连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布（一）连续型随机变量及其概率密度函数1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于任意的实数 x，有F ( x)xf(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量，的概率密度函数，简称概率密度。

注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。

2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。

1) f( x)≥ 0+f ( x) dx = 12) ò-x23)P{x1 < X ? x2}òx1f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 )特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0.（但 { X=x} 并不一定是不可能事件）因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X<b)= P( a≤ X<b) = P( a< X ≤b)=F(b)-F( a)4）若 f(x)在点 x 处连续，则 F (x) f (x).分布函数性质i) 0≤x)F(≤1；ii)F(- ∞ )=0,F(+∞ )=1；ⅲ) 当 x1≤x2时， F(x1) ≤ F(x2)；（单调性）iv)F(x)是连续函数注： iv) 与离散型随机变量不同，离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。

例1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=A+B arctanx,求（ 1）系数 A， B（2）P(-1<X<1)；（3）密度函数f( x)分析：主要是应用分布函数的性质。

解（ 1）由 F(- ∞)=0,F(+ ∞)=1得A B0A122解之，得1A B1B211（ 2）由 (1)知 F(x)=arctan x,2基本内容备注故得 P （ -1<X<1 ）=F(1)-F(-1) = 1 +1arctan1- (1 + 1arctan(- 1))2p 2 p=1 p - 1(- p) = 1p 4 p 4 2￠1 (- ?x < +)(3) f(x) = F ( x) =p(1+ x 2 )ì - 3x? , x > 0, 例 2设随机变量 X 的概率密度为?ke试确定常数 f (x) = í?x ￡0,?0,k ，并求其分布函数F(x)和 P{X>0.1}.+f (x) dx = 1得解： 由ò-+ ? f (x) dx =f ( x)dx +f (x)dx =+ke - 3x dx = k / 3 = 1,蝌-?òk = 3.ì- 3x>?, x 0,f (x) =?3eí?x ￡ 0.?0,当 x ￡ 0 时， F (x )x0dtx当 x > 0 时， F (x) =蝌-0dt +3e - 3t dt = 1- e - 3 xì- 3x>? -e, x 0,于是，?1F(x) = í?x ￡0.?0,P{X > 0.1} = 1- P{X ? 1}1- F (1)= 1-(1- e - 0.3 ) = e - 0.3 = 0.7408.（二）正态分布（ 1）设随机变量 X 的概率密度函数为1(x) 2f(x)e2 2,x ,2其中 , ( 0) 为常数，则称X 为服从参数为, 的正 态分布，记作X ~N(,2). 其图象为（右图） 。

其中： 称为位置参数，f (x) 的图形关于 x对称， 影响 f (x)的最大值及曲线的形状。

分布函数为基 本 内 容备 注x1 (t)2F (x)e 2 2dt 。

2性质：1.曲线关于 x对称，这表明对于任意h 0 有 P{ -hX } P{Xh}.2.当 x时， f ( x)取到最大值： f(1 .)2（ 2）标准正态分布特别地，当0, 1 时，称 X 服从标准正态分布，记为 X ~ N (0,1). 相应的概率密度函数和分布函数分别记为1 x 21 t 2(x)2 ，xe (x)e 2dt.22π易知( x) 1 (x) 。

(x) 即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。

例 3 设随机变量 X~N(0,1) ，查表计算：(1) P(X ≤ 2.5)； (2) P(X>2.5) ； (3) P(|X|<2.5).解 (1) P(X ≤ 2.5) = Φ(2.5) =0.993790(2) P(X>2.5) =1- P(X ≤ 2.5) =1- Φ(2.5) =0.006210 (3)P(|X|<2.5) =P(-2.5<X<2.5) = Φ (2.5)- Φ (-2.5) =2 Φ (2.5)-1=2×0.993790-1 =0.987580引理若 X~N( , 2),则 ZX ~ N (0,1).X -证Z 的分布函数为X1(t ) 2P{ Z x}P{ x}P{ Xx}x 22e 2dt ，令t1 xu 2Xu ，得e 2du( x)，可知 Z~ N (0,1).2基 本 内 容备 注于是，若 X ~ N(, 2 )，则它的分布函数 F (x) 可写成：F (x) P{ X x}P{Xx}(x).对于任意区间(x 1 ,x 2 ]，，有P{x 1 X x 2}P{x1X x 2}(x2)(x1).注： 可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。

例如，设 X~N(1,4) ，则P{0 X 1.6}P{1 X 1 1.6 1}2 2 21.6 10 1(0.3)(0.5) 0.6179 [1(0.5)]220.6179 1 0.6915 0.3094.例 4 设某商店出售的白糖每包的标准全是500 克 ,设每包重量X( 以克计 )是随机变量 ,X~N(500,25), 求 :(1) 随机抽查一包 , 其重量大于 510 克的概率 ; (2) 随机抽查一包 , 其重量与标准重量之差的绝对值在8 克之内的概率 ;(3) 求常数 C,使每包的重量小于 C 的概率为 0.05。

解 : (1)P{ X510} 1 P{ X510} 1(510500)51(2) 1 0.9772 0.0228 (2) P{| X500 | 8}P{492 X508}508500 492 500()(5)5(1.6) ( 1.6) 2 (1.6) 1 2 0.9452-1 0.8904(3) 求常数 C ，使之满足 P{X<C}=0.05, 即C-500() 0.055由于 ( 1.645)0.05, 即C-5001.645, 得 C491.775.5例 5 某重点大学招收研究生 800 人，按考试成绩从高分至低分依次录取。

设报考该大学的考生共 3000 人，且考试成绩服从正态分布， 已知这些考生中成绩在 600 分以上的有 200 人，重点线（ 500 分）以下的 2075 人 , 问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？分析设学生考试成绩 X~N(,2) ，首先应求出及2之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。

解设学生成绩 X~N(,2)，由题设知应有P( X600) 200 0.06673000P( X500)2075 0.69173000从而得 1 ( 600) 0.0667,( 500 ) 0.6917即 (600) 0.9333 以及( 500)0.69176001.5450查表得解之得5001000.5故知， X~N( 450,1002 )又设该大学实录线为a ，由题设知：P( Xa)800 0.2667 即 1( a 450) 0.26673000100于是可得(a450 ) 0.7333100查表得a 450 0.623, 解之得 a512.3.100即是说该大学的实录线约为512 分。

（三） 对数正态分布定义： 若随机变量 X 的概率密度函数为1 (ln x )2f ( x)2 x e22其中，，0 为常数，则称X 服从参数为和的对数正态分布，记作X ~LN( ,2).对数正态分布的分布函数为x F ( x)1(ln t)2e 22dt x 0 2t若X ~LN( , 2),则P{ x1 X x2}(ln x2ln x1))(（四） Weibull 分布定义：若随机变量X 的概率密度函数为m (x ( x)mf ( x))m 1 e x0x其中， m,,0 为常数，则称X 服从参数为m, ,的 Weibull 分布，记作X ~ W (m, ,).Weibull 分布的分布函数为x m(t )m( x )mF (x))m 1e dt 1 e( x)(tm ——形状参数——位置参数——尺度参数Weibull 分布概括了许多典型的分布。

本次课小结：介绍了连续型随机变量的概念 , 连续型随机变量概率密度函数的概念及其性质 . 介绍了几种常见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布。