数理方程第二章 有界弦的自由振动-1

A B 0 A exp(kL) B exp(kL) 0
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A B 0 A exp(kL) B exp(kL) 0
(12)
这是一个关于A, B的线性齐次方程组，它有 非零解的必要充分条件是系数行列式为零：
1 1 0 exp(kL) exp(kL)
泛定方程
(1) (2) (3)
边界条件
初始条件
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主导思想：
在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，
常微分方程——不但含有未知函数，而且 还含有未知函数的导数，且自变量只有一 个，称之为常微分方程。
求出足够多的形式解
线性迭加这些足够多的形式解
线性——未知函数，以及未知函数的导数 都是一次幂，称之为线性。
n
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讨论: 分离变量法的适用条件
1.泛定方程是 线性齐次的, 例如 2.边界条件是 齐次的,例如
2 2u 2 u a 2 t x 2
u x0 0,
u xL 0
u ( x) t t 0
3.初始条件可以 u t 0 ( x), 是任意函数
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将边界条件（2）代入形式解（4）：
X (0)T (t ) 0, X ( L)T (t ) 0,
由于 T (t ) 0,否则 u( x, t ) 0 (平庸解,无实际意义),故
X (0) X ( L) 0
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
L x X x 0 L yY y 0 L z Z z 0 L t T t 0
Lux, y, z, t 0
基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和 时间的常微分方程,比如
u( x, t ) X ( x)T (t )
Lux, t 0
L x X ( x) 0 LtT (t ) 0
这样初始条件可以表示为
u t 0 Cn sin
n 1
n x ( x) L
u na n Dn sin x ( x) t t 0 n1 L L
它们是函数 ( x) 和 ( x)的傅立叶级数，展开系数为
2 L n C n ( x ) sin xdx 0 L L 2 L n Dn ( x ) sin xdx 0 na L
u ( x) t t 0
2 L n C n ( x ) sin xdx 0 L L 2 L n Dn ( x) sin xdx 0 na L
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分离变量法：求解定解问题的步骤
1.对于泛定方程 Lux, t 0 写出形式解:
u ( x, t ) u n ( x, t )
n 1
na na n Cn cos t Dn sin t sin x L L L n 1
u( x, t ) x0 0,
u( x, t ) t 0 ( x),
u( x, t ) xL 0
u( x, t ) X ( x)T (t )
2.分离变量得到空间函数的本征值问题:
Fx X n ( x) n X n ( x) 边界条件
n
（本征值）
X n ( x)（本征函数）
3.解出 T (t ) 得到本征解: un ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
4.利用叠加原理得到一般解: u( x, t ) u n ( x, t )
（7）
这样空间函数 X ( x) 构成下列常微分方程的边值问题:
（8）
至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐 次的。否则 X (0)T (t ) f ，不能写出关于空间函数 X(x)单独的 边界条件（7），不能构成定解问题（8）。
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以下的任务：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
这个解称为定解问题的“本征解”, 它满足泛定方程和齐次边界条件
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定解问题的一般解:
但是本征解
na na un ( x, t ) Cn cos t Dn sin L L
n x L
n t sin x L
的初始值 不能满足任意初始条件(2), 为了使原定解问题的解满足任意初始条件，考虑 到原泛定方程是线性的（服从叠加原理），可以 取本征解的叠加构成定解问题的一般解：
一般解能表示任意初始条件
可以再次看出, 利用分离变量 法的条件是: 泛定方程必须是 线性的。这样才能利用叠加原 理，构成一般解，满足任意初 始条件。
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弦振动定解问题的结论：
有界弦自由振动的 定解问题的解由级 数给出: 它满足齐次边界条 件和任意初始条件: 展开系数 Cn 和 Dn被 积分确定:
(9) (10)
1. 0 ：方程(9)的通解为 X ( x) A Bx
由(10)得 A B 0 （平庸解:X(x)=0） 2. 0: 方程(9)的通解为
X ( x) A exp(kx) B exp(kx)
设k
(11)

为了满足边界条件(10), (11)必须给出
2
n X n ( x) B sin x L
该边值问题的解是一系列分立的正弦函数
名词解析
u ( x, t ) X ( x ) T ( t )
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X ( x ) T ( t ) 2 X ( x) a T (t )
本征值 本征函数
u n ( x,0) C n sin
u ( x, t ) un ( x, t )
n 1


n 1
na na n t Dn sin t sin x Cn cos L L L
一般解不但 满足泛定方 程还满足定 解条件
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任意初始条件:
除此之外，只能得到恒 等于零的、没有意义的 解！常数 的特定数值，
被叫作本征值（特征值 ）；相应的解（ II），被叫作本征函数（ 特征函数） .
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解方程:
将
n n L
2
T (t ) a 2T (t ) 0
代入关于 T 的方程:
使之满足初始条件 从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种 单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t 。 为此，特解可表示为
u( x, t ) A(t ) sin x
特点:
的形式.
u 中的变量 x , t
被形式上分离为 振幅-关于时间t 位相-关于坐标x
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boundary condition
definite solution problem 非齐次泛定方程: Nonhomogencous Universal Definite Equation Method of separation of variables:分离变量法
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物理学、工程技术领域的许多问题 ，都可以归结为偏微分方程的 定解问题。
na T (t ) T (t ) 0 L
2
其通解为 T 这样
n (t ) c n cos
na na t d n sin t L L
u n ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) na na n C n cos t Dn sin t sin x L L L
n 2 2 n 2 L
(I )
n x. L
X n ( x) Bn sin
(n 1,2,3)
( II )
由此可见，在分离变量 法的过程之中，所引入 的常数 ，既不能为负，
也不能为零，甚至还不 能是任意的正数。它必 须取（I）式所给定的特定数值 ！
方才可能从泛定方程和 定解条件中，得到有意 义的解！
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§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意 初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2 2u u 2 a , 0 x L,t 0 2 2 x t u | x 0 0 , u | x L 0 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
（5） （6）
X ( x) 常数 X ( x)
两边对x求导数：
ห้องสมุดไป่ตู้设这一常数为-，则
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成 方程 X ( x)T (t ) a2 X ( x)T (t ) f ( x, t ) ,不能写 出变量分离的形式（6）。
偏微分方程
定解条件
求满足它们的解（定解问题）
在微积分学中: 多元函数的 微分 积分 (转化为) 一元函数的 微分 积分
分离变量法: 偏微分方程 (转化为)
(定解问题)
常微分方程的求解
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基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化 为几个单元函数的常微分方程
u( x, y, z, t ) X ( x)Y ( y)Z ( z)T (t )
(9) (10)
3.>0,方程(9)的通解为
X ( x) A cos x B sin x
设
为了满足边界条件(10),必须有
A0 B sin L 0
sin L 0
由于 B 不能为零(否 则X(x)=0)
L n (n 1, 2, 3,)
n n L
分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u( x, t ) X ( x)T (t ) （4） 代入方程（1）：
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
d X ( x) d T (t ) 0 2 dx X ( x) dx a T (t )
使之满足初始条件
通解——一般地讲，一阶常微分方程含有 一个任意常数的解，称之为通解。
特解——确定了任意常数的解，称之为特 解。一般来说，当初始条件给定之后，满 足初始条件的特解只有一个。
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启发：
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的形式解。
线性组合这些足够多的形式解
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分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
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definite condition 定解条件 initial condition
X ( x ) X ( x ) 0 有满足条件
X (0) X ( L) 0 的非零解；
确定取何值时 ，方程
——本征值
求出这个非零解 X ( x )
本征值 问题
本征函数
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下面求解边值问题：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
即
exp(kL) exp(kL) 0
上式在k=0(即=0)条件下成立，但在现在的 <0 情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解
即
A B 0 X ( x) 0
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X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0