专题二 利用非负数性质解题

专题二 利用非负数的性质解题

一．考点知识：

1．初中学过的几种非负数：

⑴实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则0a ≥.

⑵实数的偶数次幂是非负数. 若0a ≥是实数，则20n a

≥（n 是正整数）.

⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.

若a 0;0.a ≥≥

⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.

若二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根， 则240b ac -≥. 若2

40(0)b ac a -≥≠， 则二次方程20ax bx c ++=有两个实数根. ⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.

2．非负数的性质：

⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.

⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.

⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.

⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.

【例1】已知320x y -+-=，求x y +的值 分析：由于a o ≥所以已知条件可以分成四种情况（分类讨论思想）。 讨论：①

00+= × ②0+= × ③00+

= × ④000+= √

解：由题意得

{30

20x y -=-= ∴{3020x y -=-=

3x =，2y =；

答: x y +的值为5.

【例2】已知()()22

24130x y ++-=，求2x y +的值

分析：因为20a ≥；所以本题变成了两个非负数相加的形式，和例1的解题思路相同了。 解：由题意得 240x +=；130y -=；

答: 2x y +的值为53

-. 【例3

0=，求,x y 的值

0≥；由例1解题思路可解。

解：由题意得

答：x 的值为32；y 的值为34

-。 结论：由前面三个例子可得到几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。

也就是若()2

0b c +=；则有0a b c ===。

【例4】 若(

)2130a b -++=； 则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=+=-0120)3(012c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-0120301c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==5.031c b a .

【例5】求证：方程42

3260x x x +++=没有实数根

证明：把方程左边分组配方，得

即222(1)(1)4;x x +++=-

∵22(1)0x +>，2(1)0x +≥，

∴222(1)(1)0x x +++≥.

但右边是－4.

∴不论x 取什么实数值， 等式都不能成立.

∴方程423260x x x +++=没有实数根.

【例6】a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(a a a a --+--有意义

解：∵二次根式的被开方数(2)(1)a a --与(2)(1)a a --都是非负数，

且(2)(1)a a --与(2)(1)a a --是互为相反数， ∴(2)(1)0a a --=. （非负数性质2）

∴20;a -=或10a -=。

答：当2a =或1a =或1a =-时，原二次根式有意义.

【例7

】要使等式2

1203x ⎛⎫-+= ⎪⎝

⎭成立，x 的值是＿＿＿＿. （1991年泉州市初二数学双基赛题） 解：要使原等式成立∵2

1203x ⎛⎫-≥ ⎪⎝

⎭，

0≤。

∴41,(40)44x x x x -==--≠-- ∴21213x ⎛⎫-= ⎪⎝

⎭，且40x -<. 即⎪⎩

⎪⎨⎧<-=041)3122x x －（ 解得⎩⎨⎧<=493x x x 或＝ ∴3x = .

答：x 的值是3.

【例8】当,a b 取什么实数时，方程()2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实数根

（1987年全国初中数学联赛题）

解：∵当0∆≥时，方程有实数根.

解如下不等式：

（a+2b ）2+(a －1)2≤0 ①

∵2(2)0a b +≥且()2

10a -≥， 得()2

2(2)10a b a ++-≥ ② ∴只有当2(2)0a b +=且()2

10a -= 不等式①和②才能同时成立. 答：当1a =且12

b =-

时，方程()2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实数根. 练习题： 1．已知在实数集合里x x -+-33有意义，则x =____.

2．要使不等式()2

10a +≤成立，实数a =_____.

3．已知01212=+++-b b a ，则 a =＿＿, b =＿＿, 100101a b =____. 4. 已知,a b 是实数且2

111+-+-≤b b a . 化简1214422+--+-ab b a ab a 后的值是＿＿＿＿.

(1990年泉州市初二数学双基赛题)

5. 当x =____.(x +有最大值＿＿＿.

（1986年泉州市初二数学双基赛题）

6. 已知： ,141=-+-c a 且a -1, 4-c 都是整数.求,a c 的值.

（1989年全国初中数学联赛题）

7. 求方程2222640x y x y xy ++++=的实数解.