连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布

（一）连续型随机变量及其概率密度函数

1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于

任意的实数 x，有F ( x)x

f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量，

的概率密度函数，简称概率密度。

注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。

2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。

1) f( x)≥ 0

+

f ( x) dx = 1

2) ò-x

2

3)P{x

1 < X ? x

2

}òx1

f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 )

特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0.

（但 { X=x} 并不一定是不可能事件）

因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X

4）若 f(x)在点 x 处连续，则 F (x) f (x).

分布函数性质

i) 0≤x)F(≤1；

ii)F(- ∞ )=0,F(+∞ )=1；

ⅲ) 当 x1≤x2时， F(x1) ≤ F(x2)；（单调性）

iv)F(x)是连续函数

注： iv) 与离散型随机变量不同，

离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。

例1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=A+B arctanx,

求（ 1）系数 A， B（2）P(-1

分析：主要是应用分布函数的性质。

解（ 1）由 F(- ∞)=0,F(+ ∞)=1得

A B0A1

2

2解之，得

1

A B1B

2

11

（ 2）由 (1)知 F(x)=arctan x,

2

基本内容备注

故得 P （ -1

1

arctan1- (1 + 1

arctan(- 1))

2

p 2 p

=

1 p - 1

(- p

) = 1

p 4 p 4 2

￠

1 (- ?

x < +

)

(3) f(x) = F ( x) =

p(1+ x 2 )

ì - 3x

? , x > 0, 例 2

设随机变量 X 的概率密度为

?ke

试确定常数 f (x) = í

?

x ￡0,

?0,

k ，并求其分布函数

F(x)和 P{X>0.1}.

+

f (x) dx = 1

得

解： 由

ò-

+ ? f (x) dx =

f ( x)dx +

f (x)dx =

+

ke - 3x dx = k / 3 = 1,

蝌

-?

ò

k = 3.

ì

- 3x

>

?

, x 0,

f (x) =

?3e

í

?

x ￡ 0.

?0,

当 x ￡ 0 时， F (x )

x

0dt

x

当 x > 0 时， F (x) =

蝌-

0dt +

3e - 3t dt = 1- e - 3 x

ì

- 3x

>

? -

e

, x 0,

于是，

?

1

F(x) = í

?

x ￡0.

?0,

P{X > 0.1} = 1- P{X ? 1}

1- F (1)= 1-

(1- e - 0.3 ) = e - 0.3 = 0.7408.

（二）正态分布

（ 1）设随机变量 X 的概率密度函数为

1

(x

) 2

f(x)

e

2 2

,

x ,

2

其中 , ( 0) 为常数，则称

X 为服从参数为

, 的正 态分布，记作

X ~N(

,

2

). 其图象为（右图） 。其中： 称为位置参数，

f (x) 的图形

关于 x

对称， 影响 f (x)

的最大值及曲线的形状。分布函数为

基 本 内 容

备 注

x

1 (t

)2

F (x)

e 2 2

dt 。

2

性质：

1.曲线关于 x

对称，这表明对于任意

h 0 有 P{ -h

X } P{X

h}.

2.当 x

时， f ( x)取到最大值： f(

1 .

)

2

（ 2）标准正态分布

特别地，当

0, 1 时，称 X 服从标准正态分布，

记为 X ~ N (0,1). 相应的概率密度函数和分布函数分别记为

1 x 2

1 t 2

(x)

2 ，

x

e (x)

e 2

dt.

2

2π

易知

( x) 1 (x) 。

(x) 即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。

例 3 设随机变量 X~N(0,1) ，查表计算：

(1) P(X ≤ 2.5)； (2) P(X>2.5) ； (3) P(|X|<2.5).

解 (1) P(X ≤ 2.5) = Φ(2.5) =0.993790

(2) P(X>2.5) =1- P(X ≤ 2.5) =1- Φ(2.5) =0.006210 (3)

P(|X|<2.5) =P(-2.5

=2×0.993790-1 =0.987580

引理

若 X~N( , 2),则 Z

X ~ N (0,1).

X -

证

Z 的分布函数为

X

1

(t ) 2

P{ Z x}

P{ x}

P{ X

x}

x 2

2

e 2

dt ，

令

t

1 x

u 2

X

u ，得

e 2

du

( x)，可知 Z

~ N (0,1).

2

基 本 内 容

备 注