matlab中的最小二乘法拟合指数函数(人口问题)
matlab曲线拟合人口增长模型及其数量预测
实验目的[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；[2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解其中的数学模型；[4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。
应用实验（或综合实验）一、实验内容从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：表综2.1年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×106)3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×106)31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 193019401950196019701980人口(×106)123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。
二、问题分析1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。
记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(d d x x rxtx2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(d d xx x x rx t xm三、数学模型的建立与求解根据Malthus 模型的基本假设，和Logistic 模型，我们可以分别求得微分方程的解析解，y1=x0*exp(r*x);y2= xm/(1+x0*exp(-r*x))对于1790—1980年间美国每隔10年的人口记录，分别用matlab 工具箱中非线性拟合函数的命令作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit 进行拟合，检验结果进一步讨论模型的改进，预测美国2010年的人口数量。
matlab最小二乘法数据拟合函数详解
matlab最⼩⼆乘法数据拟合函数详解定义：最⼩⼆乘法（⼜称最⼩平⽅法）是⼀种数学优化技术。
它通过最⼩化误差的平⽅和寻找数据的最佳函数匹配。
利⽤最⼩⼆乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平⽅和为最⼩。
最⼩⼆乘法还可⽤于曲线拟合。
其他⼀些优化问题也可通过最⼩化能量或最⼤化熵⽤最⼩⼆乘法来表达。
最⼩⼆乘法原理：在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到⼀系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直⾓坐标系中，若发现这些点在⼀条直线附近，可以令这条直线⽅程如（式1-1）。
Yj= a0 + a1 X （式1-1)，其中：a0、a1 是任意实数。
matlab中⽤最⼩⼆乘拟合的常⽤函数有polyfit（多项式拟合）、nlinfit（⾮线性拟合）以及regress（多元线性回归）。
⾃变量有2个或以上时，应变量⼀个，可以使⽤的有nlinfit和regress，线性时⽤regress，⾮线性时⽤nlinfit。
对于进阶matlab使⽤者还有更多的选择，如拟合⼯具箱、fit函数、interp系列插值拟合等等。
MATLAB中关于最⼩⼆乘法的函数主要有：help polyfit -- POLYFIT Fit polynomial to data.help lsqcurvefit -- LSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.help lsqnonlin -- LSQNONLIN solves non-linear least squares problems.help nlinfit -- NLINFIT Nonlinear least-squares regression.help regress -- REGRESS Multiple linear regression using least squares.help meshgrid -- MESHGRID X and Y arrays for 3-D plots.本⽂主要讲解的函数：polyfit，lsqcurvefit，lsqnonlin，regress1.多项式曲线拟合:polyfit1.1 常见拟合曲线直线： y=a0X+a1多项式：，⼀般次数不易过⾼2，3双曲线： y=a0/x+a1指数曲线： y=a*e^b1.2 matlab中函数P=polyfit(x,y,n)[P S mu]=polyfit(x,y,n)polyval（P，t）：返回n次多项式在t处的值注：其中x y已知数据点向量分别表⽰横纵坐标，n为拟合多项式的次数，结果返回：P-返回n次拟合多项式系数从⾼到低依次存放于向量P中，S-包含三个值其中normr是残差平⽅和，mu-包含两个值 mean（x）均值，std（x）标准差。
Matlab最小二乘法拟合笔记
最小二乘法拟合在科学实验的统计方法研究中,往往要从一组实验数据中寻找出自变量x 和因变量y之间的函数关系y=f(x) 。
由于观测数据往往不够准确，因此并不要求y=f(x)经过所有的点,而只要求在给定点上误差按照某种标准达到最小，通常采用欧氏范数作为误差量度的标准。
这就是所谓的最小二乘法。
在MATLAB中实现最小二乘法拟合通常采用polyfit函数进行。
函数polyfit是指用一个多项式函数来对已知数据进行拟合，我们以下列数据为例介绍这个函数的用法：>> x=0:0.1:1；>> y=[ -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2 ]为了使用polyfit，首先必须指定我们希望以多少阶多项式对以上数据进行拟合，如果我们指定一阶多项式，结果为线性近似，通常称为线性回归。
我们选择二阶多项式进行拟合。
>> P= polyfit (x, y, 2)P=-9.8108 20.1293 -0.0317函数返回的是一个多项式系数的行向量，写成多项式形式为：为了比较拟合结果，我们绘制两者的图形：>> xi=linspace (0, 1, 100); %绘图的X-轴数据。
>> Z=polyval (p, xi); %得到多项式在数据点处的值。
当然，我们也可以选择更高幂次的多项式进行拟合，如10阶：>> p=polyfit (x, y, 10);>> xi=linspace (0, 1,100);>> z=ployval (p, xi);读者可以上机绘图进行比较，曲线在数据点附近更加接近数据点的测量值了，但从整体上来说，曲线波动比较大，并不一定适合实际使用的需要，所以在进行高阶曲线拟合时，“越高越好”的观点不一定对的。
Matlab最小二乘法曲线拟合
之阳早格格创做最小两乘法正在直线拟合中比较一致.拟合的模型主要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对付数线性型6.下斯函数型......普遍对付于LS问题，常常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或者劣化工具箱提供的极小化函数供解.正在Matlab中，直线拟合工具箱也提供了直线拟合的图形界里支配.正在下令提示符后键进：cftool，即可根据数据，采用适合的拟合模型.“\”下令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.最先修坐安排矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2];实止：para=X\ypara中包罗了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;那种要领对付于系数是线性的模型也符合.2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)安排矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];para=X\y3.多沉返回(乘积返回)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x战t是预测变量，y是赞同变量.安排矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！para=X\y polyfit函数polyfit函数没有需要输进安排矩阵，正在参数预计中，polyfit会根据输进的数据死成安排矩阵.1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2p=polyfit(x,y,2)而后不妨使用polyval正在t 处预测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数不妨给出置疑区间.[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包罗了尺度好[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %依照拟合模型正在t处预测正在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也符合假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是劣化工具箱的极小化函数.LS问题的基础思维便是残好的仄圆战(一种范数，由此，LS爆收了许多应用)最小，果此不妨利用fminsearch函数举止直线拟合.假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)最先修坐函数，不妨通过m文献或者函数句柄修坐：x=[......]';y=[......]';f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %注理念量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c;%不妨根据需要采用是可劣化参数%opt=options()p0=ones(3,1);%初值para=fminsearch(@(p) (y-f(p,x)).^2,p0) %不妨输出Hessian矩阵res=y-f(para,x)%拟合残好直线拟合工具箱提供了很多拟合函数，对付大样本场合比较灵验！非线性拟合nlinfit函数clear all;x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]';x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]';x=[x1 x2];y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]';f=@(p,x) 2.350176*p(1)*(1-1/p(2))*(1-(1-x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^(-1/p(2))-1).^(-p(2)).*x(:,1).^(-1/p(2)-0.5).*x(:,2);p0=[80.5]';opt=optimset('TolFun',1e-3,'TolX',1e-3);%[pR]=nlinfit(x,y,f,p0,opt) 例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子直线型例子的一个例子1900-2000年的总人心情况的直线拟合clear all;close all;%cftool提供了可视化的直线拟合！t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]';y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]';%t太大，以t的幂动做基函数会引导安排矩阵尺度太好，列变量险些线性相依.变更为[-1 1]上s=(t-1950)/50;%plot(s,y,'ro');%返回线：y=a+bxmx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y );b=r*sy/sx;a=my-b*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,[1 2])plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%title('多项式拟合');set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));%holdon;n=4;PreYear=[2010 2015 2020];%预测年份tPreYear=(PreYear-1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y));delta=zeros(si ze(Y));PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(Pre Po));for i=1:n [p S(i)]=polyfit(s,y,i); [Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y [PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%预测res(:,i)=y-Y(:,i);%残好end% plot(s,Y);%2009a自动增加分歧颜色% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)% plot(tPreYear,PrePo,'>');% hold off% plot(Y,res,'o');%残好图r=corr(s,Y).^2 %R^2%拟合缺点预计CIYearAdd=[t;PreYear'];tYearAdd=[s;tPreYear'];CFtit={'一阶拟合','两阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'};for col=1:n subplot(3,2,col+2); plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g-');%本初数据战拟合数据legend('Original','Fitted',2); hold on; plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CI plot(s,Y(:,col)-2*delta(:,col),'r:'); plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%预测值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%预测95% CI plot(tPreYear,PrePo(:,col)-2*Predelta(:,col)); axis([-1.2 1.8 0 400]); set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',Ye arAdd)); title(CFtit{col}); hold off;endfigure;%残好图for col=1:n subplot(2,2,col); plot(Y(:,i),res(:,i),'o');end一个非线性的应用例子(多元情况)正在百度知讲中，要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3%注：不过动做应用，模型纷歧定精确！！！%x2=x3!!!y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]'; x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]'; x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x=[x1 x2 x3]; f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6);p0=ones(6,1); p=fminsearch(@(p)sum(y-f(p,x)).^2,p0) res=y-f(p,x); res2=res.^2 %波折的模型。
Matlab最小二乘法曲线拟合
最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。
拟合的模型主要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型......一般对于LS问题，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或优化工具箱提供的极小化函数求解。
在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。
在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。
“\”命令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2];执行：para=X\ypara中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;这种方法对于系数是线性的模型也适应。
2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)设计矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];para=X\y3.多重回归(乘积回归)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是预测变量，y是响应变量。
设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！para=X\ypolyfit函数polyfit函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵。
1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2p=polyfit(x,y,2)然后可以使用polyval在t处预测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数可以给出置信区间。
[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了标准差[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处预测在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也适应假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是优化工具箱的极小化函数。
matlab拟合最小二乘法
Ja31 = 49967500*a1 + 1089000*a2 + 25300*a3 + 660*a4 - 27131/100000
Ja41 = 1089000*a1 + 25300*a2 + 660*a3 + 24*a4 - 3987/500000 解线性方程组 Ja11 =0，Ja21 =0，Ja31 =0，Ja41 =0，输入下列程序 >> A=[117186437500, 2386725000,49967500,1089000; 2386725000, 49967500, 1089000,25300; 49967500,1089000,25300, 660; 1089000, 25300, 660,24]; B=[274377591928296252150123/576460752303423488000,31331074233255294718193/28823 03761517117440000,7819978335372091569501/28823037615171174400000, 2298349019433749545307/288230376151711744000000]; C=B/A, f=poly2sym(C) 运行即可得 C= 1.0e-004 * 0.0000 -0.0052 0.2634 0.0178
J= 58593218750*a1^2 + 2386725000*a1*a2 + 49967500*a1*a3 + 1089000*a1*a4 (274377591928296252150123*a1)/576460752303423488000 + 24983750*a2^2 + 1089000*a2*a3 + 25300*a2*a4 - (31331074233255294718193*a2)/2882303761517117440000 + 12650*a3^2 + 660*a3*a4 - (7819978335372091569501*a3)/28823037615171174400000 + 12*a4^2 (2298349019433749545307*a4)/288230376151711744000000 + 520374483464852566590953249225508026224249/33230699894622896822595176507008614 4000000000000 四、求 a1、a2、a3、a4 使 J 达到最小，分别对 a1、a2、a3、a4 求偏导数，使之等于 0 程序如下 syms a1 a2 a3 a4 J=58593218750*a1^2+2386725000*a1*a2+49967500*a1*a3+1089000*a1*a4-(2743775919282 96252150123*a1)/576460752303423488000+24983750*a2^2+1089000*a2*a3 + 25300*a2*a4 (31331074233255294718193*a2)/2882303761517117440000+12650*a3^2+660*a3*a4-(781997 8335372091569501*a3)/28823037615171174400000+12*a4^2-(2298349019433749545307*a4) /288230376151711744000000+520374483464852566590953249225508026224249/332306998 946228968225951765070086144000000000000 Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja3=diff(J,a3); Ja4=diff(J,a4); Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3), Ja41=simple(Ja4) 运行得
用MATLAB求解人口模型问题
用MATLAB 或Excel通过曲线拟合估计模型参数目的：（1）掌握利用Matlab估计模型参数的一些方法；（2）掌握利用Excel估计模型参数的一些方法。
方法：（1）在Matlab中，最小二乘曲线拟合（lsqcurvefit函数）、多项式拟合（polyfit函数）、曲线拟合攻击（cftool）。
（2）在Excel中，插入图表并添加趋势线。
练习题目：请用Matlab或Excel完成以下模型的参数估计问题，将相关命令、程序代码及运行结果（截图）粘贴在相应题目下方。
练习1：估计人口增长模型中的参数。
下表为美国1790-1990年人口数据（单位：百万）。
年1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9年1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000人口76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4（模型1）指数增长模型：（模型2）阻滞增长模型：x txxxemm rt ()()=+--11（1）用1790~1900年数据估计模型(1)中参数；运行上述代码，得r=0.2743；lnx0=-1.1580，即x0=3.1836.所以1790年到1890年的拟合函数为线性函数ln(x(t))=0.2743t+1.1580 即: x(t)=3.1836e^(0.2743t);（2）用1790~2000年数据估计模型(1)中参数；>> t=[1:22];>> y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4];>> y=log(y);>> k=polyfit(t,y,1)得r=0.2022;lnx0=1.5970,即x0=4.9382;所以1790年到2000年的拟合函数为线性函数ln(x(t))=0.2022t+1.5970;即: x(t)=4.9382e^(0.2022t);clc;clear;t=[1:22];x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4];x1=4.9382*exp(0.2022*t);plot(t,x(t),'o',t,x1,'r')legend ('实验数据','拟合曲线');（3）用1790~2000年数据估计模型(2)中参数。
MATLAB人口数量预测
MATLAB人口数量预测实验报告一，实验目的：1.、学会用matlab软件进行数据拟合；2、了解利用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，掌握用数据拟合法寻找最佳拟合曲线的方法；3、了解多元函数的机制在数据拟合法中的应用；4、通过对实际问题进行分析研究，初步掌握建立数据拟合数学模型的方法。
二．问题分析及建立模型1.多项式拟合对于已知数据点，如果选用拟合基函数为幂函数类1，x，x2，x3….xm，则拟合函数为一个m次多项式函数。
y=f（x）=a m*x m+a m-1*x m-1+…a1*x+a0根据最小二乘法你和思想，问题归结为求m+1元函数Q（a0，a1，…a m）=∑（a m*x i m a m-1*x i m-1+…+a1*x+a0）2的最小值问题，同样的，利用多元可微函数求得极值的必要条件得到法方程组∂Q(a0,a1,…a m)/∂a k=0; k=0,1,2,3…m;此时，矩阵G为一范德蒙矩阵，解此方程可以求的多项式系数a=[a m，a m-1，a0]T模型假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=e a+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数∑=-=niiix tfbaE12))((),(的最小值点。
其中x i是t i时刻美国的人口数。
这是第一种模型。
3．Logistic模型上述模型可以在短时间内较好地拟合实际人口数量，但也存在问题。
即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。
一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。
这是因为自然资源环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。
而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x，假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x )，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t 时，静增长率趋于零。
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序
最⼩⼆乘法曲线拟合的Matlab程序⽅便⼤家使⽤的最⼩⼆乘法曲线拟合的Matlab程序⾮常⽅便⽤户使⽤,直接按提⽰操作即可;这⾥我演⽰⼀个例⼦:(红⾊部分为⽤户输⼊部分,其余为程序运⾏的结果,结果图为Untitled.fig,Untitled2.fig) 请以向量的形式输⼊x,y.x=[1,2,3,4]y=[3,4,5,6]通过下⾯的交互式图形，你可以事先估计⼀下你要拟合的多项式的阶数，⽅便下⾯的计算.polytool()是交互式函数,在图形上⽅[Degree]框中输⼊阶数,右击左下⾓的[Export]输出图形回车打开polytool交互式界⾯回车继续进⾏拟合输⼊多项式拟合的阶数m = 4Warning: Polynomial is not unique; degree >= number of data points. > In polyfit at 72In zxecf at 64输出多项式的各项系数a = 0.0200000000000001a = -0.2000000000000008a = 0.7000000000000022a = 0.0000000000000000a = 2.4799999999999973输出多项式的有关信息 SR: [4x5 double]df: 0normr: 2.3915e-015Warning: Zero degrees of freedom implies infinite error bounds.> In polyval at 104In polyconf at 92In zxecf at 69观测数据拟合数据x y yh1.0000 3.0000 3.00002.0000 4.0000 4.00003 5 54.0000 6.0000 6.0000剩余平⽅和 Q = 0.000000相关指数 RR = 1.000000请输⼊你所需要拟合的数据点，若没有请按回车键结束程序.输⼊插值点x0 = 3输出插值点拟合函数值 y0 = 5.0000>>结果：untitled.figuntitled2.fig⼀些matlab优化算法代码的分享代码的⽬录如下：欢迎讨论1.约束优化问题：minRosen(Rosen梯度法求解约束多维函数的极值)(算法还有bug) minPF(外点罚函数法解线性等式约束) minGeneralPF(外点罚函数法解⼀般等式约束)minNF(内点罚函数法)minMixFun(混合罚函数法)minJSMixFun(混合罚函数加速法)minFactor(乘⼦法)minconPS(坐标轮换法)(算法还有bug)minconSimpSearch(复合形法)2.⾮线性最⼩⼆乘优化问题minMGN(修正G-N法)3.线性规划：CmpSimpleMthd(完整单纯形法)4.整数规划(含0-1规划)DividePlane(割平⾯法)ZeroOneprog(枚举法)5.⼆次规划QuadLagR(拉格朗⽇法)ActivedeSet(起作⽤集法)6.辅助函数(在⼀些函数中会调⽤)minNT(⽜顿法求多元函数的极值)minMNT(修正的⽜顿法求多元函数极值)minHJ(黄⾦分割法求⼀维函数的极值)7.⾼级优化算法1）粒⼦群优化算法(求解⽆约束优化问题)1>PSO(基本粒⼦群算法)2>YSPSO(待压缩因⼦的粒⼦群算法)3>LinWPSO(线性递减权重粒⼦群优化算法)4>SAPSO(⾃适应权重粒⼦群优化算法)5>RandWSPO(随机权重粒⼦群优化算法)6>LnCPSO(同步变化的学习因⼦)7>AsyLnCPSO(异步变化的学习因⼦)(算法还有bug)8>SecPSO(⽤⼆阶粒⼦群优化算法求解⽆约束优化问题)9>SecVibratPSO(⽤⼆阶振荡粒⼦群优化算法求解五约束优化问题)10>CLSPSO(⽤混沌群粒⼦优化算法求解⽆约束优化问题)11>SelPSO(基于选择的粒⼦群优化算法)12>BreedPSO(基于交叉遗传的粒⼦群优化算法)13>SimuAPSO(基于模拟退⽕的粒⼦群优化算法)2)遗传算法1>myGA(基本遗传算法解决⼀维约束规划问题)2>SBOGA(顺序选择遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)3>NormFitGA(动态线性标定适应值的遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)4>GMGA(⼤变异遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)5>AdapGA(⾃适应遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)6>DblGEGA(双切点遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)7>MMAdapGA(多变异位⾃适应遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)⾃⼰编写的马尔科夫链程序A 代表⼀组数据序列⼀维数组本程序的操作对象也是如此t=length(A); % 计算序列“A”的总状态数B=unique(A); % 序列“A”的独⽴状态数顺序，“E”E=sort(B,'ascend');a=0;b=0;c=0;d=0;Localization=find(A==E(j)); % 序列“A”中找到其独⽴状态“E”的位置for i=1:1:length(Localization)if Localization(i)+1>tbreak; % 范围限定elseif A(Localization(i)+1)== E(1)a=a+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(2)b=b+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(3)c=c+1;% 依此类推，取决于独⽴状态“E”的个数elsed=d+1;endendT(j,1:tt)=[a,b,c,d]; % “T”为占位矩阵endTT=T;for u=2:1:ttTT(u,:)= T(u,:)- T(u-1,:);endTT; % ⾄此，得到转移频数矩阵Y=sum(TT,2);for uu=1:1:ttTR(uu,:)= TT(uu,:)./Y(uu,1);endTR % 最终得到马尔科夫转移频率/概率矩阵% 观测序列马尔科夫性质的检验：N=numel(TT);uuu=1;Col=sum(TT,2); % 对列求和Row=sum(TT,1); % 对⾏求和Total=sum(Row); % 频数总和for i=1:1:ttxx(uuu,1)=sum((TT(i,j)-(Row(i)*Col(j))./Total).^2./( (Row(i)*Col(j)). /Total)); uuu=uuu+1; % 计算统计量x2endendxx=sum(xx)。
基于MATLAB的人口预测模型
基于 MATLAB 的人口预测模型摘要本文以 1980-2014 年中国年终总人口数据资料为依据，分别使用了一次拟合、灰色预测模型和时间序列模型进行拟合，最终得出时间序列模型的效果最优，得到了中国人口数量逐年增长，但同时增长速度逐渐放缓的结论，为政府制定人口、经济政策提供了一定的依据。
关键词：人口数量；一次拟合；灰色预测；时间序列前言世界人口的迅猛增长引起了许多问题。
特别是一些经济不发达国家的人口过度增长，影响了整个国家的经济发展、社会安定和人民生活水平的提高，给人类生活带来许多问题。
为了解决人口增长过快的问题，人类必须控制自己，做到有计划地生育，使人口的增长与社会、经济的发展相适应，与环境、资源相协调。
我国是世界上人口最多的发展中国家。
人口数量多、增长快、可耕地少、国家底子薄，这是我国的基本国情。
人口增长过快，严重制约着我国经济和社会发展的进程，影响着人民生活的改善和民族素质的提高。
从而造成社会再生产投入不足，严重影响国民经济的可持续发展。
认真分析我国目前的人口现状和特点，采取切实可行的措施控制人口的高速增长，提高人口的整体素质，已成为我国目前经济发展中需要解决的首要问题。
本文以中国近 35 年的人口数据尝试建立模型，分别建立了一次模型、灰色预测 GM（1,1）模型和时间序列 AR 模型，最终选取了拟合效果最好的时间序列模型，用于说明我国人口问题以及预测短期内人口数量变化，以及为我国即将面临的人口问题提供一些建议。
概念与引理定义 1[1]：人口问题，是由于人口在数量、结构、分布等方面快速变化，造成人口与经济、社会以及资源、环境之间的矛盾冲突。
人口数量问题，主要由非均衡生育（多子化和少子化）以及人口迁移造成，只有通过均衡生育（发达国家 2.17 胎，发展中国家 2.3 胎）和调控迁移来解决。
人口结构问题，主要包括年龄、性别、收入、人种、民族、宗教、教育程度、职业、家庭人数等人口结构问题；其中最为突出的是年龄（多子化、少子高龄化）、性别（男女比例失调）和收入（基尼系数高、中产塌陷）结构问题。
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序最小二乘法是一种常用的数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来找到最佳函数匹配。
在曲线拟合中，最小二乘法被广泛使用来找到最佳拟合曲线。
下面的Matlab程序演示了如何使用最小二乘法进行曲线拟合。
% 输入数据x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1];% 构建矩阵A = [x(:), ones(size(x))]; % 使用x向量和单位矩阵构建矩阵A% 使用最小二乘法求解theta = (A' * A) \ (A' * y); % 利用最小二乘法的公式求解% 显示拟合曲线plot(x, theta(1) * x + theta(2), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线hold on; % 保持当前图像plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor','b'); % 在图像上画出原始数据点xlabel('x'); % 设置x轴标签ylabel('y'); % 设置y轴标签legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例这个程序首先定义了一组输入数据x和y。
然后，它构建了一个矩阵A，这个矩阵由输入数据x和单位矩阵构成。
然后，程序使用最小二乘法的公式来求解最佳拟合曲线的参数。
最后，程序画出拟合曲线和原始数据点。
这个程序使用的是线性最小二乘法，适用于一次曲线拟合。
如果你的数据更适合非线性模型，例如二次曲线或指数曲线，那么你需要使用非线性最小二乘法。
Matlab提供了lsqcurvefit函数，可以用于非线性曲线拟合。
例如：% 非线性模型 y = a * x^2 + b * x + cfun = @(theta, x) theta(1) * x.^2 + theta(2) * x +theta(3);guess = [1, 1, 1]; % 初始猜测值% 使用lsqcurvefit函数求解theta = lsqcurvefit(fun, guess, x, y);% 显示拟合曲线plot(x, fun(theta, x), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线hold on; % 保持当前图像plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor','b'); % 在图像上画出原始数据点xlabel('x'); % 设置x轴标签ylabel('y'); % 设置y轴标签legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例这个程序定义了一个非线性函数fun，然后使用lsqcurvefit函数来求解最佳拟合曲线的参数。
用Matlab作最小二乘曲线拟合
用Matlab 作最小二乘曲线拟合1．用n 次多项式作最小二乘拟合已知⎩⎨⎧m m y y y y x x x x ......1010：：，要从n H （即：全体次数不高于n 的多项式集合）中找一个)(x S n ，使得在节点处的总误差∑=-m i ii n y x S 02))((达到最小。
Matlab 命令格式：系数数组=polyfit (节点数组，函数值数组，次数n)例1：对函数C=C(t)测量得下面一组数据：t ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9C ：4.54, 4.99, 5.35, 5.65, 5.90, 6.10, 6.26, 6.39, 6.50试分别用1次、2次、6次多项式作拟合，并画图显示拟合效果。
clearhold onx0=1:9;y0=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50];for i=1:9plot(x0(i),y0(i),'+')enda1=polyfit(x0,y0,1),a2=polyfit(x0,y0,2),a6=polyfit(x0,y0,6)x=0:0.1:10;y1=polyval(a1,x);y2=polyval(a2,x);y6=polyval(a6,x);plot(x,y1,x,y2,x,y6)hold off为了准确判断拟合效果，需计算“节点处的总误差”：（续前面程序） wc1=sqrt(sum((polyval(a1,x0)-y0).^2))wc2=sqrt(sum((polyval(a2,x0)-y0).^2))wc6=sqrt(sum((polyval(a6,x0)-y0).^2))2．用一般函数作最小二乘拟合已知⎩⎨⎧m m y y y y x x x x ......1010：：，要用一个函数)(x f 来近似代表y ，此函数中含有几个待定参数n a a a ,...,,21，现在的任务是：确定参数的值，使得在节点处的总误差∑=-m i ii y x f 02))((达到最小。
matlab最小二乘拟合问题
Matlab实现最小二乘拟合一、实验内容1对下列数据，求解最小二乘抛物线C+)(=2BxAxxf+2logistic曲线，具有形式P(t)=L/(1+Ce At)。
对下列数据集求解参数A和C，L是已知的。
（a）(0,200)，（1，400），（2，650）（3，850），（4，950）; L=1000（b）(0,500)，（1，1000），（2，1800）（3，2800），（4，3700）; L=5000二、实验原理:求使得偏差平方和最小的多项式三、实验说明：要求输入拟合点，输出拟合函数的系数并在同一坐标系下画出离散点和拟合曲线。
四、实验过程及结果分析第1题：相关输入与输出：>> X=[-3 -1 1 3];>> Y=[15 51 5];>> M=2;>> C=lspoly(X,Y,M)C =0.8750-1.70002.1250（降幂排列）>> x=-3:0.1:3;>> y=polyval(C,x);>> plot(X,Y,'ro',x,y,'b-')图像：-3-2-10123第2题：(1)：>> P=[200 400 650 850 950];>> L=1000;>> y=dd(L,P)y =0.6094 -0.0837 -0.5692 -0.8375 -0.9487>> y=[0.6094 -0.0837 -0.5692 -0.8375 -0.9487];>> t=[0 1 2 3 4];>> M=1;>> a=lspoly(t,y,M)a =-0.38700.4081>> A=a(1)A =-0.3870>> C=exp(a(2))C =1.5039>>T=0:0.1:4;>>Y=polyval(a,T);>>plot(t,y,'ro',T,Y,'b-')变换后图像：00.51 1.52 2.53 3.54第2题：(2)>> P=[ 500 1000 1800 2800 3700]; >> L=5000;>> y=dd(L,P)y =1.3026 0.6094 0.0217 -0.4202 -0.6989>> y=[1.3026 0.6094 0.0217 -0.4202 -0.6989];>> t=[0 1 2 3 4];>> M=1;>> a=lspoly(t,y,M)a =-0.50331.1694>> A=a(1)A =-0.5033>> C=exp(a(2))C =3.2202>> T=0:0.1:4;Y=polyval(a,T);plot(t,y,'ro',T,Y,'b-')变换后图像：00.51 1.52 2.53 3.54五、实验总结：1.本实验lspoly意思是最小二乘多项式的英文简写，其程序运行到C=A\B时，C 为升幂排列，最后加上C=flipud(C)表示上下颠倒，使得所求C即为根据x的幂次由高到低排列的2.引用matlab系统函数polyval是求多项式的值3.在第2问中，所求函数模型不是线性的，这就要考虑对其进行相应的变化六、参考程序：1、lspoly.mfunction C=lspoly(X,Y,M)n=length(X);B=zeros(1:M+1);F=zeros(n,M+1);for k=1:M+1F(:,k)=X'.^(k-1);endA=F'*F;B=F'*Y';C=A\B;C=flipud(C);2、计算y与P、L关系的m文件dd.m:function y=dd(L,P);y=zeros(1,5);for i=1:5y(i)=log(L./P(i))-1); y(i)=log(L./P(i))-1; end。
最小二乘法拟合和优化常用的 matlab 命令及其适用范围
最小二乘法拟合和优化常用的 matlab 命令及其适用范围
最小二乘法拟合和优化常用的Matlab 命令及其适用范围如下：
1. polyfit：用于多项式拟合的函数，可以通过最小二乘法拟合
一组数据点的多项式曲线。
适用范围：适合进行多项式拟合的情况。
2. lsqcurvefit：用于非线性最小二乘法拟合的函数，可以通过
最小二乘法拟合一组数据点的非线性函数曲线。
适用范围：适合进行非线性函数拟合的情况。
3. fminsearch：用于寻找函数的最小值的函数，可以通过优化
算法寻找最适合数据点的参数值。
适用范围：适合进行简单的参数优化的情况。
4. fmincon：用于带约束条件的优化问题的函数，可以通过优
化算法寻找最适合数据点的参数值，并满足约束条件。
适用范围：适合进行带约束条件的参数优化的情况。
5. lsqlin：用于带等式约束的线性最小二乘法拟合的函数，可
以通过最小二乘法拟合一组数据点的线性函数曲线，并满足等式约束。
适用范围：适合进行带等式约束的线性函数拟合的情况。
通过这些 Matlab 命令，可以进行最小二乘法拟合和优化，并
得到最适合数据的拟合曲线或参数值。
具体使用哪个命令取决于数据的特点和问题的需求。
用MatLab画图（最小二乘法做曲线拟合）
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 用MatLab画图(最小二乘法做曲线拟合) 用 MatLab 画图(最小二乘法做曲线拟合) 帮朋友利用实验数据画图时，发现 MatLab 的确是画图的好工具，用它画的图比Excel光滑、精确。
利用一组数据要计算出这组数据对应的函数表达式从而得到相应图像，MatLab 的程序如下：x=[1 5 10 20 30 40 60 80] y=[15. 4 33. 9 42. 2 50. 556 62. 7 72 81. 1] plot(x, y, ‘ r*’ ) ; legend(‘ 实验数据(xi, yi) ‘ ) xlabel(‘ x’ ) , ylabel(‘ y’ ) , title(‘ 数据点(xi, yi) 的散点图’ ) syms a1 a2 a3 x=[15 10 20 30 40 60 80]; fi=a1. *x. +a2. *x+a3 y=[15. 4 33.9 42. 2 50. 5 56 62. 7 72 81. 1] fi =[a1+a2+a3,25*a1+5*a2+a2+(400*a1+20*a2+a3-101/2) +(900*a1+30*a2+a3-56) +(1600*a1+40*a2+a3-627/10) +(3600*a1+60*a2+a3-72)+(6400*a1+80*a2+a3-811/10) ; Ja1=diff(J, a1) ;Ja2=diff(J, a2) ; Ja3=diff(J, a3) ; Ja11=simple(Ja1) ,Ja21=simple(Ja2) , Ja31=simple(Ja3) A=[114921252, 1656252, 26052; 1656252, 26052, 492; 26052, 492, 16]; B=[9542429/5, 166129/5, 4138/5]; C=B/A, f=poly2sym(C) xi=[1 5 10 20 3040 60 80] ; y=[15. 4 33. 9 42. 2 50. 5 56 62. 7 72 81. 1]; n=length(xi) ; f=-0. 0086. *xi. +1. 3876. *xi+23. 1078;1 / 6x=1: 1/10: 80; F=-0. 0086. *x. +1. 3876. *x+23. 1078; fy=abs(f-y) ; fy2=fy. ; Ew=max(fy) , E1=sum(fy) /n,E2=sqrt((sum(fy2) ) /n) plot(xi, y, ‘ r*’ ) , hold on, plot(x, F, ‘ b-’ ) , hold off legend(‘ 数据点(xi, yi) ‘ , ‘ 拟合曲线f(x) = -0. 0086x +1. 3876x+23. 1078’ ) , xlabel(‘ x’ ) , ylabel(‘ y’ ) , title(‘ 实验数据点(xi, yi) 及拟合曲线f(x) ‘ ) 下图是程序运行后得到的：Su7Tw8VxaW ybXAcZB d#Cf!Eg%FhGj*Ik(Jl-Kn+M o0Np2Or3Ps4R t6Sv7Tw8VxaWzbXAcZBe#Cf! Eg%Fi Gj*Ik)Jl-Kn+Mo1Np2Or3Qs4Rt6Sv7 Uw8Vx aWzbYAc ZBe#Df!Eg%FiHj*Ik) Jm-Kn +Mo1Nq2Or3Qs 5Rt6Sv7Uw9VxaWzbYAdZBe#D f$Eg%F iHj(I k) Jm-Ln+Mo1Nq2Pr3Qs5Ru6S v7Uw9V yaWzbY AdZCe#Df$Eh%FiHj(Il) Jm-Ln0Mo1Nq2Pr4 Qs5Ru6Tv8Uw9VyaXzbYAdZCe !Df$Eh %GiHj (Il) Km-Ln0Mp1Nq2Pr4Qt5Ru 6Tv8U x9VyaXz cYAdZCe! Dg$Eh%Gi*Hj(Il) Km+Ln0M p1Oq2P r4Qt5Su6Tv8Ux9WyaXzcYBdZ Ce!Dg$Fh%Gi* Hk(Il) Km+Lo0Mp1Oq3Pr4Qt5 Su7Tv8Ux9Wyb XzcYBd#Ce!Dg$FhGi*Hk(Jl ) Km+L o0Np1Oq 3Ps4Rt 5Su7Tw8Ux9WybXAcY Bd#Cf!Dg$FhGj*Hk(Jl-Km+Lo0Np2Oq3Ps4 Rt6Su7Tw8Vx9 WybXAcZBd#Cf!Eg$FhGj*Ik (Jl-Kn +Lo0Np2Or3Ps4Rt6Sv7Tw8VxaWybXA cZBe#Cf!Eg%F hGj*Ik) Jl-K n+Mo0Np2Or3Q s4Rt6Sv 7Uw8V xaWzbXAcZBe# D f! Eg%FiGj* Ik) Jm- Kn+Mo1 Nq2Or3Qs5Rt6Sv7Uw9VxaWzb YAcZBe#Df$Eg %FiHj*Ik)---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ Jm-Ln+Mo1Nq2Pr 3Qs5Ru 6Sv7Uw 9VyaWzbYAdZBe#Df$Eh%FiH j(Ik) J m-Ln0M o1Nq2Pr4Qs5Ru6Tv7Uw9VyaX zbYAdZC e#Df$ Eh%GiHj(Il) Jm-Ln0Mp1Nq2 Pr4Qt5Ru6Tv8 Uw9VyaXzcYAdZCe!Df$Eh%Gi *Hj(Il) Km+Ln 0Mp1Oq2Pr4Qt5Su6Tv8Ux9Vy aXzcYB dZCe!D g$Eh%Gi*Hk(Il) Km+Lo0Mp1O q3Pr4Qt5Su7Tv8Ux9WyaXzc Y Bd#Ce!Dg$Fh %Gi*Hk( Jl) Km +Lo0Np1Oq3Ps 4 Qt5Su7Tw8Ux 9WybXzcYBd#C f!Dg$FhGi*H k (Jl-Km+Lo0N p2Oq3Ps4Rt5S u7Tw8Vx9WybX AcYBd#Cf! Eg$ FhGj*Ik (Jl- Kn+Lo0Np2Or3 P s4Rt6Su7Tw8 VxaWybXA cZBd #Cf!Eg%FhGj * Ik) Jl-Kn+Mo 0Np2Or3Qs4Rt 6Sv7Tw8VxaWz bXAcZBe#Cf!E g%FiGj*Ik) J m-Kn+Mo1Np2O r 3Qs5Rt6Sv7U w8VxaWzbYAcZ Be#Df! Eg%Fi H j*Ik) Jm-Ln+ Mo1Nq2O r3Qs5 Ru6Sv7Uw9Vxa W zbYAdZBe#Df $Eh%Fi Hj(Ik ) Jm-Ln0Mo1Nq 2Pr3Qs5Ru6Tv 7Uw9Vya WzbYA dZCe#Df$Eh%G iHj(Il) Jm-L n0Mp1Nq2Pr4Q s5Ru6Tv8Uw9V ya XzbYAdZCe! 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matlab最小二乘法拟合曲线代码
在Matlab中使用最小二乘法进行曲线拟合是一项非常常见的任务。
最小二乘法是一种数学优化技术，用于对一组数据进行曲线拟合，以便找到最能代表数据趋势的曲线。
在本文中，我将深入探讨Matlab中最小二乘法拟合曲线的代码实现，并共享我对这一主题的个人理解。
让我们来了解一下什么是最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化技术，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线。
在Matlab中，可以使用内置的polyfit函数来实现最小二乘法曲线拟合。
这个函数的基本语法是：```matlabp = polyfit(x, y, n)```其中，x和y分别是数据点的横纵坐标，n是要拟合的多项式次数。
这个函数将返回多项式系数向量p，使得拟合多项式最小化了实际数据点与拟合曲线之间的误差平方和。
举个例子，假设我们有一组数据点(x, y)，我们可以使用polyfit函数来进行二次多项式拟合：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 3, 4, 3, 5];p = polyfit(x, y, 2);```在这个例子中，p将会是一个包含三个元素的向量，分别代表二次多项式的系数a、b和c。
通过这些系数，我们就可以得到拟合的二次多项式方程。
除了使用polyfit函数，我们还可以使用polyval函数来计算拟合曲线上的点。
其基本语法形式是：```matlaby_fit = polyval(p, x)```在这个例子中，p是通过polyfit得到的多项式系数向量，x是我们要计算拟合曲线上的点的横坐标，y_fit将是这些点的纵坐标。
另外，Matlab还提供了许多其他的拟合函数和工具箱，用于不同类型的数据和曲线拟合需求。
通过调用这些函数和工具箱，我们可以实现更复杂的曲线拟合任务，满足不同数据类型和拟合目标的需求。
总结来说，Matlab提供了丰富的工具和函数，用于实现最小二乘法曲线拟合。
通过调用polyfit函数和其他拟合工具箱，我们可以轻松地对一组数据进行曲线拟合，从而得到最能代表数据趋势的曲线。
matlab最小二乘拟合代码
matlab最小二乘拟合代码Matlab是一种强大的科学计算软件，广泛应用于工程、科学、金融等领域。
在数据分析和拟合中，最小二乘拟合是一种常见的方法。
本文将介绍如何使用Matlab进行最小二乘拟合，并给出相应的代码示例。
最小二乘拟合是一种寻找最优拟合曲线的方法，通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的残差平方和来实现。
在Matlab中，可以使用lsqcurvefit函数来进行最小二乘拟合。
我们需要准备一组实验数据。
假设我们有一组数据(x, y)，其中x 为自变量，y为因变量。
我们的目标是找到一个拟合曲线，使得该曲线能够最好地描述观测数据。
接下来，我们需要定义一个拟合函数。
拟合函数是一个与自变量x 和待拟合参数有关的函数。
在Matlab中，拟合函数通常定义为一个函数句柄，即一个指向拟合函数的指针。
假设我们要进行线性拟合，即拟合函数为y = a * x + b，其中a 和b为待拟合参数。
我们可以使用匿名函数来定义拟合函数，代码示例如下：```matlabfitfunc = @(p, x) p(1) * x + p(2);```其中p为待拟合参数，x为自变量。
接下来，我们可以使用lsqcurvefit函数进行最小二乘拟合。
该函数的调用形式为：```matlabpfit = lsqcurvefit(fitfunc, p0, x, y);```其中fitfunc为拟合函数，p0为待拟合参数的初始值，x和y为观测数据。
我们可以绘制拟合曲线并与观测数据进行对比。
代码示例如下：```matlabx_fit = linspace(min(x), max(x), 100); % 生成用于绘制拟合曲线的自变量y_fit = fitfunc(pfit, x_fit); % 计算拟合曲线的因变量figure;plot(x, y, 'ro'); % 绘制观测数据hold on;plot(x_fit, y_fit, 'b-'); % 绘制拟合曲线legend('观测数据', '拟合曲线');xlabel('x');ylabel('y');title('最小二乘拟合');```通过运行上述代码，我们可以得到最小二乘拟合的结果，并绘制出观测数据和拟合曲线的图像。
matlab_最小二乘法数据拟合
定义：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法原理：在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。
Yj= a0 + a1 X （式1-1)其中：a0、a1 是任意实数1.多项式曲线拟合:polyfit常见拟合曲线：直线：y=a0X+a1多项式：一般次数不易过高2 3双曲线：y=a0/x+a1指数曲线：y=a*e^bmatlab中函数P=polyfit(x,y,n)[P S mu]=polyfit(x,y,n)polyval（P，t）：返回n次多项式在t处的值注：其中x y已知数据点向量分别表示横纵坐标，n为拟合多项式的次数，结果返回：P-返回n次拟合多项式系数从高到低依次存放于向量P中，S-包含三个值其中normr是残差平方和，mu-包含两个值 mean（x）均值，std （x）标准差。
举例1. 已知观测数据为：X：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1Y：用三次多项式曲线拟合这些数据点：x=0::1y=[-,,,,,,,,,,11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)hold onaxis([0 -2 16])p3=polyfit(x,y,3)t=0:::S3=polyval(P3,t);plot(t,S3,'r');2.拟合为指数曲线注：在对已测数据不太明确满足什么关系时，需要假设为多种曲线拟合然后比较各自的residal（均方误差）越小者为优，多项式拟合不是拟合次数越高越好，而是残差越小越好。