解析几何中的定值问题
专题04 解析几何中的定值问题 (解析版)
专题04 解析几何中的定值问题常见考点考点一 定值问题典例1．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,4P x 是抛物线C 上一点，6PF =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过()0,4Q 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求证：2211||||AQ BQ +为定值． 【答案】(1)28x y = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由6PF =，根据抛物线的定义得到462p+=，求得4p =，即可求得抛物线的方程； （2）设直线l 的方程为4y kx =+，联立方程组利用韦达定理12128,32x x k x x +==-，结合两点距离公式，化简21212222212()2111||||1()x x x x AQ BQ k x x +-+=⋅+，代入即可求解. (1)解：因为点()0,4P x 在抛物线2:2C x py =上，且6PF =， 由抛物线的定义可得462pPF =+=，解得4p =， 所以抛物线的方程为28x y =. (2)解：设直线l 的斜率为k ，可得直线l 的方程为4y kx =+， 联立方程组248y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得28320x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得2(8)4(32)0k ∆=-⨯->且12128,32x x k x x +==-， 由222222222211221122111111||||(4)(4)(44)(44)AQ BQ x y x y x kx x kx +=+=++-+-++-++- 22212121222222222121212()21111(1)(1)1()1()x x x x x x k x k x k x x k x x ++-=+=⋅=⋅++++ 222221(8)2(32)1111(32)11616k k k k -⨯-+=⋅=⋅=+-+.变式1-1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2设点()(),00,M m m m a ≠≠±是x 轴上的定点，直线l ：222a mx m+=，设过点M 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，A 、B 在l 上的射影分别为A '、B '． (1)求椭圆C 的方程；(2)判断AA BB '⋅'是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=；(2)是定值，定值为222(4)4m m -.【解析】 【分析】(1)根据题意列方程得出a ，b 的值即可得出椭圆方程；(2)求出当直线AB 斜率为0时AA BB '⋅'的值，再求当直线AB 斜率不为零或不存在时AA BB '⋅'的值.当直线AB 斜率不为零或不存在时，设直线AB 方程为x ky m =+，和椭圆方程联立，根据韦达定理计算AA BB '⋅'.由此即可得出结论． (1)由题意可知1b =，ca=又222a c b -=，2a ∴=，1b =，c∴椭圆的标准方程为：2214x y +=；(2)当直线AB 斜率为0时，A 、B 分别为椭圆的左右顶点，A '、B '均为22,02a m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则222244222222222222()(4)22444a m a m a m a m a m m AA BB a a a m m m m m ++++--'⋅'=-⋅+=-==，当直线AB 斜率不为0时，设直线AB 的方程为x ky m =+，联立方程组2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得：2222(4)8440k x mx m k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则0∆>时，12284mx x k +=+，22122444m k x x k -=+，222221212122444(4)()2224m m m m AA BB x x x x x x m m m m ++++''∴⋅=-⋅-=-++222222(4)(4)444m m m m +-=-+=．综上，AA BB '⋅'为定值222(4)4m m -．变式1-2．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，点P （1，32）在椭圆上，且离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的右焦点为F ，过B （4，0）的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，求证：直线FD 与直线FE 斜率之和为定值.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可得12c a=，然后将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程求解即可；（2）设直线l 的方程为y =k (x -4)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，然后联立椭圆与直线的方程消元，然后韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+，然后可算出FD FE k k +为定值. (1)由题意知，12c e a ==，所以a =2c ，22b a =-2c =23c ， 故椭圆的方程为2222143x y c c+=，又点P （1，32）在椭圆上，代入解得21c = 所以2a =4， 23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设直线l 的方程为y =k (x -4)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，联立方程组()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222343264120k x k x k +-+-=，则0∆>，解得2k <14，∴21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+， FDFE k k +=()121212*********(1)(1)k x x x x y y x x x x ⎡⎤-++⎣⎦+=----()()()()22222222121264123212824160243225834343401111k k k k k k k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫---++⨯-⨯+ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭===---- 所以直线FD 与直线FE 斜率之和为0.变式1-3．如图，已知圆22:4O x y +=，点(1,0)B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，点A 的集合记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线:4l x =，3(1,)2Q ，过点B 的直线1l 与C 交于,M N 两点，与直线l 交于点K ，记,,QM QN QK 的斜率分别为123,,k k k ，问：1223k k k k --是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，证明见解析，2- 【解析】 【分析】(1)按照所给的条件，分析图中的几何关系即可；(2)作图，联立方程，按步骤写出相应点的坐标，求对应的斜率即可. (1)设AB 的中点为P ，切点为Q ，连接,OP PQ ， 取B 关于y 轴的对称点D ，则2BD = ，连接AD ，由于P 是AB 的中点，O 是BD 的中点，∴=2AD OP ，故=2222AB AD OP PB OP PQ ++=+()242OP PB BD =+=>=.所以点A 的轨迹是以,B D 为焦点，长轴长为4的椭圆.其中2,1,a c b ===C 的方程为22143x y +=；(2)由第一问，作图如下：设1122(,),(,),M x y N x y 依题意，直线1l 的斜率必定存在， 设1:1(0)l x my m =+≠，将其与椭圆方程联立：221(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=， 由韦达定理，得：12122269,3434m y y y y m m --+==++ 易得点3(4,)K m ，33311232m k m -==-111113322,1y y k x my --==-22232y k my -= 133213122323231k k k k k k k k k k k k k k -+---==---- 而121213122231212112311()()3223113()()22y y m y y k k my y y m k k my y y y y m y y m -----==-----……① 由12122269,3434m y y y y m m --+==++得：12123()2y y y y m =+， 代入①得：1312223121313k k my y y k k my y y --==---，得1332131223232312k k k k k k k kk k k k k k -+---==-=----故答案为：22143x y +=，是定值，理由见解析，-2.典例2．已知椭圆1C：(22216x y a a +=>，1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点，1C 的离2C，点E 在2C 上，过点E 和1F ，2F 分别作直线交椭圆1C 于F ，G 和M ，N 点，如图.(1)求1C ，2C 的方程；(2)求证：直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值； (3)求证：11FG MN +为定值.【答案】(1)1C ：221186x y+=；1C ：221x y -=(2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，根据条件先求曲线1C 的方程，再求曲线2C 的方程； （2）首先设()00,E x y ，表示直线1EF 和2EF 的斜率之积，即可求解定值；（3）首先表示直线1EF (1y k x =+与1C 方程联立消y ，利用韦达定理表示弦长FG ，以及利用直线1EF 和2EF 的斜率关系121k k =，表示弦长MN ，并证明11FG MN +为定值. (1)由题设知，椭圆1C =解得218a =∴()1F -，()2F∵椭圆1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点， ∴设双曲线2C ：()2221012x y n n -=>∴2C =212n =.∴1C ：221186x y+=2C ：2212x y -=；(2)证明：∵点E 在2C 上 ∴设()00,E x y则220012y x =-，∴122020112EF EFy k k x ⋅==-. ∴直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值1； (3)证明：设直线1EF 和2EF 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k = 设()11,F x y ，()22,G x y1EF：(1y k x =+与1C 方程联立消y 得()()22221113118210kx x k +++-=“*”则1x ，2x 是“*”的二根则()121211221182131x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩则FG =)2121131k k ++ 同理))2222112221211111131331k k k MN k k k ⎫+⎪++⎝⎭===++⋅+∴2211FG MN+== 变式2-1．已知()2222:10x y C a ba b +=>>左、右顶点分为A ，B 点围成的四边形面积为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()4,0M -作直线PQ 交椭圆C 于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ），若直线AP 和BQ 的交点为N .求证：MB AN ⋅为定值.【答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意和离心率求出2a =，b(2)设设()00,N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程，联立椭圆方程并消去x ，利用韦达定理表示出1212y y y y +、，根据直线的点斜式方程求出直线AP 、BQ ，结合平面向量的坐标表示化简计算即可. (1)由题意得：c e a =12242b c ⋅=，即a ，2bc =，又222a b c =+，则有2a =，b =则椭圆C 的标准方程为：22142x y +=.(2)由题意知：直线PQ 的斜率不为0， 设直线:4PQ x my =-， 由224,24,x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2228120m y my +-+=， 设()00,N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，则()21660m ∆=->，12282m y y m +=+，122122y y m =+. 因为()2,0A -，()2,0B ，则0612MB AN x ⋅=+.则()1212212322m my y y y m ==++①， 直线()11:22y AP y x x =++②，直线()22:22y BQ y x x =--③， 由②③得：()()1200122222y yx x x x +=-+-， 则()()()()221210212210121212112222222662y y x y my x x my y y y x y x y my my y y x +-+--====----+④ 将①代入④得：()()122001213221232362y y y x x y y y+-+==--+-，则01x =-， 则06126MB AN x ⋅=+=-.变式2-2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上的点到焦点的最大距离为方程2610x x -+=的根，离心率e 满足228a e =． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AB 的垂直平分线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：2169m k -为定值．【答案】(1)2219x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出关于a c +的等式，结合离心率c e a=，228a e =，222a b c =+，求出a ，b 的值，即得椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用根与系数的关系求12x x +，12y y +的表达式，进而得到AB 的中点M 的坐标，利用直线1PM l k k ⋅=-即可证明2169m k -为定值．(1)因为方程2610x x -+=的实数根为3±①若3a c +=+228a e =，所以28c =，即c =3a =．因为222a b c =+，所以1b =，此时椭圆C 的方程为2219x y +=；②若3a c +=-228a e =，所以28c =，即c =所以30a =-<，不符合题意，所以椭圆C 的方程为2219x y +=；(2)证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221,9,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2221918990k x mkx m +++-=．因为直线y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以()()2222324419990m k k m ∆=-⨯+⨯->，即2291m k <+，由韦达定理知1221819mk x x k +=-+，122219my y k +=+， 所以AB 的中点229,1919mkm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭．又因为AB 的中垂线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且0k ≠，所以22119219019m k k mk k ++⋅=---+， ()2222191919219m k k k mk k ⎛⎫+++⋅-⋅=- ⎪+⎝⎭，221918m k m ++=，所以21691m k -=， 所以2169m k -为定值．变式2-3．斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知点()1,P m 在抛物线C 上，过点P 作两条直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N （M ，N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与y 轴垂直，求证：MN 的斜率为定值. 【答案】(1)24y x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点差法求得p ，由此求得抛物线C 的标准方程.（2）求得P 点的坐标，设出直线,PM PN 的方程，通过联立方程求得,M N 两点的坐标，进而判断MN 的斜率为定值. (1)设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=， 21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24p p ==， 所以抛物线方程为24y x =. (2)当1x =时，2414,2y y =⨯==±，所以()1,2P ±. 不妨设()1,2P ，依题意可知直线,PM PN 的斜率存在、不为0且互为相反数，设直线PM 的斜率为k ，则直线PN 的斜率为k -， 直线PM 的方程为()21,2y k x y kx k -=-=+-， 直线PN 的方程为()21,2y k x y kx k -=--=-++，224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，解得24441,2M k k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 同理可求得24441,2N k k k ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 的斜率为224482218444411k k k k k k kk ⎛⎫-----⎪⎝⎭==-⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭，是定值.巩固练习练习一 定值问题1．已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹E 的方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A B ､两点，与圆22:20N x y y +-=交于C D ､两点（A ，C 在y 轴同侧），求证：AC DB ⋅是定值. 【答案】(1)24x y = (2)1 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义先判定动点的轨迹形状，再求其标准方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、抛物线的定义进行证明. (1)解：由题意，得动圆的圆心M 到点()0,1F 的距离等于到直线1y =-的距离，所以M 的轨迹是以点()0,1F 为焦点的抛物线，其轨迹方程为2:4E x y =；(2)解：设经过焦点F 的直线为:1l y kx =+， 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=； 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2=16(1)0k ∆，且124x x k +=，124x x =-；因为圆22:20N x y y +-=的圆心为()0,1N （即抛物线的焦点），半径为1， 由抛物线的定义，得1||1AF y =+，2||1BF y =+， 则1||||1AC AF y =-=，2||||1BD BF y =-=， 所以1212(1)(1)AC DB y y kx kx ⋅==++2221212()14411k x x k x x k k =+++=-++=，即AC DB ⋅是定值，定值是1.2．已知椭圆22:14x C y +=，下顶点为A ，不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P ，Q 两点．(1)若线段PQ 的中点为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭R ，求直线l 的斜率；(2)若l 与y 轴交于点(0,2)B ，直线,AP AQ 分别交x 轴于点M ，N ，求证：M ，N 的横坐标乘积为定值．【答案】(1)12； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设1122(,),(,)P x y Q x y ，应用点差法可得121212124()y y x xx x y y -+=--+，结合PQ 的中点R 有12122,1x x y y +=-+=，即可求直线l 的斜率；（2）设直线:2l y kx =+，联立椭圆方程应用韦达定理求12x x +、12x x ，由判别式求k 的范围，进而写出直线,AP AQ 并求M ，N 坐标，化简M N x x 即可证明结论. (1)设1122(,),(,)P x y Q x y ，由,P Q 在椭圆C 上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，即121212124()y y x x x x y y -+=--+，又PQ 的中点R11,2且R 在椭圆C 内，则12122,1x x y y +=-+=，所以直线l 的斜率为121212y yx x -=-．(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线:2l y kx =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)16120k x kx +++=． 由22(16)48(14)0k k ∆=-+>得：234k >，即k <或k >1221614k x x k -+=+，1221214x x k =+.直线AP 为1111y y x x +=-，令0y =得：111x x y =+，则11,01x M y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理得22,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以121212212121212(1)(1)(3)(3)3()9M N x xx xx xy y kx kx k x x x x k x x ===+++++++22212412489(14)3k k k ==-++，所以,M N 的横坐标乘积为定值43．3．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为4，1F ，2F 为E 的左､右焦点，M 为E 上一动点，当12MF F △的面积最大时，其内切圆半径为3b.(1)求E 的标准方程：(2)过点1F 作斜率之和为3的两条直线1l ，2l ，1l 与E 交于点A ，B ，2l 与E 交于点C ，D ，线段AB ，CD 的中点分别为P ，Q ，过点1F 作1F H PQ ⊥，垂足为H .试问：是否存在定点T ，使得线段TH 的长度为定值.【答案】(1)22143x y +=；(2)存在11,8T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，TH 为定值，证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据内切圆的半径表示出三角形的面积，结合长轴的定义即可求出a 、b ，进而求得椭圆方程；(2)设直线PQ 的方程为y kx m =+，直线AB 的方程为1(1)y k x =+，直线CD 的方程为2(1)y k x =+，由直线PQ 和直线AB 的方程求出点P 的横坐标，直线AB 联立椭圆方程，利用韦达定理，结合题意即可求出当T 为1F G 的中点时，TH 为定值. (1)设椭圆的焦距为2c ，由12MF F △的面积最大时，其内切圆半径为3b ， 得112(22)223b c b a c ⨯⨯=+⨯，化简，得12c a=， 又24a =，所以21a c ==，，所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，PQ x ⊥轴，点P 与点Q 关于x 轴对称， 则120k k +=，与题意中的123k k +=矛盾，不符合题意； 设直线PQ 的方程为y kx m =+，则直线AB 的方程为1(1)y k x =+，直线CD 的方程为2(1)y k x =+，由1(1)y k x y kx m=+⎧⎨=+⎩，得11P m k x k k -=-，由122(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222111(34)84120k x k x k +++-=，设()()1122,,A x y B x y ，，则2121214234P x x k x k +==-+， 所以2121434k k -=+11m k k k --，化简得2114()330k m k k m -+-=， 同理，2224()330k m k k m -+-=，所以12k k 、为方程24()330k m x x m -+-=的两个根， 有1234()k k k m +=--，又123k k +=，所以14k m =-，所以直线PQ 的方程为111()()(1)444y m x m m x =-+=-++，得直线PQ 过定点1(1,)4G -，又1(1,0)F -，1F H PQ ⊥，所以1F H HG ⊥， 则点H 在以1F G 为直径、以1(1,)8T -为圆心的圆上， 故点H 到圆心1(1,)8T -的距离恒为定值，即存在点1(1,)8T -为1F G 的中点时，TH 为定值.4．如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点，双曲若点A 为双曲线右支上一点，且12AF AF -=直线2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长,AD BD ，分别与双曲线Γ交于,P Q 两点.(1)若()()1122,,,A x y B x y ，求证：()1221212x y x y y y -=-； (2)若直线,AB PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k .试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为定值，7 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；（2）设直线AD 的方程为()1111y y x x =++，与双曲线联立得111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理得222234,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，由斜率公式及（1）中的结论可得结论. (1) 证明：由双曲线离心率ce a==12||||2AF AF a -=，及222c a b =+， 可得2222,2,4a b c ===，所以双曲线方程为22122x y -=，2(2,0)F .当直线AB 的斜率不存在时，122x x ==，()12212121222x y x y y y y y -=-=-，直线AB 的斜率存在时，22AF BF k k =，121222y yx x =--，整理得()1221212x y x y y y -=-， 综上所述，()1221212x y x y y y -=-成立； (2)依题意可知直线AD 的斜率存在且不为0， 设直线AD 的方程为()1111y y x x =++， 代入双曲线222x y -=并化简得：()()()2222211111210x x y x x +-+-+=，①由于22112x y -=，则22112y x =-代入①并化简得：()()22211112322340x x x x x x +----=，设00(,)P x y ，则2111013423x x x x x --=+，211100112(2)342323x x x x x x x ---+=⇒=++，代入()1111y y x x =++，得10123yy x -=+，即111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理可得222234,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，所以()()2112212121221122123232334342323y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++ ()()()212121112124377y y y y y yk x x x x -----==-⋅=--，所以217k k =是定值.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于A ，B 两点且△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍，在x 轴上是否存在一点P 使得直线l 变动时，总有直线P A 的斜率与PB 的斜率之积为定值，若存在，求出该定值及点P 的坐标；若不能，请说明理由. 【答案】(1)24y x =(2)存在，定值1-或7-，()0,0P 【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，利用点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切列方程即可求解； （2）设直线AB 的方程为x ty m =+,根据△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍，可以求出m 的值，利用韦达定理求出PA PB k k ⋅的值，由PA PB k k ⋅为定值即可判断出点P 的坐标，进而求出定值.(1)设(,)M x y ，则MF 的中点为G ,其坐标为1,22x y G +⎛⎫⎪⎝⎭，MF =G 到y 轴的距离为12x +， 则由题意可知，点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切，则|1|2x +=24y x =； (2)设直线AB 的方程为x ty m =+，由△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍可知，点O 到直线AB 的距离是点F 到直线AB 的距离的43倍，4m =或47=m ， 可知直线AB 过点(4,0)且斜率不为0, 设()()()01122,0,,,,P x A x y B x y ，则()121221020120120PA PB y y y yk k x x x x x x x x x x =⨯=---++⋅，将直线方程与抛物线方程2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩联立得2440y ty m --=， 则124y y t +=，124y y m =-，即()21212242x x t y y m t m +=++=+，()21221216y y x x m ==，故()22200442PA PB mm k t x x k m -⋅-++=，由此可知，只有当00x =时，PA PB k k ⋅才是定值， 即4PA PB k k m=-⋅， 当4m =时，1PA PB k k ⋅=-，当47=m 时，7PA PB k k =-⋅，故定点()0,0P ，定值为1-或7-. 6．已知圆1C ：()22125x y ++=，圆2C ：()2211x y -+=，动圆C 与圆1C 和圆2C 均内切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程(2)点()1,P t （0t >）为轨迹E 上的点，过点P 作两条直线与轨迹E 交于AB 两点，直线P A ，PB 的斜率互为相反数，则直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)是定值，定值为12. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义即得；（2）由题可得直线P A 的方程，联立椭圆方程可得点A 、B 横坐标，进而利用斜率公式即得.(1)由题意得()11,0C -，()21,0C .设动圆圆心C 的坐标为(),x y ，半径为r ， 则15CC r =-，21CC r =-. 从而()121244CC CC C C +=>.∴动圆圆心C 的轨迹E 是焦点为()11,0C -，()21,0C ，长轴长等于4的椭圆，且1c =，2a =. 又222a b c =+，得b =∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为22143x y +=.(2)由（1）可得31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭.设直线P A 的方程为()()3102y k x k -=-≠ 则直线PB 的方程为()312y k x -=--. 设()11,A x y ，()22,B x y .由()22312143y k x x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得()()22223412841230k x k k x k k ++-+--=， 则212412334P k k x x k --=+，即212412334k k x k--=+.（1） 同理可得222412334k k x k +-=+.（2） ∴()()()1212121212123311222ABk x k x k x x k y y kx x x x x x ⎡⎤⎡⎤+----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦===---. 将（1）（2）代入上式，化简得12AB k =. 故直线AB 的斜率为定值12.7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()04,P y 是抛物线C 上一点，点Q 是PF 的中点，且Q 到抛物线C 的淮线的距离为72． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆22:(2)4M x y -+=，圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：OA ，OB 的斜率之差的绝对值为定值． 【答案】(1)24y x =； (2)2. 【解析】 【分析】（1）根据题意即可列出等式472pp ++=，即可求出答案； （2）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB k k -=，当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 的方程为y kx b =+即点,A B 的坐标，把直线AB 与抛物线进行联立，写出韦达定理，利用到直线AB 的距离等于半径2，找到k 与b 之间的关系式，在计算OA ，OB 的斜率之差的绝对值，化简即可求出答案. (1)根据题意可列4722pp p ++=⇒= 故抛物线C 的方程为24y x =. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为4x =，(4,4),(4,4)A B -，1,1,2OA OB OA OB k k k k =-=-=. ②当直线AB 的斜率存在且不为0时，故设直线AB 的方程为y kx b =+， 圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B两点，故2214b d kb ==⇒=- 设(,),(,)A A B B A x y B x y把直线AB 的方程与抛物线进行联立2222(24)04y kx bk x kb x b y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩ 22242,A B A B kb b x x x x k k -+=⋅=.,A B OA OB A B y y k k x x ==B A A B A B A BOA OBA B A B A Bb x x y y y x x y k k x x x x x x ---=-===22bb=====.综上所述：,OA OB的斜率之差的绝对值为定值为2.8．已知双曲线2222:1Γ-=x ya b（0a>，0b>）的左、右顶点分别为()11,0A-、()21,0A，离心率为2，过点()2,0F斜率不为0的直线l与Γ交于P、Q两点．(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线1A P、2A Q的斜率分别为1k、2k，求证：12kk为定值．【答案】(1)y=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近线方程.（2）讨论l的斜率：当l k不存在求P、Q的坐标，进而可得1213kk=-；当lk存在，设()11,P x y，()22,Q x y，l为(2)y k x=-，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证1230k k+=是否成立即可. (1)设双曲线Γ的半焦距为c，由题设，1a=，2cea==，2223b c a=-=双曲线Γ的方程为2213yx-=，故渐近线方程为y=．(2)当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为()2,3和()2,3-，所以，当11k=时有23k=-；当11k=-时有23k=，此时1213kk=-，当l的斜率k存在时，设()11,P x y，()22,Q x y，l为(2)y k x=-，将直线l代入双曲线方程得()222234430--++=k x k x k，所以212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()()1212121212322331111k x k x y y k k x x x x --+=+=++-+-()()()()()()()1212123211211--++-=+-k x x x x x x ()()()()()12121212123222211--++-+-=+-k x x x x x x x x x x ()()()()12121245411-++=+-k x x x x x x因为()()()22212122443204345403+-+--++==-k k k x x x x k ，所以1230k k +=，即1213kk =-，综上，12k k 为定值，得证．。
解析几何定值问题分类解析
塞
（ ）方 法 ２用 到 了等 积 的方 法 ， 种 思想 也是 自 ２ 这
例 １ 已知椭 圆 Ｅ 的 中点 在 原 点 ， 点 在 ． 焦 ｚ轴
然 的， 为 我 们 通 常 说 “ 不 离 积” 因 高 —— 求 高 的 方 法
①
②
Ｉ ＭＮ ｊ ／ ＋尼 一 Ｊ＝ 一￣１ 。ｊ ： ＝ ＝
・ 一
或
（ｘ － ４ ｙ 一８ 。 ３ ３ ） ｙ 一８ —０ ＋２ ５ ， 设 Ａ（ Ｙ ） Ｂ（ ２Ｙ ）则 由① 、 可得 ｘ ， ｉ ， ｘ ，２ ， ②
之 一． ’
上， 其离 心 率 ｅ 一 ， 条准 线 与抛 物 线 ｚ 万 一 一 ６ ｚ的 ４
准线重合 ． （） １ 求椭 圆 Ｅ 的方 程
（ ） Ｐ、 ２设 Ｑ在椭 圆 Ｅ 上运 动 ， ０为原 点 ， ＯＰ 且 上 Ｐ Ｑ于 Ｈ ， 证 Ｉ Ｈ ｌ 求 Ｏ 为定长 ． 析 （） １ Ｅ的方程为 ： ２ ｙ Ｔ ｘ ２ 过 程 略） ．
简析
为 ． 证明
取 Ｐ（ ， ） ， 求 Ａ０ｌ一 ， 定 值 ｏ时 可 Ｂ 故
证法 １ 因为 Ｆ（／ ， ） 所 以可 设 ＭＮ 的 方 程 ￣２ ０ ，
为 Ｙ一是 ｘ ｖ２ ） 将上式 代人 ｚ 一－ 一￡得 （ － ／￡ ， 。 ｙ ，
点 Ｐ（ 。Ｙ ） 圆 ｚ ＋ 。 上 ， 以 的 ｘ ，。 在 一２ 所 （ 一是 ） １ ｌ ＋２ ／ ２ 一２ ２－ ｔ ． ｚ 、 忌 ／ Ｔ ｋ ｔ ＝０
２ 定 点 问题 例 ２ 已知 Ａ、 Ｂ是抛物 线 ＝２ 线 Ｏ 和 Ｏ 的倾 斜角 分 个 直 Ａ Ｂ
解析几何中的定值问题
类型二 角度定值
核心突破——形成解题思路
考点一 线段长度、比值定值问题
例（1 16Ⅰ文T 20节选）在直角坐标系xOy中，直线l : y t(t 0) 交y轴与点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交 C于点H。 (1)证明：OH 为定值
ON
核心突破——形成解题思路
例（2 17ⅢT 20改编）已知抛物线C：y2 2x,过点(2,0)的直线l 与C交于A, B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. (2)证明：AOB为定值.
解法总结：从特殊位置入手，求出定值，再证明 这个值与变量无关.
与角度有关的问题，常常借助于向量、斜率来进 行处理。
应用模型——以不变应万变
三定值：把得到的函数化简，消去变量得到定 值。
核心突破——形成解题思路
考点二 角度定值问题
变式(17Ⅲ20节选)已知抛物线C : y2 2x,过点(2,0)的直线l 与C交于A, B两点，圆M是以线段AB为直线的圆， 证明：坐标原点O在圆M上.
核心突破——形成解题思路
考点二 角度定值问题
重难点
(1)解题思路的获取 (2)解题方法的选择 (3)数学工具的应用
感悟真题——明确考向 （18ⅠT19节选）设椭圆C : x2 y2 1的右焦点为F，
2 过F的直线l与C交于A, B两点，M (2,0).设O为坐标原点， 证明：OMA OMB.
（18ⅢT 20节选）已知斜率为k的直线l与椭圆C : x2 y2 1交于A, B两点， 43
考点一 线段长度、比值定值问题
（变式（) 16ⅠT 20节选）设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A，直线l过 点B(1,0),且与x轴不重合，l与圆A交于C, D两点，过点B作AC 的平行线交AD于点E， (1)求证：EA EB为定值.
提分攻略十 解析几何中的7种定值问题 课件(共26张PPT)
则 y1＋y2＝－m22＋m 4， y1y2＝－m23＋4， 直线 A1P 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)， 直线 A2Q 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)， 由yy＝＝xx12yy＋－12 22xx＋ －22， ，
得x1y＋1 2(x＋2)＝x2y－2 2(x－2)， 即 x＝2·yy22xx11＋ ＋22＋ －yy11xx22－ －22 ＝2·yy22mmyy11＋ ＋33＋ －yy11mmyy22－ －11 ＝2·2my13yy2＋2＋3yy12－y1 ＝2·2m·m－23＋·3m4－＋2＋23m4m－ －2＋2y1m4＋－yy11－y1 ＝4。 所以当 m 变化时，点 S 恒在定直线 x＝4 上。
所以△AOB 的面积为定值 1。
综上，△AOB 的面积为定值 1。
类型五 数量积为定值 【例 5】 已知圆 C：x2＋(y－3)2＝4，一条动直线 l 过点 A(－1,0)与圆 C 相交于 P，Q 两点，M 是 PQ 的中点，l 与直线 m：x＋3y＋6＝0 相交于 N，探索A→M·A→N是否与直线 l 的 倾斜角有关。若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。
所以a42＋b12＝1，ac＝ 23。 又因为 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8，b2＝2， 所以椭圆 C 的方程为x82＋y22＝1。 设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，直线 PA 的斜率 kPA＝xy11－－21，直线 QA 的斜率 kQA＝xy22－－21。 因为∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在的直线关于直线 x＝2 对称。
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提分攻略十 解析几何中的7种定值问题
解析几何中的定点定值问题
my 2 4x
a
y2
4my
4a
0
16m2 16a 0
y1 y1
y2
y2
4m 4a
k1k2
1
y1 2 x1 1
y2 x2
2 1
1
4 y1 2
4 y2 2
1
y1y2 2( y1 y2 ) 12 0
4a 8m 12 0 a 2m 3
EF : x my 2m 3过定点(3,2)
B
AB:
y
2 px y1 y2
4 p2 y02 y1 y2
y0
y
y0
2 px 4 p2 2 px0 y1 y2
2 p(x 2 p x0 ) y1 y2
AB过定点(x0 2 p, y0 )
思路2：设直线AB(2字母)
代入抛物线得关键方程
A
P
k1k2=-1统一字母
O
代直线AB方程(1字母）
(二)椭圆类
例3、椭圆 x2 y2 1
4
（1）以左顶点 A 为直角顶点的 RtAMN 的顶点都在
椭圆上，则斜边 MN 过定点
M
A N
思路1：特殊化取AM:y=x+2
代入椭圆得M,N坐标(1字母)
得直线AB方程(1字母) M 猜测得定点坐标再证明 A
N
解析：A(2,0), 取AM : y x 2
解析：小题猜测：极端性，当 PA水平时 A
此时 A 在无穷远处，B(x0 , y0 ) ，直线 AB : y y0 所以定点纵坐标为 y0
P
当 AB 竖直时，设为 x t ，
O
代入抛物线方程，A(t, 2pt ),B(t, 2pt )
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。
解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OM AB k k ⋅=______ 22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，假设点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 假设M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕，则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.A B P α〔第4题〕6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=假设点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-， 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
解析几何中的定值问题分类解析
且 ｐ （ 一１ ） ［ （ ２＋ ） （ 一１ ） ＋４＋２ √ ２ ｋ ］＝
０＇ ． ． ． ＝ 一 啪 ： 一
点， 过点 Ｐ作实轴的平行线交两渐近线于
Ｑ、 Ｒ 两点 ， 试证 明 Ｉ Ｐ Ｑ １ ．Ｉ Ｐ Ｒ Ｉ 为定 值 ．
证 明 ： 设Ｐ （ Ｘ ０ ， ｙ ｏ ） 是 双 曲 线 一 号＝
河北理 科教 学研 究
问题 讨论
曲线 Ｃ的两个 焦点 ， 直 线 ： ４是 双 曲线 Ｃ
例４ （ ２ ０ ０ ５年 高考 全 国卷 工）已知 椭
圆的中心 为坐 标 原 点 ０， 焦点 在 轴 上 ， 斜
的右准线 ， ， 是双 曲线 Ｃ 的两 个 顶点 ， 点 Ｐ是 双 曲线 Ｃ的右支 上异 于 Ａ 的一个动 点， 直线 。 Ｐ， Ａ Ｐ交 双 曲线 Ｃ的右 准 线分 别于 Ｍ、 Ｎ两点 ， （ １ ） 求 双 曲线 Ｃ的方 程 ； （ ２ ）
Ｂ（ ｚ ， ， ， ｚ ） ． 贝 ０
２ ２ ２ ，２
，
＋ｘ ２＝
— — — — — — — — — —＋
— ，
：＝
１＋
Ａｌ Ｐ＝ （ ０＋２ ， Ｙ ０ ） ， Ａ ２ Ｐ＝ （ ０—２ ， Ｙ ０ ） ，
：
由Ｏ Ａ＋ Ｏ Ｂ＝ （ １＋
０ ＋ Ｄ
（
） ，
＝（ 一 ２
．
・
Ｙ ｚ ） 与 ０＝ （ ３ ， 一１ ） 共 线得 ３ （ Ｙ ＋Ｙ ） ＋（
２ 弦 的斜 率 的定值 问题 例２ 已知射 线 Ｙ ＝ （ ≥Ｏ ） 交椭
云
’ 一 ｃ — —
，
一 — — — 一
＝ ＝
高考解析几何中的定点定值问题
一、解析几何中的定点问题
解析几何中定点问题的两种解法:
(1)引进参数法：引进动点坐标或动线中系数为参数表示变化量， 再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
例1、已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A,B, 且OA⊥OB,则直线AB过定点为______. A
k 2 y k(x 2 p) y 0
AB过定点(2 p,0)
例 2.椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过 点 P1，32且离心率为12.
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不
是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点， 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
y1
y2
2 pa
0
a
0
OA OB x1x2 y1y2 0 (my1 a)(my1 a) By1y2 0
(m2 1)(2 pa) am(2 pm) a2 0 a 2 p
AB : x my 2 p过定点(2 p,0)
思路2：设直线OA，OB
A
代入抛物线解得A,B点 O
B
得直线AB方程
O B
思路1：设直线AB方程 代入抛物线得关键方程 OA⊥OB 得定点
法1：设AB : x my a( AB水平显然不适合）A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
x y
my a 2 2 px
y2
2
pmy
2
pa
ห้องสมุดไป่ตู้
0
高考数学解析几何中的定点定值定线问题
◆直线与圆锥曲线的定点、定值、定线问题一、定点问题定点问题，一般是直线系（或者曲线系）恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据曲线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线系（或者曲线系）方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.例如：（1）直线系1y kx =+中，当k 变化时，恒过定点(0,1)；（2）直线系2(1)y k x +=-中，当k 变化时，恒过定点(1,2)-；（3）已知直线1:40l x y +-=，2:270l x y +-=，则过1l ，2l 交点的直线可以设为(4)(27)0x y m x y +-++-=，即(21)(1)7m x m y m +++--=.直线系(21)(1)740m x m y m +++--=恒过1l ，2l 的交点.1．如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2.一条直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于A 、B 两点，OA OB ⊥（O 为坐标原点）.求证直线l 恒过定点，并求出定点的坐标.3.222122221223231311(0)45|PF |=3|MN|=4.(1)C a b C xC C C y C C yx yab+=>>=已知椭圆：的右焦点F 与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为P ，，圆C 的圆心T 是抛物线上的动点，圆C 与轴交于M,N 两点，且求椭圆的方程。
（2）证明：无论点T 运动到何处，圆C 恒经过椭圆上一点二、定值问题定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.例如（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值；（2）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值；（3）抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1.（4）过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，则A 、B 两点的横坐标之积为定值4221p x x =，纵坐标之积为定值y 1y 2=-p 2.；11AF BF +为定值2p . 【顺便记住)(21x x p AB ++== 2p sin 2θ.】4.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为定值，并求出此定值．5.设000(,)A x y 是曲线2:4C x y =上的一个定点，过点0A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q .证明：直线PQ 的斜率为定值.三.定直线（轨迹）问题证明动点在某一直线上（或某轨迹上）的问题，可以转化为求动点的轨迹问题，基本的方法有直接法和消参法。
解析几何复习专题六 定点定值问题
专题六 定点、定值问题知识点一、直线和曲线过定点直线或曲线方程中一定含有参数，既然过定点，那么这个方程就要对参数取任意值均成立。
所以把方程一端化为0，分离参数，化成λλ(,0),(),(=+y x g y x f 为参数）⎩⎨⎧==⇒0),(0),(y x g y x f ，解这个方程组，这个方程组的解所确定点就是直线或曲线所经过的定点。
注意：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手确定定点（定直线）然后证明即先猜后证；（2）遇到含有参数方程时，清楚方程为哪一类曲线（直线），从而观察曲线是否过定点，尤其含参方法（1（2例13。
（1线MA例2（145=，例3、椭圆方程为：13422=+y x ，其短轴端点为M 、N ，直线l 过点P （0，1）交椭圆于A 、B 两点（异于点M 、N ）证明直线AM 与直线BN 的交点的纵坐标为定值。
练习1、椭圆方程为：13422=+y x ，其长轴端点为M 、N ，直线l 过右焦点交椭圆于A 、B 两点（异于点M 、N ）证明直线AM 与直线BN 的交点的轨迹为定直线.1:1-y x l （1例4（1）点P （2）点2倍，例5、椭圆方程为：13422=+y x ，过右焦点F 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，证明：过AB 和CD 中点的直线过定点。
归纳：椭圆：)0(12222>>=+b a by a x ， ①过右焦点F 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，则过AB 和CD 中点的直线过定点)0,(222ba c a +。
②过点M （)0,m 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，则过AB 和CD 中点的直线过定点,m (222b a a +例6，证明：直线AB例7m 交例8,,21k k （1）求证：4121-=⋅k k ；（2）试探求⊿OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由。
解析几何中的定点、定值问题
解析几何中的定点、定值问题郭炜一、椭圆中的定点问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定点问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点的直线的方程；(2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过交变式、已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=1．（1）若过点C1（-1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为65，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．二、椭圆中的定值问题与椭圆有关的参数的定值问题解决方法：例3、例4、例5、 椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．例3【解答】 (1)当直线AM 的斜率为1时， 直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得：5x 2＋16x ＋12＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45.(2)设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)， 则⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为此方程有一根为－2，所以x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k2， 同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2.所以k MP ＝k PN ，M 、P 、N 三点共线，所以直线MN 过x 轴上的一个定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.例6、【解答】 (1)由题意，即可得到椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为：x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x 24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝12k 5(k 2＋4)，y 1y 2＝－6425(k 2＋4)， 又A (－2,0)， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝－64(k 2＋1)25(k 2＋4)＋4k 5·12k 5(k 2＋4)＋1625＝0， 即可得∠MAN ＝π2.。
例谈解析几何中定点和定值问题的解法
众所周知，解析几何中定值和定点问题的难度较大，常以压轴题的形式出现在各类试题中.解答解析几何中的定值和定点问题，需结合题目中所给的信息，灵活运用所学的知识，找出题目中各个参变量之间的等量关系，以消去变量；或证明定点、定值与变量无关.这类题目的综合性较强，需要灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、方程思想、分类讨论思想、设而不求思想、一般与特殊思想等来辅助解题.接下来，通过几个例题，介绍一下这两类问题的解法.一、定点问题定点问题一般是有关动直线或动圆的问题.解答这类问题的一般步骤为：（1）选取并设出合适的变量、参数，如动直线的斜率、截距，动圆方程中的参数等；（2）根据题目中给出的信息列方程，通过推理、运算得到关于定点的方程；（3）根据方程ax=b有任意实数解的充要条件a=0、b=0，建立关系式，求得定点的坐标.例1.已知四点P1(1,1),P2(0,1),P3P4中恰有三点在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过P2点，且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点.解：(1)椭圆C的方程为：x24+y2=1（过程略）；(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2；若直线l与x轴垂直，则l：x=t,t≠0，且|t|<2，此时Aæèççøt,Bæèççøt,，由k1+k2=-1,得t=2（不满足题意，舍去），设l:y=kx+m(m≠1),将其代入x24+y2=1中，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，又直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ=16(4k2-m2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2=-1，可得k=-m+12，当m>-1时，Δ>0,则l:y=-m+12x+m，即y+1=-m+12(x-2)，可知直线l过定点(2,-1).我们只需设出直线的方程，将其与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，便可根据判别式Δ>0和韦达定理，建立关系式，求得k的值，进而确定直线l的方程.最后将直线的方程化为点斜式，根据一元一次方程有任意实数解，即可求得定点的坐标.二、定值问题定值问题主要是一些几何变量，例如面积、线段的比值、斜率、距离等为定值的问题.要证明这些几何变量为定值，就需先求得目标式，然后证明该式不随某些量的变化而变化.解答定值问题，可以用特殊与一般思想，先从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；还可以直接设出变量，通过推理、计算，消去变量，得到定值.例2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q两点(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)椭圆E的方程为：x22+y2=1（过程略）；(2)设直线PQ的方程为：y=k(x-1)+1(k≠2)，将其代入椭圆的方程中得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，设P(x1,y1),Q(x2y2)，且x1x2≠0，则x1+x2=4k(k-1)2k2+1,x1x2=2k(k-2)2k2+1，可得k AP+k AQ=y1+1x1+y2+1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2，则直线AP与AQ的斜率之和为2.先联立椭圆和直线的方程，再根据韦达定理得到交点的坐标的关系式，进而通过恒等变换，消去参数k，得到定值.对于这类有关直线与圆锥曲线的定值问题，都需通过联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理进行化简，才能得到定值.求解解析几何中的定值或者定点问题，都要在动点、动直线、动曲线变化的过程中寻找到不变的量，我们要根据已知信息，尽量找到更多的等量关系，以消去变量，得到定值.（作者单位：江苏省沭阳高级中学）探索探索与与研研究究55。
高考数学压轴题及答案：解析几何中的定值问题
高考数学压轴题及答案：解析几何中的定值问题1500字高考数学压轴题及答案：解析几何中的定值问题解析几何是高考数学中的一个重要章节，涉及到直线、平面、圆、曲线等几何图形的性质和相关定理。
在解析几何中，定值问题是一类常见的问题，它要求在满足一定条件下确定某个几何图形的具体位置或性质。
下面我们就来看一道典型的解析几何定值问题。
【题目】已知平面上有一个圆O，其圆心坐标为(-5, 3)，过点A(8, -4)的直线与圆O交于点B和点C。
若点A与点B的距离为6，点A与点C的距离为10，则圆O的半径为多少？【思路与解答】解析几何的定值问题通常需要通过建立坐标系来解决。
首先，我们可以建立直角坐标系，以点A为原点，建立平面直角坐标系xOy。
由于圆O的圆心坐标为(-5, 3)，我们可以据此求得点O在坐标系中的位置。
由题意可知，直线AB与圆O相交于点B，根据垂径定理，我们可以得知点B到圆心O 的距离和圆O的半径是相等的。
设圆O的半径为r，则直线AB的斜率为k1 = -4/8 = -1/2。
设点C的坐标为(x, y)，则直线AC的斜率为k2 = (y - (-4))/(x - 8) = (y + 4)/(x - 8)。
由于直线AC与圆O相交于点C，根据切径垂直定理可知直线AC的斜率k2与直线BC 的斜率k1的乘积为-1。
即 k1 * k2 = -1。
将k1和k2带入上式，可以得到 (-1/2) * ((y + 4)/(x - 8)) = -1。
通过求解上式，我们可以得到点C的坐标为 (x, y) = (2, -4)。
使用两点之间的距离公式，可以得到点B与点O之间的距离 d1 = OB = √[(-5 - 2)^2 + (3 - (-4))^2] = √(49 + 49) = √98。
同时，使用两点之间的距离公式，可以得到点C与点O之间的距离 d2 = OC = √[(-5 - 2)^2 + (3 - (-4))^2] = √(49 + 49) = √98。
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题。
求定值问题常见的方法有两种：（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
例题1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。
（1） 求椭圆的离心率；（2） 设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值。
例题2 已知，椭圆C过点A（1，3），两个焦点为（-1,0），（1,0）2（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
同步练习：1. 已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若'F 为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足'||||MF e MF =，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P（2,0）为定点。
（1）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；（2）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y 轴的两个交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。
圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。
三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。
四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。
解析几何中定点定值问题
O
2
2
Q
A
x
Q'
y
P' M
P
O
Q
A
x
Q'
由题意， P(－a,0),Q(a,0),设 M(x0,y0),直线 PM、 MQ y0 y0 y02 的斜率分别为 k1，k2,k1k2= . = 2 2,（*） x0+a x0－a x0 －a x0 y0 x0 2 2 ∵ 2 ＋ 2 ＝1,∴y0 =b (1－ 2 ),代入（*）化简得: a b a b k1k2=－ 2． a
策略二
设直线PM和MQ方程
（斜率k1， k2）
求点P′、Q′坐标
写出圆C方程
寻找定点
解：设直线 PM、MQ 的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2＝－1， 直线 PM 的方程为 y＝k1(x＋1)，令 x＝3，则点 P′(3，4k1)， 直线 MQ 的方程为 y＝k2(x－1)，令 x＝3，则点 Q′(3，2k2)， 以 P′Q′为直径的圆的方程为: (x－3)(x－3)＋(y－4k1)(y－2k2)＝0， 1 即(x－3) ＋y －8－2(2k1－ )y＝0. k2
2 2
令 y＝0， 得 x＝3± 2 2， 所以圆 C 经过定点，定点坐标为(3± 2 2，0).
探究一
4t 2t 解法一：P′(3， ),Q′(3， ), s＋ 1 s－ 1 解法二：P′(3，4k1)，Q′(3，2k2).
4t 2t 8t2 y1 y2= = 2 =－8. s＋ 1 s－ 1 s － 1
题意分析
（1）“动因”是什么？ （2）“恒成立”的式 子是什么？ （3）如何寻找定点？
制定策略
设点M坐标
写出直线PM和MQ方程
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题
在几何中，定值问题的概念可以说是比较复杂的，即让学生得出正确的结果，必须要综合运用几何中的相关规则，同时考虑到当前就件事物的特殊因素，就是找到合适的方法来应对定值问题。
通常情况下，定值问题应用程序能够帮助学生们更好地理解几何要素，例如形状、大小、位置、形状变换，以及复杂变化中相互联系的因素之间的关系。
比如：三角形中角度的和是180°，一个正三角形的边长之和两倍角的内锥角的余弦。
此外，如果学生了解几何概念的相关例子，他们可以学习到如何应用它们来解决定值问题。
此外，高级学生可以使用形式化几何学方法来解决定值问题，比如用符号表示变量和方程组，利用形式推理证明定值问题的结论，以及计算和联系多个变量的结果的方法。
总的来说，解决定值问题取决于学生的专业能力，只有具备了相应的几何知识和技巧，才有可能在学习定值问题的过程中取得成功。
当然，学生在尝试解决定值问题时，也可以借助一些常用解决方法，如试探法和排除法等。
此外，学生可以通过分析几何规定，应用化简、变换和复合算法等解决定值问题。
因此，几何定值问题不仅需要学生具备几何知识，而且还需要有一定的创新能力，以帮助学生在运用固定的解决方案之外，能够尝试发挥独特的想象力，实现几何知识的拓展与应用，实现几何定值问题的极致解决。
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题定值问题是解析几何常见题型，是备受关注的焦点之一，它体现了动与静的完美统一，其内容丰富，综合性较强，因而趣味性也较强。
下举例谈谈这类问题的常见类型及求解策略。
一、弦长比值型 例 1：双曲线222222b a y a x b =-的离心率为 e （e>0），PQ 为过焦点 F 而不垂直于 F 所在的对称轴的弦，且 PQ 的中垂线交 x 轴于 R ，求证：||||FR PQ 为定值。
证明:设F （－c ，0）为双曲线方程的一个焦点，弦 PQ 过 F 且中点为 M ，设 P ，Q 两点坐标分别为),(),,(2211y x y x PQ 所在直线方程为 y=k(x+c)。
联立方程222222ba ya xb =-及y=k(x+c)消去y 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-=+⇒=----222222222122222212222222222222022)(k a b b a c k a x x k a b ck a x x ba c k a cx k a x k ab ,从而弦PQ 的中点M 的坐标为),(222222222ka b kc b ka b c k a --,直线MR 的方程为:222322222222220)(1ka b ck x ，y ka b c k a x kka b kc b y R -==---=--得，令。
故||)1(2||1||,||)1(||||222222122222222232ka b k ak x x kPQ k a b k c k c ka b ck FR -+=-+=-+=+-=因此ec a k c k k a k FR PQ 22)1()1(2||||2222==++=。
即证：||||FR PQ 为定值e2点评：一般地，圆锥曲线的离心率为 e （e>0），PQ 为过焦点 F 而不垂直于 F 所在的对称轴的弦，且 PQ 的中垂线交 x 轴于 R ，则必有eFR PQ 2||||=。
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1、已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，和到直线5
8
y =-
距离相等的点的轨迹. l 是过点(10)Q -，的直线,M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥,MB x ⊥轴（如图）.
(Ⅰ）求曲线C 的方程； (Ⅱ)求出直线l 的方程，使得
2
QB
QA
为常数．
(Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点,则
||NP =N 到直线5
8
y =-的距离为58y +．
58y =+.
化简,得曲线C 的方程为2
1()2
y x x =
+. （Ⅱ)设22x x M x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭，,直线:l y kx k =+,则()B x kx k +，，从而
||1|QB x +.
过Q (1
0)-，垂直于l 的直线11
:(1)l y x k
=-+． 因为||||QA MH =，所以2
||1
QA k
=
+，
2||1
2||QB x QA x k
+=+．
当2k =时,
2
||||
QB QA =从而所求直线
l 方程为220x y -+=．
y
2=4y
2、设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .
(１）求点P 的轨迹方程;
(2）设圆M 过A (0,2),且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦,试探究当
M 运动时，弦长EG 是否为定值?为什么?
解:（1)依题意知,动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线C 是以原
点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分
∵
12
p
= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2
4x y =………4分
（2)设圆的圆心为(,)M a b ,∵圆M 过A (0,2),
∴圆的方程为 2
2
2
2
()()(2)x a y b a b -+-=+- 令0y =得：2
2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ,2(,0)x
方法1:不妨设12
x x >，由求根公式得
1
x =2
x =…………………………10分
∴12x x -=
又∵点(,)M a b 在抛物线2
4x y =
上,∴2
4a b =，
∴ 124x x -==，即EG ＝4--－--------－---------－-－-------－－-－－－－－－-----－----－-－---１3分
∴当M 运动时,弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法２：∵122x x a +=，1244x x b ⋅=- ∴
22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+
又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2
4a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -=
∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕
3、设12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点
(1)设椭圆C
上的点到12,F F 两点距离之和等于4,写出椭圆Ｃ的方程和焦点坐标
（2)设K 是(1）中所得椭圆上的动点,求线段1KF 的中点Ｂ的轨迹方程
（３）设点P 是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线L 与椭圆相交于Ｍ，Ｎ两点，当直线
PM ，ＰN 的斜率都存在,并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线Ｌ有
关，并证明你的结论。
[解］：（1)
由于点在椭圆上
22
21b = －--－--1分 2a =4， ----－－2分
椭圆C 的方程为 22
143
x y +=--－----－3分
焦点坐标分别为(-１,0) ，(1，0）－-－－--－-－－-4分
（2)设1KF 的中点为Ｂ（x, y ）则点(21,2)K x y +------－-6分
把K 的坐标代入椭圆22
1
43x y +=中得22
(21)(2)1
43
x y ++=-----8分
线段1KF 的中点Ｂ的轨迹方程为2
21()132
4
y x ++=－-－－--－－--10分
（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M,N 关于坐标原点对称
设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y -- ----１1分
,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程,得2222
00222211x y x y a b a b
+=+=，--－－--12分
PM PN y y y y k K x x x x -+==
-+-----－－-－--－-------13分
PM
PN k K ⋅＝22
00022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=2
2b a
---－--------15分
故：PM PN k K ⋅的值与点Ｐ的位置无关,同时与直线L 无关,－-－-－16分
4、已知抛物线D 的顶点是椭圆13
42
2=+y x 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. (１)求抛物线D 的方程;
（2)已知动直线l 过点()0,4P ,交抛物线D 于A 、B 两点.
()i 若直线l 的斜率为1,求AB 的长;
()ii 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如果存
在,求出m 的方程;如果不存在，说明理由.
解:(１)由题意,可设抛物线方程为()022
>=p px y . …………1分
由1342
2=-=-b a ，得1=c ． …………2分
∴抛物线的焦点为()0,1,2=∴p . …………３分 ∴抛物线D 的方程为x y 42=． …………４分
(２）设()11,y x A ，()22,y x B . …………5分
()i 直线l 的方程为：4-=x y ，
…………6分
联立⎩⎨⎧=-=x
y x y 442,整理得：016122
=+-x x …………7分
AB ∴=()212
2124[)11(x x x x -++104=．…………9分。