 1, 2 , ).
(6) (10)
(1) (2)
(3)
2.1分离变量法 弦的振动
n = 1,2,3L
u ( x, t ) = ∑
n =1
∞
nπat nπat nπx ( An cos + Bn sin ) sin . l l l
∞
由初始条件： 由初始条件：
u t = 0 = ϕ ( x) ∑
n =1
An sin
nπx = ϕ ( x), l
2 nπξ An = ∫ ϕ (ξ ) sin dξ ; l 0 l
X ' (l )T (t ) = 0
X (0) = 0
和
X ' (l ) = 0
X ' '+λX = 0;
T ' '+λa 2T = 0;
X (0) = 0
和
X ' (l ) = 0.
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x
C1 = 0
和
C2 cos λ l = 0
k = 0,1,2,3L
l
猜测: 猜测
u x ( x, t ) x = 0 = 0
第二类边界条件
u ( x, t ) x =l = 0
第一类边界条件
本征值?本征函数 本征值 本征函数? 本征函数
作业:P56 作业 1(1),(3)
λ C2 = 0,
λ (−C1 sin λ l + C2 cos λ l ) = 0
⇒
nπ λ= 2 l
2
2
n = 0,1,2,3L
nπx X ( x) = C1 cos l
nπ a T ' '+ T = 0; 2 l
2 2 2
n=0
第2章-1弦的振动
+ B cos[k (ct + x) + ϕ B ] + B cos[k (ct − x) + ϕ A ]
某方向的行波+纯驻波
正x方向行波 两列反向行波 ——振幅相同
η p = ( A − B )cos[k (ct − x) + ϕ A ]
ηs = B {cos[k (ct + x) + ϕ B ] + cos[k (ct − x) + ϕ A ]} t t
∞
∞
动能： 动能
元段dx
2
整根弦
1 ⎛ ∂η ⎞ dE k = δdx⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂t ⎠
总能量： 总能量
1 l ⎛ ∂η ⎞ E k = ∫ dE k = δ ∫ ⎜ ⎟ dx 0 2 ⎝ ∂t ⎠
2 l 2
2
T ⎛ ∂η ⎞ ⎛ ∂η ⎞ E = Ek + Ep = ∫ ⎜ ⎟ dx + ∫0 ⎜ ⎟ dx 0 2 ⎝ ∂t ⎠ 2 ⎝ ∂x ⎠
问题: 弦的某一位置，随时间的变化； 问题 弦的某 位置 随时间的变化 在某一时刻，弦随位置的变化。
η (t , x)
假设：小振动。 η (t , x) 很小，张力 T [N]为常数。
2.1
分析
y
η (t , x)
“牛二”
dFx
dm
x
y
线密度 = 密度 * 横截面积
Fx + dx
B
η x + dx
∂η =T ∂x
dE p =
T ⎛ ∂η ⎞ ⎜ ⎟ dx 2 ⎝ ∂x ⎠
元段dx 段 整根弦
T
T l ⎛ ∂η ⎞ E p = ∫ dE p = ∫ ⎜ ⎟ dx 0 ∂x 2 ⎝ ∂x ⎠
某方向的行波+纯驻波
正x方向行波 两列反向行波 ——振幅相同
η p = ( A − B )cos[k (ct − x) + ϕ A ]
ηs = B {cos[k (ct + x) + ϕ B ] + cos[k (ct − x) + ϕ A ]} t t
∞
∞
动能： 动能
元段dx
2
整根弦
1 ⎛ ∂η ⎞ dE k = δdx⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂t ⎠
总能量： 总能量
1 l ⎛ ∂η ⎞ E k = ∫ dE k = δ ∫ ⎜ ⎟ dx 0 2 ⎝ ∂t ⎠
2 l 2
2
T ⎛ ∂η ⎞ ⎛ ∂η ⎞ E = Ek + Ep = ∫ ⎜ ⎟ dx + ∫0 ⎜ ⎟ dx 0 2 ⎝ ∂t ⎠ 2 ⎝ ∂x ⎠
问题: 弦的某一位置，随时间的变化； 问题 弦的某 位置 随时间的变化 在某一时刻，弦随位置的变化。
η (t , x)
假设：小振动。 η (t , x) 很小，张力 T [N]为常数。
2.1
分析
y
η (t , x)
“牛二”
dFx
dm
x
y
线密度 = 密度 * 横截面积
Fx + dx
B
η x + dx
∂η =T ∂x
dE p =
T ⎛ ∂η ⎞ ⎜ ⎟ dx 2 ⎝ ∂x ⎠
元段dx 段 整根弦
T
T l ⎛ ∂η ⎞ E p = ∫ dE p = ∫ ⎜ ⎟ dx 0 ∂x 2 ⎝ ∂x ⎠
华科大数理方程与特殊函数课件——有界弦的自由振动
utt a 2u xx u(0,t) 0,
(0 x l, t 0), u(l,t) 0,
(1) (2)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x),
(3)
18
存在性定理*
若(x) C 4[0,l](四次导数连续的函数)，
(x) C 3[0,l],并且 , '', 在 x 0, l 处取值
于是得
n
( n
l
)2
(n 1, 2 , ).
(10)
从而找到一族非零解
特征值
X
n
(x)
Bn
sin
nx
l
(n 1, 2, ). (11)
特征函数
10
现在考虑 T ''(t) a2T (t) 0,
(6)
将特征值
n
( n )2
l
代入方程(6)得
(n 1, 2 , ).
(10)
其通解为
T ''(t) ( na )2T (t) 0,
l
Tn
(t)
Cn
cos nat
l
Dn
sin
nat
l
(n 1, 2, ). (12)
这样就得到方程(1)的满足齐次边界条件(2)的
变量分离形式的特解 un (x,t) X n (x)Tn (t)
11
un
( x, t )
(an
cos
nat
l
bn
sin
nat
l
) s in
nx
l
(n 1, 2, ),(13)
nx
l
(n 1, 2, ),(13)
8.1有界弦的自由振动
Mathematical Methods in Physics 武汉大学 物理科学与技术学院Wuhan University第八章 分离变量法The Method of Separation of VariablesWuhan University问题的引入：⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0行波法1 1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a∫x + atx − atψ (α ) d α缺点： 通解不易求，用定解条件定特解常有困难， 有局限性。
思路：引入一直接求特解的方法Wuhan University第三章 分离变量法中心内容: 用分离变量法求解各种有界问题 基本要求： • 掌握有界弦的自由振动的解及物理意义• 着重掌握分离变量法的解题思想、解题步骤及 其核心问题——本征值问题 • 掌握求解非齐次方程的本征函数展开法 • 掌握将非齐次边界条件齐次化的方法 • 掌握在柱、球坐标系中对 Δu = 0 和 Δu + λu = 0 的分离变量及所得到的特殊函数微分方程Wuhan University§8.1 有界弦的自由振动Free transverse vibration of a finite string 一.定解问题⎧utt = a 2u xx , 0 < x < l ⎪ ⎨u x =0 = 0, u x =l = 0 ⎪ u = ϕ (x ), u t t =0 = ψ ( x ) ⎩ t =0二. 求解(1) (2) (3)思路： 两端固定的弦形成驻波,故可用驻波 法(即分离变量法)求解。
数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。 Nhomakorabea即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f ( x) y ( x) d x
则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为
齐次边界条件问题，方可进行求解。
三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定
要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。
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分离变量法的军事策略 ：
— —分兵合围，各个击破
分离变量法的哲学思想 ：
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
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实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院26关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数1有界弦的自由振动3圆形域内laplace方程的定解问题sincos分离变量法的实质将时间变量视为参变量
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§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意 初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2 2u u 2 a , 0 x L,t 0 2 2 x t u | x 0 0 , u | x L 0 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
（7）
这样空间函数 X ( x) 构成下列常微分方程的边值问题:
（8）
至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐 次的。否则 X (0)T (t ) f ，不能写出关于空间函数 X(x)单独的 边界条件（7），不能构成定解问题（8）。
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以下的任务：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
2
n X n ( x) B sin x L
该边值问题的解是一系列分立的正弦函数
名词解析
u ( x, t ) X ( x ) T ( t )
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X ( x ) T ( t ) 2 X ( x) a T (t )
本征值 本征函数
这样初始条件可以表示为
u t 0 Cn sin
n 1
n x ( x) L
u na n Dn sin x ( x) t t 0 n1 L L
它们是函数 ( x) 和 ( x)的傅立叶级数，展开系数为
2 L n C n ( x ) sin xdx 0 L L 2 L n Dn ( x ) sin xdx 0 na L
na T (t ) T (t ) 0 L
2
其通解为 T 这样
n (t ) c n cos
na na t d n sin t L L
u n ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) na na n C n cos t Dn sin t sin x L L L
(9) (10)
1. 0 ：方程(9)的通解为 X ( x) A Bx
由(10)得 A B 0 （平庸解:X(x)=0） 2. 0: 方程(9)的通解为
X ( x) A exp(kx) B exp(kx)
设k
(11)
为了满足边界条件(10), (11)必须给出
这个解称为定解问题的“本征解”, 它满足泛定方程和齐次边界条件
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定解问题的一般解:
但是本征解
na na un ( x, t ) Cn cos t Dn sin L L
n x L
n t sin x L
的初始值 不能满足任意初始条件(2), 为了使原定解问题的解满足任意初始条件，考虑 到原泛定方程是线性的（服从叠加原理），可以 取本征解的叠加构成定解问题的一般解：
u n ( x,0) C n sin
u ( x, t ) un ( x, t )
n 1
n 1
na na n t Dn sin t sin x Cn cos L L L
一般解不但 满足泛定方 程还满足定 解条件
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任意初始条件:
n
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讨论: 分离变量法的适用条件
1.泛定方程是 线性齐次的, 例如 2.边界条件是 齐次的,例如
2 2u 2 u a 2 t x 2
u x0 0,
u xL 0
u ( x) t t 0
3.初始条件可以 u t 0 ( x), 是任意函数
u ( x) t t 0
2 L n C n ( x ) sin xdx 0 L L 2 L n Dn ( x) sin xdx 0 na L
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分离变量法：求解定解问题的步骤
1.对于泛定方程 Lux, t 0 写出形式解:
使之满足初始条件 从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种 单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t 。 为此，特解可表示为
u( x, t ) A(t ) sin x
特点:
的形式.
u 中的变量 x , t
被形式上分离为 振幅-关于时间t 位相-关于坐标x
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分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u( x, t ) X ( x)T (t ) （4） 代入方程（1）：
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
d X ( x) d T (t ) 0 2 dx X ( x) dx a T (t )
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将边界条件（2）代入形式解（4）：
X (0)T (t ) 0, X ( L)T (t ) 0,
由于 T (t ) 0,否则 u( x, t ) 0 (平庸解,无实际意义),故
X (0) X ( L) 0
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
u ( x, t ) u n ( x, t )
n 1
na na n Cn cos t Dn sin t sin x L L L n 1
u( x, t ) x0 0,
u( x, t ) t 0 ( x),
u( x, t ) xL 0
A B 0 A exp(kL) B exp(kL) 0
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A B 0 A exp(kL) B exp(kL) 0
(12)
这是一个关于A, B的线性齐次方程组，它有 非零解的必要充分条件是系数行列式为零：
1 1 0 exp(kL) exp(kL)
使之满足初始条件
通解——一般地讲，一阶常微分方程含有 一个任意常数的解，称之为通解。
特解——确定了任意常数的解，称之为特 解。一般来说，当初始条件给定之后，满 足初始条件的特解只有一个。
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启发：
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的形式解。
线性组合这些足够多的形式解
除此之外，只能得到恒 等于零的、没有意义的 解！常数 的特定数值，
被叫作本征值（特征值 ）；相应的解（ II），被叫作本征函数（ 特征函数） .
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解方程:
将
n n L
2
T (t ) a 2T (t ) 0
代入关于 T 的方程:
(9) (10)
3.>0,方程(9)的通解为
X ( x) A cos x B sin x
设
为了满足边界条件(10),必须有
A0 B sin L 0
sin L 0
由于 B 不能为零(否 则X(x)=0)
L n (n 1, 2, 3,)
n n L
boundary condition
definite solution problem 非齐次泛定方程: Nonhomogencous Universal Definite Equation Method of separation of variables:分离变量法
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物理学、工程技术领域的许多问题 ，都可以归结为偏微分方程的 定解问题。
n 2 2 n 2 L
(I )
n x. L
X n ( x) Bn sin
(n 1,2,3)
( II )
由此可见，在分离变量 法的过程之中，所引入 的常数 ，既不能为负，
也不能为零，甚至还不 能是任意的正数。它必 须取（I）式所给定的特定数值 ！
方才可能从泛定方程和 定解条件中，得到有意 义的解！
X ( x ) X ( x ) 0 有满足条件
X (0) X ( L) 0 的非零解；
确定取何值时 ，方程
——本征值
求出这个非零解 X ( x )
本征值 问题
本征函数
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下面求解边值问题：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
L x X x 0 L yY y 0 L z Z z 0 L t T t 0
Lux, y, z, t 0
基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和 时间的常微分方程,比如
u( x, t ) X ( x)T (t )
Lux, t 0
L x X ( x) 0 LtT (t ) 0
一般解能表示任意初始条件
可以再次看出, 利用分离变量 法的条件是: 泛定方程必须是 线性的。这样才能利用叠加原 理，构成一般解，满足任意初 始条件。
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弦振动定解问题的结论：
有界弦自由振动的 定解问题的解由级 数给出: 它满足齐次边界条 件和任意初始条件: 展开系数 Cn 和 Dn被 积分确定:
u( x, t ) X ( x)T (t )
2.分离变量得到空间函数的本征值问题:
Fx X n ( x) n X n ( x) 边界条件
n
（本征值）
X n ( x)（本征函数）
3.解出 T (t ) 得到本征解: un ( x, t ) X n ( x)Tn (t )